堆排序建堆复杂度在特殊情况下的推导

　　堆排序分为两个过程，一个建堆的过程，一个是从堆顶取数的过程。这里针对第一个过程，给出在堆的形式是完全满二叉树的情况下，建堆复杂度Ο(n)的简单推导。

　　

　　上图是一个完全满二叉树，假设一个完全满二叉树的节点数为n，树高为h（共h层），则满足h = log(n + 1)。由堆的构建过程可以知道，第一层（从下往上）进行的比较次数为0次，第二层为1次，。。。，第h层（最上一层）为h - 1次，而每一层对应的节点数分别为2^h, 2^(h - 1), ..., 2^0个，所以总计的比较次数为

　　T(n) = 0 * 2^h + 1 * 2^(h - 1) + 2 * 2^(h - 2) + ... + (h - 1) * 2^0                                                                                                 式(1)

而

           2T(n) = 1 * 2^h + 2 * 2^(h - 1) + 3 * 2^(h - 2)... + (h - 1) * 2^1                                                                                                   式(2)

式(2)减式(1)得

T(n) = 2^h + 2^(h - 1) + 2^(h - 2)... + 2^1 - (h - 1)                                                                                                              式(3)

所以

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　T(n) = 2^(h + 1) - h - 1 = 2n - log(n + 1) + 1 = O(n)

推到错误，纯属正常。