复变函数

设$E$为一复数集，若对$E$内每一复数$z$，都有唯一确定的复数$w$与之对应，则称$E$上确定了一个单值函数。

多值函数

设$w=f(z)$是定义于点集$E$上的单值或多值函数，并令$z=x+iy$,$w=u+iv$，$u,v$皆随$x,y$确定，因而$w=f(z)$又常写成$w=u(x,y)+iv(x,y)$

如将$z$表示成指数形式$z=re^{i\theta}$,函数$w=f(z)$又可表成$w=P(r,\theta)+iQ(r,\theta)$

入变换：如对$z$平面上的点集$E$的任一点$z$，有$w$平面上的点集$F$的点$w$，使得$w=f(z)$,则称$w=f(z)$把$E$变(映)入$F$,简记为$f(E)\subseteq F$

或称$w=f(z)$是$E$到$F$的入变换。

满变换：如果$f(E)\subseteq F$，且对$F$的任一点$w$，有$E$的点$z$，使得$w=f(z)$,则称$w=f(z)$把$E$变（映）成$F$，（简记为：$f(E)=F$),或称$w=f(z)$是$E$到$F$的满变换。

若$w=f(z)$是点集$E$到$F$的满变换，且对$F$中的每个点$w$，在$E$中有一个或至少两个点与之对应，则在$F$上确定了一个单值或多值函数，记作$z=f^{-1}(w)$,它就称为函数$w=f(z)$的反函数，或称为变换$w=f(z)$的逆变换，若$z=f^{-1}(w)$也是$F$到$E$的单值变换，则称$w=f(z)$是$E$到$F$的双方单值变换，或一一变换。

 极限，连续性：

设函数$w=f(z)$于点集$E$上有定义，$z_{0}$为$E$的聚点，如存在一复数$w_{0}$,使得对任给$\varepsilon >0$有$\delta >0$，只要$0<|z-z_{0}|<\delta,z\in E$就有

$|f(z)-f(z_{0})|<\varepsilon$则称函数$f(z)$沿$E$于$z_{0}$有极限$w_{0}$

记为：$\underset{z \rightarrow z_{0},z\in E}{lim}f(z)=w_{0}$

1.极限若存在，必唯一

2.$f(z),g(z)$沿点集$E$在$z_{0}$处极限存在，则其加减乘除极限仍存在，且等于他们极限的加减乘除。

定理：设函数$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$于点集E上有定义，$z_{0}=x_{0}+iy_{0}$为E的聚点，则

$\underset{z \rightarrow z_{0},z\in E}{lim}f(z)=\eta =a+ib$

的充要条件是

$\underset{(x,y)\rightarrow (x_{0},y_{0}),(x,y)\in E}{lim}u(x,y)=a$

$\underset{(x,y)\rightarrow (x_{0},y_{0}),(x,y)\in E}{lim}v(x,y)=b$

连续性：设函数$w=f(z)$于点集$E$上有定义，$z_{0}$为$E$的聚点，且$z_{0}\in E$,若

$\underset{z\rightarrow z_{0},z_{0}\in E}{lim}f(z)=f(z_{0})$

即任给$\varepsilon>0$,有$\delta>0$只要$|z-z_{0}|<\delta,z\in E$,就有

$|f(z)-f(z_{0})|<\varepsilon$

则称$f(z)$沿$E$于$z_{0}$连续。

定理：设函数$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$于点集$E$上有定义，$z_{0}\in E$,则$f(z)$沿$E$在点$z_{0}=x_{0}+iy_{0}$连续的充分必要条件是:

二元函数$u(x,y)，v(x,y)$沿$E$于点$(x_{0},y_{0})$连续。

定义：如函数$f(z)$在点集$E$上各点均连续，则称$f(z)$在$E$上连续。