第41课 KMP子串查找算法
问题：
右移的位数和目标串没有多大的关系，和子串有关系。
已匹配的字符数现在已经有了，部分匹配值还没有。
前六位匹配成功就去查找PMT中的第六位。
现在的任务就是求得部分匹配表。
问题：怎么得到部分匹配表呢？
前缀集合和后缀集合取最长长度的交集就是部分匹配值。 ---------共有元素的最大长度
例如，上图中前缀和后缀没有交集，部分匹配值就是0。
问题：
怎么编程产生部分匹配表呢？
从第2个字符开始递推，做一个贪心的假设，我们现在要求的匹配值是由上一次得到的匹配值加1得到。
假设有5个字符，当前的匹配值是3，当有6个字符时，我们就假设匹配值是4。
推导过程：
ll值定义为前缀和后缀交集元素的最大长度。
第一个元素的ll值为0。
当前要求的ll是以历史的ll值求出来的。
当可选的ll值为0时，直接比对首尾元素，若不相等则为0，若相等则为1。
例如：
ab的ll值为0，当向后扩展一个字符求aba的ll值时，需要根据ab的ll值来求，
因为ab的ll值为0，我们只需要比对aba中的第一个a和最后一个a，发现相等，于是aba的ll值为1。
再向后扩展一个字符abab，这时候上一个ll值不为零，我们就以上次匹配的字符a为种子，向后扩展比较，第一个a向后扩展一下为ab，
第三个a向后扩展一下为ab，a和a比较相等（这个已经比对过），b和b比较相等，于是abab的ll值为1+1=2。
再向后扩展一个字符ababa，上一个ll值不为0，我们以ab为种子，分别向后扩展一个字符，得到aba（前三个）和aba（后三个），
ab和ab已经比对过了，于是只需要比对最后一个a和a，发现相等，于是ll值为2+1=3。
再向后扩展一个字符ababax，上一个ll值不为0，现在分别以aba为种子向后扩展一个字符，得到abab（前四个）和abax（后四个），
aba和aba刚才已经比对过，现在比较b和x发现不相等，于是，为了还能扩展，我们需要在abc中找一个种子继续扩展看一下，
如上图中两个画红圈的a，这就是aba的前缀和aba的后缀的最大交集，这两个aba是方框中的aba，一个是aba(1-3)，一个是aba(3-5)。
于是，我们需要aba的最大匹配值，我们去查找aba这个字符串的最大匹配值，这个刚才已经求得了，
查PMT[3]即可，aba的ll值为1，于是以第一个a和第五个a为种子，分别向后扩展一个字符，得到ab和ax，a和a已经比对过，
现在比较b和x发现不相等，于是再去查a这个字符串的匹配值，我们也已经求出来了是0，因为a的ll值为0，所以我们直接比对首尾
元素，于是比较第一个a和最后一个元素x，发现不相等，于是ababax的ll值为0。
上面abab和abax匹配不上时，我们直接查找的PMT[3]，而略过了PMT[2]，这是为什么呢？
假设可选的ll值为2，这时前缀就是ab，后缀就是ba，然后以这里的前后缀作为种子来扩展，这时可以看出，不用扩展就可以知道，
肯定不会匹配，因为ab和ba就匹配不上，为什么ll值为2就是不对呢？
因为要使得有相同的前缀和后缀进行扩展，必然的要去前缀和后缀元素的交集的最大长度，aba和aba前缀、后缀交集的最大长度就是aba的ll值，因此，只能拿a来进行扩展。
编程实现：
1 #include <iostream>
2 #include <cstring>
3 #include "DTString.h"
4
5 using namespace std;
6 using namespace DTLib;
7
8 int* make_pmt(const char* p)
9 {
10 int len = strlen(p);
11
12 int* ret = static_cast<int*>(malloc(sizeof(int) * len));
13
14 if( ret != NULL )
15 {
16 int ll = 0;
17
18 ret[0] = 0; // 第0个元素（长度为1的字符串）的ll值为0
19
20 for(int i = 1; i < len; i++)
21 {
22 //不成功的情况
23 while( (ll > 0) && (p[ll] != p[i]) )
24 {
25 ll = ret[ll];
26 }
27
28 // 假设最理想的情况成立
29 //在前一个ll值的基础行进行扩展，只需比对最后扩展的字符是否相等
30 //相等的话ll值加1，并写入到部分匹配表
31 if( p[ll] == p[i] )
32 {
33 ll++;
34 }
35
36 ret[i] = ll; // 将ll值写入匹配表
37
38 }
39 }
40
41 return ret;
42 }
43
44 int main()
45 {
46 int* pmt = make_pmt("ababax");
47
48 for(int i = 0; i < strlen("ababax"); i++)
49 {
50 cout << i << ":" << pmt[i] << endl;
51 }
52
53 return 0;
54 }
结果如下：
测试程序2：
1 #include <iostream>
2 #include <cstring>
3 #include "DTString.h"
4
5 using namespace std;
6 using namespace DTLib;
7
8 int* make_pmt(const char* p)
9 {
10 int len = strlen(p);
11
12 int* ret = static_cast<int*>(malloc(sizeof(int) * len));
13
14 if( ret != NULL )
15 {
16 int ll = 0;
17
18 ret[0] = 0; // 第0个元素（长度为1的字符串）的ll值为0
19
20 for(int i = 1; i < len; i++)
21 {
22 //不成功的情况
23 while( (ll > 0) && (p[ll] != p[i]) )
24 {
25 ll = ret[ll];
26 }
27
28 // 假设最理想的情况成立
29 //在前一个ll值的基础行进行扩展，只需比对最后扩展的字符是否相等
30 //相等的话ll值加1，并写入到部分匹配表
31 if( p[ll] == p[i] )
32 {
33 ll++;
34 }
35
36 ret[i] = ll; // 将ll值写入匹配表
37
38 }
39 }
40
41 return ret;
42 }
43
44 int main()
45 {
46 int* pmt = make_pmt("ABCDABD");
47
48 for(int i = 0; i < strlen("ABCDABD"); i++)
49 {
50 cout << i << ":" << pmt[i] << endl;
51 }
52
53 return 0;
54 }
结果如下：
KMP子串查找算法：
j为6时不匹配，前j位匹配成功，查PMT[j-1]，得出右移位数 j - PMT[j - 1]，也就是 j - LL，子串ABCDABD右移 j - LL位之后，j的值就变为 j - (j - LL)，即LL。
程序如下：
1 #include <iostream>
2 #include <cstring>
3 #include "DTString.h"
4
5 using namespace std;
6 using namespace DTLib;
7
8 int* make_pmt(const char* p) // O(m)
9 {
10 int len = strlen(p);
11
12 int* ret = static_cast<int*>(malloc(sizeof(int) * len));
13
14 if( ret != NULL )
15 {
16 int ll = 0;
17
18 ret[0] = 0; // 第0个元素（长度为1的字符串）的ll值为0
19
20 for(int i = 1; i < len; i++)
21 {
22 //不成功的情况
23 while( (ll > 0) && (p[ll] != p[i]) )
24 {
25 ll = ret[ll];
26 }
27
28 // 假设最理想的情况成立
29 //在前一个ll值的基础行进行扩展，只需比对最后扩展的字符是否相等
30 //相等的话ll值加1，并写入到部分匹配表
31 if( p[ll] == p[i] )
32 {
33 ll++;
34 }
35
36 ret[i] = ll; // 将ll值写入匹配表
37
38 }
39 }
40
41 return ret;
42 }
43
44 int kmp(const char* s, const char* p) //O(m) + O(n) = O(m + n)
45 {
46 int ret = -1;
47
48 int sl = strlen(s);
49 int pl = strlen(p); //子串
50
51 int* pmt = make_pmt(p); //O(m)
52
53 if( (pmt != NULL) && (0 < pl) && (pl <= sl))
54 {
55 for( int i = 0,j = 0; i < sl; i++ )
56 {
57 while( (j > 0) && (s[i] != p[j]) ) // j小于等于0时要退出
58 {
59 j = pmt[j];
60 }
61
62 if( s[i] == p[j] )
63 {
64 j++;
65 }
66
67 if( j == pl ) // j的值如果最后就是子串的长度，意味着查找到了
68 {
69 ret = i + 1 - pl; // 匹配成功时i的值停在最后一个匹配的字符上
70 break;
71 }
72 }
73 }
74
75 free(pmt);
76
77 return ret;
78 }
79
80 int main()
81 {
82 cout << kmp("abcde", "cde") << endl;
83 cout << kmp("ababax", "ba") << endl;
84 cout << kmp("ababax", "ax") << endl;
85 cout << kmp("ababax", "") << endl;
86 cout << kmp("ababax", "ababax") << endl;
87 cout << kmp("ababax", "ababaxy") << endl;
88
89 return 0;
90 }
KMP具有线性时间复杂度，最朴素的算法的时间复杂度是O(m*n)。
第69行的计算图解如下：
程序运行结果如下：
小结：
浙公网安备 33010602011771号