2020 ccpc 网络赛 1013 Residual Polynomial

题意:

 

 

 


 

为什么人均都会 NTT+分治啊,考试最后半个小时推出来式子,结果打不完了。

通过仔细分析或者手动模拟,我们可以发现,a[ i ]对于 f[ n ] [ j ] (i>=j) 的系数的贡献是由 b[p1]*b[p2]*b[p3]……*b[p(i-j)]*c[q1]*c[q2]*……*c[q(n-1-i-j)]*a[i]*( i*(i-1)*……*(j+1) ),其中q与p中的元素各不相同,可以从类似组合数的思想理解它的贡献方式。

不妨设H[x]为 i-j==x 时a[i]前的那一大串系数。我们会发现,f[ n ][ i ]* i! =H[ j ]*a[ i+j ]*(i+j)! (0<=j<=n-i),我们将H[j]与H[n-j]调换,式子就变成了 f[n][i]*i!=H[n-j]*a[i+j]*(i+j)!,我们会发现这个式子可以被NTT卷起来求值,我们剩下的问题就是如何求H。

暴力求H的方法是用背包,复杂度n^2,显然不太优美,因此我们可以用分治+NTT的方法,将复杂度降下去,小范围直接暴力跑就可以了。

  1 #include <bits/stdc++.h>
  2 #define N 800005
  3 using namespace std;
  4 inline int read(){
  5     int x=0,f=1;char ch=getchar();
  6     while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
  7     while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
  8     return x*f;
  9 }
 10 int T,n;
 11 int a[N],b[N],c[N];
 12 int rev[N];
 13 long long A[N],B[N];
 14 int F[2][18][N/4];
 15 const int p=998244353;
 16 long long ksm(long long x,long long z)
 17 {
 18     if(!x)return 1;
 19     long long ans=1;
 20     while(z>0)
 21     {
 22         if(z&1)
 23         {
 24             ans*=x;
 25             ans%=p;
 26         }
 27         x*=x;
 28         x%=p;
 29         z>>=1;
 30     }
 31     return ans;
 32 }
 33 void NTT(long long *A,int n,int op)
 34 {
 35     for(int i=1;i<n;i++)
 36     {
 37         if(rev[i]>i) swap(A[i],A[rev[i]]);
 38     }
 39     for(int k=2;k<=n;k<<=1)
 40     {
 41         long long wn=ksm(3,op==1?(p-1)/k:(p-1)-(p-1)/k);
 42         for(int j=0;j<n;j+=k)
 43         {
 44             long long w=1,x,y;
 45             for(int i=0;i<(k>>1);i++)
 46             {
 47                 x=A[i+j],y=w*A[i+j+(k>>1)]%p;
 48                 A[i+j]=(x+y)%p;
 49                 A[i+j+(k>>1)]=(x-y+p)%p;
 50                 w*=wn,w%=p;
 51             }
 52         }
 53     }
 54     if(op==-1)
 55     {
 56         int inv=ksm(n,p-2);
 57         for(int i=0;i<n;i++) A[i]=1ll*A[i]*inv%p;
 58     }
 59 }
 60 void work(int *AA,int *BB,int n)
 61 {
 62     int t,l;
 63     for(t=1,l=0;t<=n;t<<=1,l++);
 64     l--;
 65     for(int i=1;i<t;i++)rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((1&i)<<l);
 66     for(int i=0;i<=n;i++)A[i]=AA[i],B[i]=BB[i];
 67     for(int i=n+1;i<=t;i++) A[i]=B[i]=0;
 68     NTT(A,t,1);
 69     NTT(B,t,1);
 70     for(int i=0;i<t;i++) A[i]=A[i]*B[i]%p;
 71     NTT(A,t,-1);
 72 }
 73 void solve(int l,int r,int op,int dep)
 74 {
 75     if(r-l+1<=100)
 76     {
 77         F[op][dep][0]=1;
 78         for(int i=l;i<=r;i++)
 79         {
 80             F[op][dep][i-l+1]=0;
 81             for(int j=i-l+1;j;j--)
 82             {
 83                 F[op][dep][j]=(1ll*F[op][dep][j-1]*b[i]%p+1ll*F[op][dep][j]*c[i]%p)%p;
 84             }
 85             F[op][dep][0]=1ll*F[op][dep][0]*c[i]%p;
 86         }
 87         F[op][dep][r-l+2]=F[op][dep][r-l+3]=0;
 88         return;
 89     }
 90     int mid=(l+r)>>1;
 91     solve(l,mid,0,dep+1);
 92     solve(mid+1,r,1,dep+1);
 93     work(F[0][dep+1],F[1][dep+1],r-l+1);
 94 
 95     F[0][dep+1][0]=F[1][dep+1][0]=0;
 96     for(int i=0;i<=r-l+1;i++) F[op][dep][i]=A[i],A[i]=B[i]=F[0][dep+1][i]=F[1][dep+1][i]=0;
 97     A[0]=0;
 98     
 99     F[op][dep][r-l+2]=F[op][dep][r-l+3]=0;    
100 }
101 int G[N],jc[N],C[N];
102 int main(){
103 //    freopen("test.in","r",stdin);
104 //    freopen("1.out","w",stdout);
105   //  scanf("%d",&T);
106     T=read();
107     jc[0]=1;
108       for(int i=1;i<=100000;i++) jc[i]=1ll*jc[i-1]*i%p;
109     while(T--)
110     {
111         //scanf("%d",&n);
112         n=read();
113         for(int i=0;i<=n;i++)
114         {
115             //scanf("%d",&a[i]);
116             a[i]=read();
117         }
118         for(int i=1;i<=n-1;i++)
119         {
120             //scanf("%d",&b[i]);
121             b[i]=read();
122         }
123         for(int i=1;i<n;i++)
124         {
125             //scanf("%d",&c[i]);
126             c[i]=read();
127         }
128         memset(G,0,sizeof(G));
129         memset(F,0,sizeof(F));
130         memset(C,0,sizeof(C));
131         memset(A,0,sizeof(A));
132         memset(B,0,sizeof(B));
133         long long sm=1;;
134         solve(1,n-1,0,0);
135         for(int i=0;i<n;i++) G[i]=F[0][0][i];
136     //    for(int i=0;i<n;i++) cout<<G[i]<<' ';
137     //    cout<<endl;
138         for(int i=0;i<=n/2;i++) swap(G[i],G[n-i]);        
139         for(int i=0;i<=n;i++) C[i]=1ll*jc[i]*a[i]%p;    
140         work(G,C,n*2);
141         for(int i=n;i<=n*2;i++)
142         {
143             printf("%lld",A[i]*ksm(jc[i-n],p-2)%p);
144             if(i!=n*2) printf(" ");
145         }
146         printf("\n");
147         
148     }
149     return 0;
150 }
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posted @ 2020-09-24 13:33  Hzoi_joker  阅读(231)  评论(0编辑  收藏  举报