一些数学题

1.函数$f(x)$在$\left [ 0,1 \right ]$单调非增，证明：对于任何$\alpha \in(0,1)$:

$\int_{0}^{\alpha}f(x)dx  \geq  \alpha \int_{0}^{1}f(x)dx$

证明：即证 $(1-\alpha)\int_{0}^{\alpha} f(x)dx  \geq  \alpha \int_{\alpha}^{1} f(x)dx$

          由$f(x)$单调不增，所以有$(1-\alpha)\int_{0}^{\alpha} f(x)dx  \geq   (1-\alpha)(\alpha) f(\alpha)$

          而$(\alpha)\int_{\alpha}^{1} f(x)dx   \leq  (1-\alpha) (\alpha)f(\alpha)$

          所以结论成立

2.设$a,b>0,f(x) \geq 0$,且$f(x)$在[a,b]上可积，$\int_{a}^{b} xf(x) dx=0$求证：

$\int_{a}^{b}x^{2}f(x)dx\leq ab \int_{a}^{b}f(x)dx$

证明：构造一个$\int_{a}^{b}(x+a)(b-x) f(x)dx \geq 0 $