乘法逆元
乘法逆元
用途
在\(oi\)比赛中，比较常用的算法就是快速幂了，但是快速幂有一定的缺点比如他只能处理乘法，加法，减法，唯独不能处理除法，也很令人麻烦，此时就需要用到逆元的操作了,此若\(ax\equiv1 (mod~{b})，且\)\(a\)与\(b\)互质，那么我们就能定义: \(x\)为(\(a\))的逆元，记为\(a^{-1}\)，所以我们也可以称\(x\)为\(a\)的倒数，当我们快速幂的时候如果遇到\(\frac{a}{b}mod~~m\)的情况，就可以将\(\frac{1}{b}\)换成\(b\)关于\(m\)逆元即\(b'\),这样就可以进行快速幂的运算了。
求法
乘法逆元共三种情况，每种情况都有其特有的优缺点。
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首先就是采用扩展欧几里得的方法来求同余方程，\(ax \equiv 1(mod~ b)\)这个式子可以等价于\(ax+by=1\)这个方程的解，所以我们只需求出\(x\)来就行。 (比较通用)
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其次就是采用费马小定理+快速幂来求，但是这个条件比较苛刻，需要上文中的\(b\)是个质数，这时我们根据费马小定理可以得出\(a^{b-1}\equiv 1(mod~b)\) —> \(a * a^{b-2} \equiv 1(mod~b)\) 此时\(x\)就是\(a^{b-2}\)就是逆元，此时就可以用快速幂来解了。但是这个还是有点慢，不过在比赛中一般模数都是质数，所以也比较常用。
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当要处理比较多的数的时候，可以采用线性推的方法，这个在求多个数的逆元上比较舒服。首先我们需要推一下，首先我们有一个,\(1 ^ {-1}\equiv 1(\bmod p)\)然后设\(p=k*i+r,r<i,1<i<p\),再将这个式子放到\(\bmod {p}\)意义下就会得到：
\(k*i+r \equiv 0 (\bmod p)\)
然后乘上\(i^{-1}*r^{-1}\)就可以得到:
\(k*r^{-1}+i^{-1}\equiv 0 (\bmod p)\)
\(i^{-1}\equiv -k*r^{-1} (\bmod p)\)
\(i^{-1}\equiv -\lfloor \frac{p}{i} \rfloor*(p \bmod i)^{-1} (\bmod p)\)
这种题不太常见，一般出现在多种数据之中，比如洛谷的模板
