Bzoj 2839 集合计数 题解

2839: 集合计数

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Description

一个有N个元素的集合有2^N个不同子集(包含空集),现在要在这2^N个集合中取出若干集合(至少一个),使得
它们的交集的元素个数为K,求取法的方案数,答案模1000000007。(是质数喔~)

Input

一行两个整数N,K

Output

一行为答案。

Sample Input

3 2

Sample Output

6

HINT

 

【样例说明】

假设原集合为{A,B,C}

则满足条件的方案为:{AB,ABC},{AC,ABC},{BC,ABC},{AB},{AC},{BC}

【数据说明】

     对于100%的数据,1≤N≤1000000;0≤K≤N;

  一开始想到的状态数组是f[i],代表我们取交集共选了i个数,但是转移还要去枚举有几个集合,好像挺不靠谱的……
  一看正解,连状态数组都不用,让我想到了10.9考试 第一题建造城市的打法。
  我们同样,先从n个数里提前选出k个数,然后去枚举多出来的集合的交集至少是多少,仍然奇减偶加,假设我们当前要求的是交集多出至少为x的方案数,那么就是:
    (2^(2^(n-k-x))-1)*C(n-k,x)。
  在(2^(2^(n-k-x))-1)即表示在除去k+x个数后的2^(n-k-x)集合中选集合的方案数,由于我们不能一个都不选,所以还得减去全部不选的情况。C(n-k,x)就是在剩下n-k个数中选出x个数的方案数,最后在将总和乘以在n个数中选k个数的方案数。
 1 #include <iostream>
 2 #include <cstdlib>
 3 #include <cstdio>
 4 #include <cstring>
 5 #include <queue>
 6 #include <algorithm>
 7 #include <cmath>
 8 #include <map>
 9 #define N 1000005
10 using namespace std;
11 int n,k,p=1000000007;
12 long long jc[N],ni[N],xp[N];
13 long long ksm(long long x,long long z)
14 {
15     long long ans=1;
16     while(z>0)
17     {
18         if(z&1)
19         {
20             ans*=x;
21             ans%=p;
22         }   
23         x*=x;x%=p;
24         z>>=1;
25     }   
26     return ans;
27 }
28 int main()
29 {
30     scanf("%d%d",&n,&k);
31     jc[0]=1;xp[0]=1;
32     for(int i=1;i<=n;i++)
33     {
34         jc[i]=(jc[i-1]*i)%p;
35         xp[i]=(xp[i-1]*2)%p;
36     }
37     ni[n]=ksm(jc[n],p-2);
38     for(int i=n-1;i>=1;i--)ni[i]=(ni[i+1]*(i+1))%p;
39     ni[0]=1;long long now=2;
40     long long ans=0;
41     for(int i=n-k;i>=0;i--)
42     {
43         long long tmp=((((now-1)*jc[n-k]%p)*ni[i]%p)*ni[n-k-i])%p;
44         if(i&1)ans=(ans-tmp+p)%p;
45         else
46         {
47             ans+=tmp;
48             ans%=p;
49         }
50         now*=now;
51         now%=p;
52     }
53     ans*=((jc[n]*ni[k])%p*ni[n-k])%p;
54     ans%=p;
55     printf("%lld\n",ans);
56     return 0;
57 }
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posted @ 2017-10-16 21:19  Hzoi_joker  阅读(320)  评论(0编辑  收藏  举报