【论文笔记】影响力网络中舆论动力学建模与分析的最新进展

 

 

Recent Advances in the Modelling and Analysis of Opinion Dynamics on Influence Networks

影响力网络中舆论动力学建模与分析的最新进展

 

      论文共6节，第1节简单介绍了基本的舆论动力学模型结果和几个近期主题。第2节介绍了图论的基本概念，以及舆论动力学的基本模型Degroot模型和Friedkin-Johnsen模型，以及相关的数学公式和定理。第3节引入了个体自信/社会权力的概念，以及在社会权利思想上由DeGroot模型进化而来的的DeGroot Friedkin模型，并提出了许多新结果，讨论了的发展方向。第4节介绍了将观点分为表达观点和私人观点的EPO模型，并指出了由于模型研究而引起的许多有趣现象，并再次记录了未来工作的方向。在第5节中介绍了与逻辑相关的动态网络。最后在第6节中给出了结论。

 

1 介绍

       意见动态(Opinion dynamics)是对动态模型(dynamical models)的开发和分析，这些模型描述了社交网络中个人如何交互和交换意见，个人在网络中有可能通过学习邻居的意见导致自己的意见随着时间(k)的推移而改变。许多意见动态模型(opinion dynamics models)都是基于主体的模型(agent-based models)，也就是一种微观模型，是从个体的角度出发来刻画观点的演变，其中每个个体对一个话题的意见都用一个真实的值(real value)表示，该值随时间而变化。用网络图形可以表示一个人的交互网络，其中一个节点代表一个人，而边则代表两个人之间的意见交互。

       对于大型网络，基于主体的模型可能不太适合，但是对于小型网络仍然是有用的，因为许多小型协商小组会做出重要的决策。除了捕获简单共识的模型之外，有些DeGroot模型的变体在研究不同的社会现象是怎么产生的。比如Hegselmann-Krause模型使用有限置信度捕获了同质性，其中一个人仅与具有相似观点的其他人进行交互，随着时间的流逝，这些个人可能会分成不连续的簇，每个簇内部的最终意见相同，但簇和簇之间的最终意见不同(分类)。

       极化，就是网络分为两个对立的观点。Altafini模型使用负边权重(negative edge weights)引入个体之间的对立性交互(antagonistic interactions)的概念，产生这种对立性的原因很多，比如讨厌或彼此不信任。如果网络是“结构上平衡的” ，并且满足适当的连接条件，则意见会极化分为两个对立的簇。有的模型提出了负面互动。极化也归因于个人倾向于对信息源的偏见同化(biased assimilation)。

        上述大多数模型都捕获了网络的弱多样性，即其中同一簇中的个人观点之间没有差异性。人们越来越关注能够捕获强大多样性的模型，而这些模型在现实世界中经常被观察到。在这种情况下，意见最终会融合为具有不同范围的意见值，这是一种持久的不一致配置（并且在簇中可能存在具有相似但不相等的意见值的集合）。这种强大多样性模型，一种是考虑社交网络的强大多样性，这些社交网络随着时间的流逝保持某种形式的连通性。但是像在Hegselmann-Krause模型中所出现的那样最终完全断开的簇的在现实世界很少见；另一种是考虑几个问题：如果社会影响力正在使观点更紧密地联系在一起，那么还有什么其他过程在连接的网络中产生强大的多样性的过程中发挥着作用？

        Mäs等人考虑了两个特征。第一个是“社会疏远”(social distancing)，即个人对与自己的观点相去甚远的观点价值施加负面权重。在Altafini模型中，对立权重的主要区别在于考虑的权重取决于观点的差异，而Altafini模型则假设负权重是恒定的或随时间变化（但与状态无关）的。第二个特征是个人的“渴望独特”(desire to be unique)，即当随着个人意见越来越接近网络的平均意见，与状态相关的噪声会不断增加。 Amelkin等人假设个人对人际关系的影响的敏感性取决于个人当前的观点，然后会出现很强的多样性，但这仅在模型的特殊情况下才会出现。Friedkin-Johnsen模型显示，由于个人对最初意见的固执(stubborn)（依强度而异）可能会产生强烈的多样性。 在现有的意见动力学中，Friedkin-Johnsen模型已通过小型网络的实验室实验和中型网络的准场实验得到了广泛验证。

       首先，DeGroot Friedkin模型考虑了一个讨论一系列主题的社交网络，每次都使用DeGroot模型进行讨论。重大的问题是个人社会力量的演变，社会力量是个人在讨论过程中给予自己的意见的分量，社会力量的演变发生在当一个讨论主题结束而另一主题开始之前。一个人的社会力量会如何改变取决于他或她对上一次讨论结果的影响程度。一个人的社会力量通常随着他或她对讨论影响的增加增加，减少而减少。
       其次，提出了一种新颖的意见动态模型EPO(expressed and private opinion)，以研究同一个人的表达意见(expressed opinion)和私人意见(private opinion)中的差异是如何产生。个人在社会环境中可以持有与他或她所表达的观点不同的私人观点。到目前为止，几乎所有的意见动态模型都假设每个人对每个主题持有一个观点。EPO模型假定每个人都有各自独立的表达和私人意见，它们分别演化。个人的私人意见是根据改良的Friedkin-Johnsen模型发展而来的，而他或她的表达意见由于要遵循平均表达意见(average expressed opinion)（代表群体标准或规范）的压力而与个人意见相悖。本文使用该模型回顾了社会心理学的两部经典著作：阿施的一致性实验和普伦蒂斯和米勒关于多元无知的田野实验数据，这些数据涉及普林斯顿大学校园对饮酒文化的接受。

        最后第三个方向着重于讨论多个逻辑上相互依存的主题的网络。一个人很可能认为两个问题在逻辑上是相关的，因此由于信仰体系的原因，一个人的观点可能不会独立于他或她对另一个观点的看法而发展。信念系统(belief system)一词用于表示一组主题以及各个主题之间的逻辑连接。当一群人就逻辑上相互依存的主题表达意见时，一个人可能与小组成员的内部信仰体系一致，或者可能不一致。粗略地说，达成一致时更有可能达成共识。

 

2 意见动态建模

$1_{n}$：表示n维全为1的列向量

$0_{n}$：表示n维全为0的列向量

$I_{n}$：表示n×n的单位阵

$e_{i}$：表示基单位向量，向量中除了第i个位置上为1外其余都为0

矩阵A为非负矩阵，意味着着其中所有的元素$a_{ij}\geq0$

矩阵A为正矩阵，意味着着其中所有的元素$a_{ij}> 0$

对于非负矩阵A，若$\sum_{j=1}^{n}a_{ij}\leq 1$，即每行元素和小于等于1，则称A为行次随机矩阵；若$\sum_{j=1}^{n}a_{ij}=  1$，则称A为行随机矩阵；若$\sum_{j=1}^{n}a_{ij}=  1$且$\sum_{j=1}^{n}a_{ji}=  1$，则称A为双随机矩阵。

谱半径：只有方阵才有谱半径，谱半径是方阵A的最大特征值的绝对值。$\rho (A)=max\left | \lambda _{i} \right |$

本原矩阵：若$\exists k\in N$，使得$A^{k}> 0$，则称非负方阵A为本原矩阵。

2.1 图论

       图论(Graph Theory)是数学的一个分支。它以图为研究对象。图论中的图是由若干给定的点及连接两点的线所构成的图形，这种图形通常用来描述某些事物之间的某种特定关系，用点代表事物，用连接两点的线表示相应两个事物间具有这种关系。在本篇论文中用图来模拟一组个体之间的交互网络。

图的相关定义：

$g\left [ A \right ]=(V,\varepsilon \left [ A \right ],A)$，其中$V=\left \{ v_{1},v_{2},...,v_{n} \right \}$是图中的顶点，在文中表示单个个体；

边$e_{ij}= \left ( v_{i},v_{j} \right )$在$a_{ij}> 0$的时候，是有序集合$\varepsilon \left [ A \right ]$的元素；

若$\varepsilon \left [ A \right ]$中存在元素$e_{ii}$，则表示节点$v_{i}$有一个环(loop)；

$e_{ij}$是$v_{j}$的输入，是$v_{i}$的输出，意味着$v_{j}$会学习到有关$v_{i}$的信息(通常是一个意见值)；

通常$A\neq A^{T}$，所以这里假定$g\left [ A \right ]$是有向图；

$v_{i}$的邻居节点为$N_{i}= \left \{ v_{j}\in V:\left ( v_{j}, v_{i}\in \epsilon \left [ A \right ] \right ) \right \}$

 如果存在一条直接路径，使得从$v_{j}$到达$v_{i}$，则称$v_{i}$是可以到达的，直接路径是边的集合。

 

强连通：在有向图$\varepsilon \left [ A \right ]$中，对于任何两个节点之间都存在路径就是强连通图。

有向图：出发点和终点是同一个点，且在路径上除了出发点/终点外没有重复的点，图的长度就是路径边的数量。

非周期性：任何有自回路的图都是非周期性的。

 

引理1：当且仅当A为本原矩阵时，$\varepsilon \left [ A \right ]$是强连通，非周期性的。

引理2(主导特征向量)：

对于强连通图$\varepsilon \left [ A \right ]$和行随机矩阵A，有严格正的左、右特征向量$u^{T}$和$1_{n}$

它们与A的特征值$\lambda _{1}=\rho \left ( A \right )= 1$相关，且正交化使得$u^{T}1_{n}=1$，那么$u^{T}$和$1_{n}$称为A的主导左、右特征向量。

2.2 DeGroot 和 Friedkin-Johnsen models

DeGroot

       DeGroot模型假定n个人讨论一个主题，用$g\left [ A \right ]$来建模个体之间的交互行为，$x_{i}\left ( k \right )$表示的是第i个人在k时刻的观点，时间k是离散值(k=0,1,2,...)，根据模型可以建模如下(1)：

$x_{i}\left ( k+1 \right )$=$\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_{j}\left ( k \right )=\begin{bmatrix}
a_{i1} & a_{i2} & ... & a_{ij} & ... & a_{in}
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
x_{1}\left ( k \right )\\
x_{2}\left ( k \right )\\
...\\
x_{j}\left ( k \right )\\
...\\
x_{n}\left ( k \right )

\end{bmatrix}

$

即第i个人在第k+1时刻的观点同所有人前一时刻k的观点有关，$\sum_{j=1}^{n}a_{ij}=  1$，所以A是非负的行随机矩阵。写出紧凑形式如下(2)：

$x\left ( k+1 \right )=\begin{bmatrix}
x_{1}\left ( k+1 \right )\\
...\\
x_{n}\left ( k+1 \right )
\end{bmatrix}= \begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n}\\
a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n}\\
... & ... & ... & ...\\
a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn}
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x_{1}\left ( k \right )\\
x_{2}\left ( k \right )\\
...\\
x_{n}\left ( k \right )
\end{pmatrix}= Ax\left (k  \right )= A\begin{pmatrix}
x_{1}\left ( k \right )\\
x_{2}\left ( k \right )\\
...\\
x_{n}\left ( k \right )
\end{pmatrix}$

DeGroot模型又称加权平均模型，它假设在每个更新时刻，个体观点更新为其所有邻居节点观点的加权平均，其中权重由个体之间的相互影响刻画。

引理3：

假定是$g\left [ A \right ]$强连通的，那么当且仅当$g\left [ A \right ]$为非周期时模型会收敛如下：

$\lim_{k\rightarrow \infty }x\left ( k \right )=\beta 1_{n}$，$\beta \in R$

其中，$\beta =\delta ^{T}x\left ( 0 \right )$，且$\delta ^{T}$是A的主导左特征向量。

 

       对于一些主观性强的问题，没有确切答案，所以此时令观点$x_{i}$为连续值(实数)比较好；对于一些有关导致行为的问题(是否问题)，$x_{i}$定义为离散值。

      上述的$\sum_{j=1}^{n}a_{ij}=  1$和$a_{ij}\geq0$确保了$x_{i}\left ( k+1 \right )$是$x_{j}\left ( k\right )$的凸组合/加权平均，使得(1)作为一种平均算法广泛应用于多主体一致的协调。

 

Friedkin-Johnsen models

       在DeGroot模型的基础上，Friedkin-Johnsen模型引入了“固执”个体的概念，即个体对自己的初始观点带有固执性。个体的观点更新为其所有邻居节点的凸组合与其处事观点的加权平均(3)：

$x_{i}\left ( k+1 \right )=\lambda _{i}\sum_{j}^{n}a_{ij}x_{j}\left ( k \right )+\left ( 1-\lambda _{i} \right )x_{i}\left ( 0 \right )$

$\lambda _{i}$：敏感性，即受他人观点影响的易感程度

$1-\lambda _{i}$：不敏感性，也是代表一个人有多固执，有多坚持他最初的观点，有多么不愿意接受别人的信息

若$\lambda _{i}=1$，就说明一个人他很容易被他人观点影响，即不固执，这时候(3)同(1)，回到了最初的DeGroot模型

若$\lambda _{i}=0$，表示这个人极大的拒绝他人的影响，如果是DeGroot模型的话，当节点i没有邻居节点的时候这个情况可能会发生。

如同前一个模型，我们写出紧凑形式(4)：

$x\left ( k+1 \right )=\begin{bmatrix}
x_{1}\left ( k+1 \right )\\
x_{2}\left ( k+1 \right )\\
...\\
x_{n}\left ( k+1 \right )
\end{bmatrix}=\begin{pmatrix}
\lambda _{1} & ... & ... & 0\\
 0& \lambda _{2} &...  &0 \\
 ...&...  & \... & 0\\
 0&...  & ... &\lambda _{n}
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & ... &a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & .. &a_{2n} \\
... & ... & ... & ...\\
 a_{n1}& a_{n2} & ... & a_{nn}
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x_{1}\left ( k \right )\\
x_{2}\left ( k \right )\\
...\\
x_{n}\left ( k \right )
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
1-\lambda _{1} & ... & ... & 0\\
 0& 1-\lambda _{2} &...  &0 \\
 ...&...  & ... & 0\\
 0&...  & ... &1-\lambda _{n}
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x_{1}\left ( 0 \right )\\
x_{2}\left ( 0 \right )\\
...\\
x_{n}\left ( 0 \right )
\end{pmatrix}=\Lambda Ax\left ( k \right )+\left ( I_{n}-\Lambda  \right )x\left ( 0 \right )$

$\Lambda$是敏感性构成的对角阵，若所有人都很敏感，那么所有$\lambda _{i}$都为1

引理4：

假定至少有一个节点i，有$\lambda _{i}$，即至少有一个不那么敏感；$g\left [ A \right ]$为强连通，$\exists i,j\in \left \{ 1,...,n \right \}$，使得$\lambda _{i}，\lambda _{j}< 1$，则$\rho \left ( I_{n}-\Lambda A \right )< 1$，且下式以指数速度收敛：

$\lim_{k\rightarrow \infty }x\left ( k \right )= x^{*}= Vx\left ( 0 \right )$

其中，$V=\left ( I_{n}-\Lambda A \right )^{-1}\left ( I_{n}-\Lambda  \right )$是行随机矩阵，$x^{*}$的每一项都是$x\left ( 0 \right )$的凸组合。

Friedkin-Johnsen模型在强连通网络中，每当$\exists i,j\in \left \{ 1,...,n \right \}$，有$\lambda _{i}，\lambda _{j}< 1$且$x_{i}\left ( 0 \right )\neq x_{j}\left ( 0 \right )$时，通常会产生强多样性的有限观点。

如果每个人都有一些固执，即$\lambda _{i}< 1$，那么对一般的初始条件$x\left ( 0 \right )$，会有任何两个$x_{i}^{*}\neq x_{j}^{*}$，即在几乎所有的初始条件下，个体们的有限的观点在社会网络中展示了强大的多样性。

 

3 社会权力的演变

      假设一个人参加了一个强连通网络的讨论，其中要讨论很多话题，这些话题是按顺序进行讨论的。且一个人可以在这整个讨论过程中感知到他对每次讨论结果的影响力，如果它感知到自己对讨论结果的影响力越来越小，那么他会变得对自己的观点没有最初那么自信，这种自信称之为社会权力(social power)。在本节讨论的模型中，首先引入按顺序排列的话题序列如下：

$S= \left \{ 1,2,...,n \right \}$

      根据引理3，在DeGroot模型下，强连通网络会使得每个话题最终都会达成一致意见。

      我们在本节要介绍的模型中，关注点有二：一是一个人如何评估他在一次讨论中的影响；二是他要如何通过更新自信来影响下一个话题的讨论。

首先引入一些符号标记：

$a_{ii}$为A对角线上的元素，表示节点i的自信

$a_{ii}\left ( s \right )$是i对于话题s的自信，可以某种方式发生改变

$x_{n}\left ( k,s \right )$随时刻k的变化而变化，它表示第i个个体就话题s在k时刻的观点值

随时刻演变有(6)：

$x_{i}\left ( k+1,s \right )$=$a_{ii}\left ( s \right )x_{i}\left ( k,s \right )$+$\left ( 1-a_{ii}\left ( s \right ) \right )\sum_{j\neq i}^{n}c_{ij}x_{j}\left ( k,s \right )$

其中：c_{ij}\geq 0且独立于s，它表示i对j的相对信任，定义c_{ii}=0，确保$\sum_{j=1}^{n}c_{ij}= 1$；

定义$a_{ij}\left ( s \right )=\left ( 1-a_{ii}\left ( s \right ) \right )c_{ij}$，使得$\sum_{j=1}^{n}a_{ij}\left ( s \right )=1$

紧凑如下(7)：

$x\left ( k+1,s \right )=A\left ( s \right )x\left ( k,s \right )$

其中有(8)：

$A\left ( s \right )$=$diag\left ( a_{ii}\left ( s \right ) \right )\left$ +$( I_{n}-diag\left ( a_{ii}\left ( s \right ) \right )\left )C$

紧凑扩展形式如下：

$x\left ( k+1,s \right )=\begin{bmatrix}
x_{1}\left ( k+1,s \right )\\
x_{2}\left ( k+1,s \right )\\
...\\
x_{n}\left ( k+1,s \right )
\end{bmatrix}=\begin{pmatrix}
a_{11}\left ( s \right ) & ... & ... &0 \\
0 & a_{22}\left ( s \right ) & .. &0 \\
... & ... & ... & ...\\
 0& ... & ... & a_{nn}\left ( s \right )
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x_{1}\left ( k,s \right )\\
x_{2}\left ( k,s \right )\\
...\\
x_{n}\left ( k,s \right )
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
1-a_{11}\left ( s \right ) & ... & ... & 0\\
 0& 1-a_{22}\left ( s \right ) &...  &0 \\
 ...&...  & ... & 0\\
 0&...  & ... &1-a_{nn}\left ( s \right )
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
c_{11} & c_{12} & ... & c_{1n}\\
c_{21} & c_{22} & ... & c_{2n}\\
... & ... & ... &... \\
c_{n1} & c_{n2} & ... & c_{nn}
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x_{1}\left ( k,s \right )\\
x_{2}\left ( k,s \right )\\
...\\
x_{n}\left ( k,s \right )
\end{pmatrix}=A\left ( s \right )x\left ( k,s \right )$

3.1自我评价反映的演变

      任何话题的意见讨论建模都是通过Degroot模型完成的，Friedkin-Johnsen模型的重点在于提出一个系统的机制来更新$a_{ii}\left ( s \right )$

情况一：考虑一个主题$s\in S$且$g\left [ C \right ]$是强连通图时，若所有的$a_{ii}\left ( s \right )< 1$且存在至少一个$a_{ij}\left ( s \right )>0$，那么$g\left [ A\left ( s \right ) \right ]$就是强连通图，$A\left ( s \right )$就是非周期的。因此根据引理3，$x\left ( s,k \right )$就会随时间增长最终达成一致意见。

情况二：若$\exists j$使$a_{jj}\left ( s \right )= 1$而其余节点$i\neq j$都有$a_{ii}\left ( s \right )< 1$，则$g\left [ A\left ( s \right ) \right ]$是这样一个图：它存在一条路从节点j通往其余节点i，$i\neq j$，但节点j没有入节点，这种情况下$g\left [ A\left ( s \right ) \right ]$就不是强连通图，此时$\lim_{k\rightarrow \infty }x\left ( s,k \right )= x_{j}\left ( 0 \right )1_{n}$，最终意见都与节点j相同。

综上两种情况，可以写出(9)：

$\lim_{k\rightarrow \infty }x\left ( s,k \right )= \zeta ^{T}\left ( s \right )x\left ( 0,s \right )1_{n}= \sum_{i=1}^{n}\zeta _{i}\left ( s \right )x_{i}\left ( 0,s \right )1_{n}$

其中，$\zeta ^{T}$是$A\left ( s \right )$的主导左特征向量，若是第二种情况，则有$\zeta ^{T}= e_{j}$

有$\sum_{i=1}^{n}\zeta _{i}\left ( s \right )= 1$，可知$\zeta _{i}\left ( s \right )$表示着一种相对贡献/社会权力，表示一个人对话题做的贡献，和讨论中的影响力。

Friedkin-Johnsen模型提出，在每个话题讨论结束时，每个人都会通过下述方式来更新自信(10)：

$a_{ii}\left ( s \right )=\zeta _{i}\left ( s \right )$

即$A\left ( s+1 \right )$中的对角线元素$a_{ii}\left ( s \right )$就是$A\left ( s \right )$的主导左特征向量上的元素$\zeta _{i}\left ( s \right )$

即个体衡量他自己的观点相对于他人观点的权重=他对最终结果的贡献，所以自信是如何调整的，和话题s的顺序有关。

当初始情况满足上述情况一或情况二时，考虑话题的顺序(11)：

$\zeta \left ( s+1 \right )=F\left ( \zeta \left ( s \right ) \right )$

$F\left ( \zeta  \right )=\left\{\begin{matrix}
e_{i},if\zeta _{i}=1 \forall i\\
\alpha \left ( \zeta  \right )\begin{pmatrix}
\frac{r_{1}}{1-\zeta _{1}}\\
...\\
\frac{r_{n}}{1-\zeta _{n}}
\end{pmatrix}
\end{matrix}\right.$

其中$r_{i}$是C的主导左特征向量上的第i个位置的元素

3.2 DeGroot-Friedkin模型(DeGroot)的新研究

定义(星图)：有一个节点与其余所有节点有连接，但其余节点相互之间没有连接。有向无向均可。

定理：如(11)定义的更新机制$\zeta \left ( s+1 \right )=F\left ( \zeta \left ( s \right ) \right )$，考虑$g\left [ C \right ]$强连通图中至少有三个节点的情况，假定最初条件满足：$\exists j:a_{jj}\left ( 0 \right )> 1$且其余$a_{ii}\left ( 0 \right )< 1$，则有：

       1）若$g\left [ C \right ]$是星形图，中心节点为$v_{1}$，不失一般性的有$\lim_{s\rightarrow \infty }\zeta \left ( s \right )=e_{1}$，且收敛速度是渐进的而不是以指数速度的，其他点是不稳定的。

       2）若$g\left [ C \right ]$不是星形图，则$\lim_{s\rightarrow \infty }\zeta \left ( s \right )=\zeta ^{*}$是以指数速度收敛的，且$\zeta ^{*}$是唯一固执点。

3.2.1 最终社会权力的分析

      就非星形图而言，有关最终唯一固执点$\zeta ^{*}$的结论如下：

      当且仅当$r_{j}> r_{i}$时，有$\zeta_{j} ^{*}> \zeta_{i} ^{*}$

      当且仅当$r_{j}= r_{i}$时，有$\zeta_{j} ^{*}= \zeta_{i} ^{*}$

      其中$r_{i}$是C的左主导特征向量上的第i个位置上的元素

      $r_{i}$的排列顺序可能会影响最终社会权力的确定(13)：

$\zeta_{i} ^{*}\leq \frac{r_{i}}{1-r_{i}}$

3.2.2 动态相对互动拓扑

       考虑更多的时变(time-variation)，这些时变使得相对信任矩阵C中元素发生变化，即个体之间的相对信任不再是不变的，这是有道理的，比如在讨论不同的话题的时候，有一些人较为擅长该话题，那么其他人就会给予这个人更多的信任。

       $\sigma \left ( s \right )$引入一个开关信号，它捕捉了相对信任矩阵C的主题的变化时的性质。$\sigma \left ( s \right )$独立于$\zeta \left ( s \right )$，此时有$g\left [ C\left ( s \right ) \right ]=g\left [ C_{\sigma \left ( s \right )} \right ]$，此时有(14)：

$\zeta \left ( s+1 \right )=F_{\sigma \left ( s \right )}\left ( \zeta \left ( s \right ) \right )$

      对于上述系统，有(15)：

$\lim_{s\rightarrow \infty }\zeta \left ( s \right )=\zeta ^{*}\left ( s \right )$

其中，$\zeta ^{*}$是由决定的唯一极限轨迹，若周期性变化，则轨迹也是周期性轨迹。

3.2.3 相似时间尺度，记忆和噪声

       观点演化和社会权力演化的时间尺度k是不同是，通常观点演化要快于权力演化，因此一致意见总是在自信尚未更新前就达到了，(10)意味着每个人都精确的知道自己的相对贡献，但这在大型网络中是不太可能的。

3.3 未来研究方向

3.3.1 自我评价的动态行为

一个人的行为特征可能会改变个人对其社会力量的看法：

假设：$\phi _{i}\left ( x \right )$是光滑单调递增函数，满足当x=0时，有$\phi _{i}\left ( x \right )= 0$；当x=1时，有$\phi _{i}\left ( x \right )= 1$

(16)：$a_{ii}\left ( s+1 \right )=\phi _{i}\left ( \zeta \left ( i \right ) \right )$

对于缺乏自信者，有$\phi _{i}\left ( \zeta _{i} \right )< \zeta _{i}$

过度自信者，有$\phi _{i}\left ( \zeta _{i} \right )> \zeta _{i}$

反应过激者，在区间$\left ( 0,a \right )$，有$\phi _{i}\left ( \zeta _{i} \right )< \zeta _{i}$；在区间$\left ( a,1 \right )$，有$\phi _{i}\left ( \zeta _{i} \right )> \zeta _{i}$

下图显示了一个反应过激者的看法变化：

而一个平衡的个体，有$\phi _{i}\left ( \zeta _{i} \right )= \zeta _{i}$，如图中红虚线所示。

如果所有个体都是平衡的，则(11)式会有一个均衡点，但是如果有个体是过激个体，那么会存在多个平衡点。

3.3.2 固执个体的自我评价

       前文的DeGroot Friedkin模型假设在讨论任何一个主题时，每个人的观点都会根据（1）中所述的DeGroot模型发展。 因此，在引理3下，人们始终可以对每个主题达成共识。但是，还引入了Friedkin-Johnsen模型(3)，提出有些个体是固执的，并指出该模型已在实验中得到了广泛验证。 因此，自然而然地考虑自信，即社会权力的演变，即3.1中(10)所提到的——一个人在下一次讨论时的自信是上一次讨论结果的社会权力。这里用(18)来代替前面讲到社会权力时的(6)，最开始提出顽固个体的是(18)，但它主要在一系列主题讨论中引入意见动态中的自我评估的思想。(18)：

$x_{i}\left ( k+1,s \right )=\lambda _{i}a_{ii}\left ( s \right )x_{i}\left ( k,s \right )+\lambda _{i}\left ( 1-a_{ii}\left ( s \right ) \right )\sum_{j\neq i}^{n}c_{ij}x_{j}\left ( k,s \right )+\left ( 1-\lambda _{i} \right )x_{i}\left ( 0,s \right )$

其中，$\lambda _{i}$，如前文，代表个体容易受他人影响的程度。

在主题顺序的限制下，一个即使在非星形图中，也出现了一个拥有全部社会力量的个体。

如果用(18)来研究(10)中的自信演变，那么在出现两个以上的顽固个体时，理论分析会变得十分困难。根据引理4可以知道，如$\exists i,j$，使得$\lambda _{i},\lambda _{i}< 1$，那么对于话题s来说就达不到一致意见，即使$g\left [ A\left ( s \right ) \right ]$是强连通图。因此，我们不能如（9）中那样方便地表达个人贡献，要引入一个矩阵V，就像引理4中说明的那样，矩阵V用来表达所有个体就一个话题s而言，从最初观点到最终观点的映射。我们把(9)中的主导左特征向量改写为下式(19)：

$\zeta \left ( s \right )=n^{-1}V\left ( s \right )^{T}1_{n}$

 其中，V和A的定义如前文。

考虑到3.3.1中提到的个人行为特征可能会影响自己对社会权力的判断，所以(12)中的F也有了变化。

 

4.表达观点(expressed opinion)和私人观点(private opinion)的不同

       在某些情况下，个体与他们交往时可能会表达与他们私下观点并不一致的观点，称之为表达观点。本节专门介绍一种动态模型，其中包含了对观点的这种区分。之所以会出现这种区别，是因为个人在集体环境中感到有压力，他们必须要遵守社会标准或规范。

       最近的另一项著作创造了“伪造偏好”(preference falsification)一词，用以描述一种情况，即一个人有意或无意识地表达了他/她真实意见的改变形式。不受欢迎的规范也可以强制执行，即使大多数人而私下不喜欢它们，但是人们会出于担心孤立和暴露而表示出喜欢。多元无知(pluralistic ignorance)一词已被用来描述私人意见与公众意见之间大量出现差异的结果：人们认为，在现实中，公众多数支持立场A（例如在新闻媒体中他们表达了意见），但实际上多数人支持（私人）B立场。

       已经提出了定量模型以尝试捕获一些上述现象。这些模型是静态的，本质上是实验数据的曲线拟合。 相反，可以开发与前几节中探讨的模型相一致的基于动态主体的模型，因为这些模型可以使我们更深入地了解意见如何通过网络进行变化，包括时间变化的影响。

4.1 EPO模型

       EPO(expressed-private-opinions)模型是一种动态模型，它目的是在个体的表达观点和私人观点之间找到这种差异是如何产生的，假定一个人的表达观点是其私人观点由于遵守社会网络平均观点(social network's average opinion)的压力而改变的。换句话说，个人对压力具有一定的“弹性”，但并不受其影响。还假定每个人仍然像Friedkin-Johnsen模型中那样，在某种程度上仍然与个人的初始观点联系在一起。虽然“顽固性”的概念在意见动态中已经很普遍了一段时间，例如在Friedkin-Johnsen模型中，但“弹性”(resilience)的概念是专门为EPO模型引入的。

       该模型的数学形式可以看作是Friedkin-Johnsen模型的适度调整。 关键的扩展是通过以下方式向第i个代理赋予称为弹性的标量参数。

(21a)：$x_{i}\left ( k+1 \right )=\lambda _{i}\left [ a_{ii}x_{i}\left ( k \right )+\sum_{j\neq i}^{n}a_{ij}\widetilde{x_{j}}\left ( k \right ) \right ]+\left ( 1-\lambda _{i} \right )x_{i}\left ( 0 \right )$

(21b)：$\widetilde{x_{i}}\left ( k \right )=\phi _{i}x_{i}\left ( k \right )+\left ( 1-\phi _{i} \right )\widetilde{x}_{avg}\left ( k-1 \right )$

其中，$\widetilde{x}_{avg}\left ( k-1 \right )=\sum_{i=1}^{n}\frac{\widetilde{x}_{i}\left ( k-1 \right )}{n}$，为公众观点(public opinion)；$\phi _{i}$表示弹性，弹性越大，就越不易被公众观点影响私人观点，换言之，私人观点和表达观点的差距就越小。

上式说明个体拥有私人观点$x_{i}\left ( k \right )$，和表达观点$\widetilde{x}_{avg}\left ( k \right )$，表达观点供其他个体进行了解，表达观点是联合私人观点及群体影响(用表达观点计算的社会网络平均观点)的观点。对于中小型网络，上式可行，因为能够计算得出所有个体的表达观点用来计算社会网络平均观点，但是对于大型网络，公众的观点需要通过民意调查和社交媒体时，需要将上式的(21b)替换成下式(22)：

(22)：$\widetilde{x_{i}}\left ( k \right )=\phi _{i}x_{i}\left ( k \right )+\left ( 1-\phi _{i} \right )\widetilde{x}_{i,lavg}\left ( k-1 \right )$

 其中，$\widetilde{x}_{i,lavg}\left ( k-1 \right )=\sum_{j\in N_{i}}^{n}b_{ij}\widetilde{x}_{j}$是个体i的邻居节点的权重以及表达意见，此时，称$\widetilde{x}_{i,lavg}\left ( k-1 \right )$为个体i的局部公共观点。

4.2 动态分析

       以下的结论基于$g\left [ A \right ]$为强连通图的前提下，且对于所有的i都有$\phi _{i},\lambda _{i}\in \left ( 0,1 \right )$。重点研究人们的表达观点和私人观点分别是如何演变的，其中，表达观点用$\widetilde{x}=\left ( \widetilde{x}_{1},...,\widetilde{x}_{n} \right )^{T}$来表示；私人观点用$x=\left ( x_{1},...,x_{n} \right )^{T}$来表示，结论如下：

1）公众压力$\widetilde{x}_{avg}$，对个人最初意见的顽固，以及网络的强大连通性的结合，意味着稳定状态以指数方式快速达到。

2）一般而言，任何人的私人意见和表达的意见在均衡时都是不平等的，即$x_{i}\left ( \infty  \right )\neq \widetilde{x}_{i}\left ( \infty  \right )$

3）定义k时刻的私下和表达意见中的分歧分别为$V\left ( k \right )$和$\widehat{V}\left ( k \right )$，则有：

$V\left ( k \right )=maxx_{i}\left ( k \right )-minx_{i}\left ( k \right )$

$\widehat{V}\left ( k \right )=max\widehat{x}_{i}\left ( k \right )-min\widehat{x}_{i}\left ( k \right )$

事实证明，私人意见之间的分歧比平衡时表达意见更大，即：$V\left ( \infty \right )> \widehat{V}\left ( \infty  \right )$，这是由于遵守社会规范造成的：人们更加愿意在社交网络上表示赞同，但不太愿意改变自己的私人观点。在平衡时，私人观点的最小差异实际上包含了表达观点的最小差异。

4）根据所表达意见的不一致程度$\widehat{V}\left ( k \right )$，可以估计出最终私人意见不一致程度$V\left ( k \right )$的下界，以及对个人顺应压力的弹性程度的估计。这很重要，因为在一个小组中大量的意见传播可能破坏凝聚力，如果知道的话，可以引发某种形式的补救行动。

5）尽管在图中肯定不明显，但达到的私人和表达意见的稳态值取决于最初的私人意见$x\left ( 0 \right )$，也就是说不论个体最开始公开说了什么，都是他们的私人意见决定了稳态时的私人观点$x_{i}\left ( \infty  \right )$和表达观点$\widetilde{x}_{i}\left ( \infty  \right )$

6）网络的连通性导致个人对压力的适应力具有“传播效果”(propagating effect)。 改变一个人对这种压力的抵御能力水平，即弹性，会导致在平衡状态下其他每个人表达的观点发生特定的变化。 更具体地说，如果个人的弹性增强，则个人变得更加依赖于他/她表达的意见而不再依赖于群体规范，任何个人的最终表达意见也将比以前受到个人的最终私人意见的影响更大。

7）在标准的DeGroot模型中，动力学行为具有以下特性：所有观点的最大值总是单调递减，而观点的最小值总是单调递增。但不能保证EPO中的此类表达或私人观点都有保留这种属性。 尽管在某些情况下可能会存在。

4.3 Asch的实验和多元无知

4.3.1 将EPO模型应用于解释Asch实验

       EPO模型用于准确预测和解释Asch的一致性实验。实验旨在捕捉一个人面对一群人时的反应，这些人公开质疑他或她对无可争辩的事实的观点。原始实验如下图所示，其中每个人都必须判断行的长度，其中7个人与实验人员私下提前一致选择错误的答案。记录测试个体的反应。一些测试者会屈服于一致意见小组的压力，并且选择错误的答案，而另一些则拒绝。此外，在那些服从的人中，他们的私人和表达的意见可能会在动态过程中变化，或者可能是他们的私人意见保持不变，而表达的意见却发生了很大变化。我们在不失一般性的情况下将测试个体标记为网络的个体1，并表明可以通过参数的不同值，可准确地预测Asch记录的测试个体的反应，即对影响的敏感性（或缺乏固执）和对小组压力的依赖（有关详细信息）。在这里，我们总结了结果如下表。

 

表中的符号表示同前文。

4.3.2 EPO模型中的多元无知

        多元的无知是一种社会现象，大多数人私下拒绝接受观点立场，但人们认为大多数人对此观点表示支持，所以他们表达观点也是支持。例如，在1960年代，美国白人错误地确定了多数人支持种族隔离。在下图中，我们的模型显示，放置在无标度网络中，且连接良好的节点上的顽固分子（狂热分子）会在一般人群中造成大规模的多元无知。 这不仅会给人们的真实愿望造成混乱和错误信息，而且众所周知，长期维持的表达意见和私人意见之间的巨大差异会加剧个人之间的不满情绪，从而导致意外和激烈的行动。

       从下图可以看出，狂热者的存在对表达意见的影响较大，但不大影响人们的私人意见。

 

        那么狂热者的影响力又受哪些因素的影响呢？首先是拓扑，例如网络是小网络还是无标度网络。 事实证明，在一个很小的网络中，狂热者不必走得太远就能影响非狂热者，尽管狂热者的影响可能会被削弱，因为非狂热者还有许多其他非狂热者邻居。但是在无标度网络中，往往会有一些节点具有很高的度，并且，如果并且仅当狂热分子可以故意放置在这样的节点上时，它们才能变得非常强大。其次，平均公众意见是局部的还是全部的，也很重要，即（22）或（21b）中。如果个体仅寻求其邻居的平均意见，则可能看不到狂热分子，会影响平均意见。因为狂热者的影响需要一段时间才能散开，并且在此过程中可能会减弱。

4.4 EPO模型未来的发展

       除了考虑时变交互，基于八卦的算法以及其他公认功能（如有限的置信度或对抗性交互）的常规扩展之外，我们还简要介绍了有趣的社会现如下：

       与多元无知有关的现象和行为，在研究错误信息如何通过高知名度的媒体人物或社交媒体上的管理员帐户（例如外国评论政治事务的Twitter机器人）如何传播。

       为广大民众，并为制定有效的对策提供指导。例如，目前尚不清楚是否更好的方法是：1）引入一组与原始狂热分子在意见谱相反的极端分子（这可能会使网络变得两极分化），或2）传播更为温和意见（如果存在原始的狂热分子，可能会迷失方向）。

       研究在线社交网络的这种模型也将引起极大的兴趣，其中在许多论坛中普遍使用1-9-90规则。粗略地说，有1％的用户创建内容，有9％的用户通过发表意见参与，有90％的用户根本不参与； 90％的私人意见会由于10％的意见而演变，如果这些比率发生变化会怎样？

 

5 逻辑相关的话题的动态意见

       同时讨论两个话题的情况下，用$C_{i}$来表示个体i对话题之间的逻辑矩阵(23)：

$x_{i}\left ( k+1 \right )=\sum_{j=1}^{n}a_{ij}C_{i}x_{j}\left ( k \right )$

      考虑简单的，当i没有邻居节点的情况下(24)：

$x_{i}\left ( k+1 \right )=C_{i}x_{i}\left ( k \right )$

       对于$C_{i}$中的元素$C_{pq}$，若话题p不依赖于话题q，则$C_{pq}=0$；若对所有的$q\neq p$，都有$C_{pq}=0$，则$C_{pp}=1$；$C_{i}$对角线上的元素都大于0

5.1 因为逻辑不同而产生的分歧

      目的是研究当$C_{i}$不同时，对最终观点分布有什么影响，因此假定个体都是不固执的。

      假定$C_{i}$是下三角矩阵，这种情况的社会环境中很常见，反映出一个事实，即个人的信仰体系源自一种或多种他们认为无可争议的公理或真理。(27)：

$C_{i}=\begin{pmatrix}
1 & 0\\
C_{21,i} & C_{22,i}
\end{pmatrix}$

      相关定理：假定人们讨论的话题2个，且为强连通网络，每个人都有如(27)的逻辑矩阵，则有：

1）话题1的结论一定可以达成共识

2）对于几乎所有的初始条件，当且仅当所有的i的，C_{21,i}的元素符号相同时，话题2可以达成一致观点

因为，如果所有i的C_{21,i}的元素符号相同，那么就不存在相互竞争的逻辑依存结构，结果是两个话题都可以达成稳定的一致意见。相关讨论见下图：

可以看出，位置21的元素可以不尽相同，但是只要符号相同，则可以达成一致意见。

 

可以看出，但凡个体中有一个个体的C21元素符号与其他不同，及时其他人的C21相同，也达不到一致意见。

 

      如果是具有三个或三个以上主题的情况特殊一些。虽然可以像两个主题一样建立共识，但共识问题只能部分解决。

(28)：$C_{i}=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
C_{21,i} & C_{22,i} & 0\\
C_{31,i} & C_{32,i} &C_{33,i}
\end{pmatrix}$

       相应元素之间第二行的符号差异通常将阻止就主题3和主题2达成共识，这表明级联结构具有显着影响。 同样，第三行任何条目中有价个体之间的微小差异（即使没有符号差异）也可能导致主题3缺乏共识。因此，两个主题与三个主题（或更多）之间存在明显的区别。

      意见最终值的细微差异可能会导致意见分歧。换句话说，当使用（23）中的模型无法针对给定主题达成共识时，网络往往会进入强多样性状态。从导言中回想起，在强连通图上，某些模型导致弱多样性（例如Hegselmann-Krause和Altafini），而其他模型引起强多样性（例如Friedkin Johnsen）。我们报告的发现特别令人感兴趣，因为最终意见（上图）中的强烈差异显然可以归因于个人信仰系统之间逻辑相互依存关系的差异。详细地说，即使每个人都试图使用（23）使他们的观点更接近，也会出现强烈的多样性，并且这里不存在固执，有信心，负面影响或可能会导致分歧的其他常见因素。

5.2 连续时间模型的结论

       作为一般规则，无论是使用连续时间模型还是离散时间模型，在社交网络建模中都会得出几乎相同的结论。但是，在有多个相互依存的主题的情况下，我们需要注意当一个人进入连续时间时，可以考虑一个与内部认知过程相关的时间刻度，以便一个人获得一个一致的信念系统。而一个人可以在与其他个体的互动考虑一个与时间相相关的时标，从而引起一些修改，在个体之间达成共识。如果第二时间标度主导了第一时间标度，则我们已经能够从理论上进行证明，并通过仿真验证了该结论，这可能会导致不稳定。换句话说，当要考虑多个相关主题时，一定不要急于在个人之间达成共识，我们只能迅速地适应他人的意见，同时还要努力确保逻辑上的一致性：如果人们试图更快地回应他人的意见，那么至少在数学模型中可能会导致破裂和不稳定。此现象可能与认知超负荷有关，在认知超负荷中，如果以高密度接收该信息的个人内部能力可能会变得不堪重负。结果，个人的决策和认知能力大大下降。

      这种不稳定可能无法在离散时间模型中出现。也许是半信半疑的，但有一个解释：由于离散时间模型中存在采样时间，这一事实会限制实现更改的速度，并且与其他人的互动影响个人意见的速率不能成为个人信念系统处理信息的速率的任意大倍数。

5.3 未来发展方向

      从前面的材料中可以明显看出，当人们在讨论逻辑上相关的问题时，我们对观点动态的理解存在很大差距。如果对多个相关主题的任何研究中包含三个或更多主题，则上面标记的内容是提供一种全面的理论。此外，我们希望探索其他逻辑矩阵结构。例如，即使存在异构性，不可约逻辑矩阵似乎也不具有产生分歧的趋势。这可以提供有关哪些信念结构在生成共识方面更稳健，以及哪些信念结构更可能导致分歧的见解。最终，我们希望对此有一个全面的了解，从而在给定某种逻辑上相互依存的结构的情况下，我们能够精确地量化该逻辑结构对最终意见分布的影响，并确定哪些主题可能达成共识。哪些主题可能达成共识将显示出强烈的意见多样性。

      在一个单独的方向上，研究连续时间模型将是有意义的，对于固执个体的网络，仍然缺乏全面的结果。固执和认知超负荷之间的相互作用也很有趣。模拟和初步结果表明，高水平的固执可以稳定意见动态系统，其中缺乏固执会导致不稳定。而且，对于离散时间模型中，逻辑矩阵中的异质性影响，同样的问题值得对连续时间模型进行研究。

 

6 结论

       正如在控制理论，尤其是网络控制理论等领域中出现的那样，观点动力学的许多（当然不是全部）发展需要建立在严格的数学基础上。 研究还需要与观点的实验方面保持联系，以寻求动力和验证。其中很多的实验已经存在于文献中，在那里可以找到实验室实验或现场研究的描述。然而，许多文献研究的是静态情况（可能是动态演化结束时的稳态情况），这可能与对系统或其动态行为的时间演化感兴趣的控制科学家或工程师的倾向相反，我们可以从这方面入手研究。

       控制工程在寻找物理系统的简化模型方面也有长期的经验，即模型的参数通常少于覆盖系统每个方面所需的参数，但同时对于解释和预测目的很有用。 在最小化参数数量的意义上，保持模型简单性的重点可能对意见动态的未来发展很重要。

       在本文中，我们介绍了基本DeGroot模型的三个不同扩展。关于第一个社会权力的演变，我们强调有一些实验研究（不是我们进行的，而是本文引用的）验证了该模型。它通过了简单性测试。而且，我们已经说明了如何通过附加的适度参数，将行为特征用于构建更复杂的模型，尽管我们缺乏对该扩展模型的实验验证。 DeGroot和Friedkin Johnsen基本模型的第二个扩展，处理不同的表述和私人意见，是一个动态模型，该模型再次通过了简单性检验，这在某种程度上可能与社会科学文献中较为复杂且关注较少的模型形成对比通过系统理论工具可能得出的结论。该模型捕获大量先前文献中已报道的功能的能力令人惊讶。然后，我们检查了现实生活中经常遇到的情况，但尚未就意见动态（即在一组人中就逻辑上相关的主题的多种意见的演变）进行大量检查。这项工作在理论上开发较少，目前在实验室或现场数据支持下也较少。

       值得提醒的是，对于大型网络，DeGroot模型和从中得出的模型可能不如动力学模型有效。 不言而喻，影响矩阵C中的加权参数将永远无法获得，而且对于具有1000个代理的网络而言，至少可以说，在影响矩阵C中使用一百万个参数的想法具有挑战性。 因此，必须意识到基于个体的模型适合和不适合用于意见动态建模的场景。 抛开网络规模的问题，我们希望我们已经为工作的相关性，动态模型的功能以及仍然有待解决的科学挑战的数量提供了理由，即使在本文中仅关注最近的一些进展。