算术平均、几何平均、调和平均、平方平均和移动平均

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本文内容

  • 算术平均
  • 几何平均
  • 调和平均
  • 平方平均
  • 移动平均
  • 参考资料

算术平均、几何平均、调和平均、平方平均和移动平均跟计算编程有什么关系:Just One Word,不能只会算术平均数,还有其他很多选择,以及不同场景使用不同的平均数。

算术平均


算术平均(Arithmetic mean)是最基本、最常用的一种平均指标,描述数据集中趋势的一个统计指标。

计算公式为:

clip_image002[4]

即,n 个数据相加后除以 n。0 也记入。

统计学上,算术平均较中位数和众数更少受到随机因素影响, 但缺点是它极易受到极大极小值的影响。例如,有数组 (5, 7, 5, 4, 6, 7, 8, 5, 4, 7, 8, 6, 20),平均值是 7.1,但实际上大部分数据(10个)都不超过7,如果去掉 20,平均数为 6。

上面是简单算术平均,它只是加权算术平均的一种特殊形式。若原始数据,被分成 k 组,各组的值为 (x1,x2,...,xk),各组频率分别为 (f1,f2,...,fk),则加权算术平均数的计算公式为:

clip_image002

由公式可以看出,加权算术平均数同时受到两个因素的影响,一个是各组数值的大小 xi,另一个是各组分布频数 fi。在数值不变的情况下,某组的频数越多,该组数值对平均数的作用就大,反之,越小。

算术平均可以用来反映一组数据的一般情况,也可以对不同组的数据进行比较。平均数可以直观、简明的表示一组数据,所以,在日常生活中经常用到,如平均速度、平均身高、平均产量、平均成绩等等。算术平均主要适用于数值型数据,不适用于品质数据。

几何平均


几何平均(Geometric mean),是另一种计算平均值的方法。对几何平均,也可以像算术平均一样,做加权的几何平均。

简单几何平均的计算公式为:

clip_image002[6]

即,n 个数据相乘后开 n 次方。其中,xi 都是正实数。

几何平均适用于对比率、指数等进行平均,主要用于平均增长(变化)率,对数正态分布。

算术-几何平均数

若有两个正实数 x 和 y,则它们的算术-几何平均数为,先计算这两个数的算术平均数,称为 a1;再计算它们的几何平均数,称为 g1

clip_image006

重复这个步骤,便得到了两个数列 (an) 和 (gn):

clip_image008

这两个数列都收敛于一个相同的数,这个数称为 x 和 y 的算术-几何平均数,记为 M(x, y) 或 agm(x, y)。

示例:

  • 计算 a0 = 24和 g0 = 6的算术-几何平均数 M(24, 6) 如下表所示:

n

an

gn

0

24

6

1

15

21

2

13.5

13.41640786500...

3

13.45820393250...

13.45813903099...

4

13.45817148175...

13.45817148171...

a0 = 24和 g0 = 6的算术-几何平均数 clip_image002[14]

  • 1 和 clip_image010 的算术-几何平均数的倒数,称为高斯常数。

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调和平均


调和平均(Harmonic Mean),也分简单和加权的形式。加权调和平均数是加权算术平均数的变形。多数多情况下,我们只掌握每组某个标志的数值总和(m),而缺少总体单位数(f)的资料,因此,不能直接采用加权算术平均数法计算平均数,而则采用加权调和平均数。

先由加权算术平均数公式推到加权调和平均公式,最后推到简单调和平均公式,它是加权调和公式的特殊形式。加权算术平均的计算公式为:

clip_image002[12]

即,加权调和平均公式为:

clip_image002[18]

当 mi=1 时,则公式退化成简单调和平均公式:

clip_image002[16]

即,n 个数据的倒数取算术平均,再取倒数。

调和平均一般用于计算平均速率。

示例:某工厂购进材料三批,每批价格及采购金额资料如下表:

 

价格x(元/千克)

采购金额 m(元)

采购数量 m/x(千克)

第一批

35

10000

286

第二批

40

20000

500

第三批

45

15000

330

合计

——

45000

1116

clip_image002[20]

 

 

每千克 40.32 元。

二个数的调和平均数

最常用的是二个正数值 x1 和 x2 的调和平均数 H:

clip_image016

而 x1 和 x2 的算术平均数 A 与几何平均数 G 分别为:

clip_image018

clip_image020

那么,它们存在如下关系:

clip_image022

应用

  • 可以用在相同距离,但速度不同的平均速度,如一段路,前半段时速 60 公里,后半段时速 30 公里〔两段距离相等〕,则其平均速度为两者的调和平均数 40 公里。

clip_image002[16]

  • 两个电阻 R1 和 R2 并联后的等效电阻 Req 为调和平均数的一半。

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  • 物理学中的减缩质量也为调和平均数的一半。

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毕达哥拉斯平均是算术平均数(A)、几何平均数(G)及调和平均数(H),这三种平均数的总称。

平方平均


平方平均(Quadratic mean),简称方均根(Root Mean Square,RMS),是平方根的广义平均(generalized mean),计算公式为:

clip_image002[10]

即,n 个数据的平方取算数平均,再开平方根。

利用柯西不等式,平方平均与算术平均的关系是:平方平均不小于算术平均。

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应用

  • 平方平均数常用来计算一组数据和某个数据的“平均差”。像交流电的电压、电流数值以及均匀加速直线运动的位移中点平均速度,都是以其实际数值的方均根表示。例如,交流电 220V 表示电压信号的均方根(又称为有效值),即 220V,为交流电瞬时值(瞬时值又称暂态值)的最大值的clip_image030
  • 统计中的标准差 s:

clip_image032

即,所有数据 clip_image034 与算术平均值 clip_image036 相减 clip_image038,取它们的平方平均数。

移动平均


移动平均(Moving Average,MA),又称“移动平均线”简称均线,是一种简单平滑预测技术,它的基本思想是:根据时间序列资料、逐项推移,依次计算包含一定项数的序时平均值,以反映长期趋势的方法。因此,当时间序列的数值由于受周期变动和随机波动的影响,起伏较大,不易显示出事件的发展趋势时,使用移动平均法可以消除这些因素的影响,显示出事件的发展方向与趋势(即趋势线),然后依趋势线分析预测序列的长期趋势。

移动平均法适用于即期预测。当产品需求既不快速增长也不快速下降,且不存在季节性因素时,移动平均法能有效地消除预测中的随机波动,是非常有用的。移动平均可抚平短期波动,反映出长期趋势或周期。最常见的是利用股价、回报或交易量等变量计算出移动平均。

数学上,移动平均可视为一种卷积(卷积是通过两个函数 f 和 g 生成第三个函数的一种数学算子,表征函数 f 与经过翻转和平移的 g 的重叠部分的累积。如果将参加卷积的一个函数看作区间的指示函数,卷积还可以被看作是“移动平均”的推广)。

移动平均法可以分为:简单移动平均和加权移动平均。

参考资料


posted @ 2014-01-19 14:59  船长&CAP  阅读(27653)  评论(0编辑  收藏  举报
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