随笔分类 -  数学（组合，数论）

摘要：这是算法课程上完分之策略后老师留的一道题目：菲波那契数列如下：1,1,2,3,5,8,13,21,34......其中a[1] = 1, a[2] = 1, a[n]=a[n-1]+a[n-2]（n>=3）。对给定的下标n，求解a[n]%1997的值.其中测试数据n是整数范围内。这个题目，主要是用到很关键的一个数学知识，斐波那契数列的求法，可以转换为矩阵的连乘，矩阵的n此方算法又可以用分治的算法。而且又有理论依据：(n*m)%c=[ (n%c)*(m%c) ]%c ; (n+m)%c=[ (n%c)+(m%c) ]%c ,所以过程中的结果可以随时取模，而不影响最终的结果关于斐波那契数列的 阅读全文

摘要：斐波那契序列 集锦 (转)[定理1] 标准Fibonacci序列（即第0项为0，第1项为1的序列）当N大于1时，一定有f(N)和f(N-1)互质其实，结合“互质”的定义，和一个很经典的算法就可以轻松证明对，就是辗转相除法互质的定义就是最大公约数为1数学归纳法是很有用的证明方法，我们接下来这个定理用数学归纳法就很好证明：[定理2]若i为奇数， f(i)*f(i)=f(i-1)*f(i+1)+1，否则f(i)*f(i)=f(i-1)*f(i+1)-1对，这个定理用数学归纳法可以轻松证明，大家有兴趣可以自己尝试[定理3] f(n)=f(i)*f(n-i-1)+f(i+1)*f(n-i)f(n)=f( 阅读全文

摘要：计算组合数最大的困难在于数据的溢出，对于大于150的整数n求阶乘很容易超出double类型的范围，那么当C(n,m)中的n=200时，直接用组合公式计算基本就无望了。另外一个难点就是效率。 对于第一个数据溢出的问题，可以这样解决。因为组合数公式为： C(n,m) = n!/(m!(n-m)!)为了避免直接计算n的阶乘，对公式两边取对数，于是得到： ln(C(n,m)) = ln(n!)-ln(m!)-ln((n-m)!)进一步化简得到： 这样我们就把连乘转换为了连加，因为ln(n)总是很小的，所以上式很难出现数据溢出。 为了解决第二个效率的问题，我们对上式再做一步化简。上式已经把连乘法变成了. 阅读全文