视觉SLAM十四讲（一）之旋转矩阵与旋转向量[罗德里格斯公式]

摘要：小伙伴在学习高博的《视觉SLAM十四讲》的时候，对罗德里格斯公式理解比较抽象，所以本次对该公式进行理论推导，并且整理该讲内容，其中有错误的地方，望指正。

一.罗德里格斯公式的推导

　　1.该公式的推导，主要的步骤有两个：

　　　　第一：寻找到一个向量，该向量与向量α的向量积=向量b

　　　　第二：将寻找到的这个向量转化成对应的反对称矩阵

　　　　其中旋转轴用单位向量表示

说明：这里是不是感觉和SLAM十四讲上面的公式不一样，刚开始推导出来，对比之后发现，确实不一样。反复检查几次，发现推导过程并没有太大错误。确实这个过程是没啥问题的，只是这个环节还差一步，关于反对称矩阵与向量之间的变换关系（这个公式是李群李代数里面的，具体推导只能再另外一篇博文中阐述了）。把这个公式代入：

 

 

 

 

 

2.公式推导分步解释

2.1旋转向量与反对称矩阵之间的关系（这个过程建立三维旋转向量与对应反对称矩阵的关系）　

　

其中：

 

2.2向量积（叉乘）

（为什么说明这一步，因为我在推导的过程中，由于向量积的基础知识不牢固，这里卡壳了两天）

 　　　　2.3向量的投影

　　　　

二.变换矩阵与齐次坐标系（旋转、平移）

　　1.向量

2.向量的内积

3.向量的外积

　　 

 　　4.正交矩阵的性质补充

　　　　

 　　5.向量的旋转

　　　　向量的旋转与向量的外积（叉乘）：旋转轴方向与一致。旋转的角度　　　

　　　　

 

　　6.坐标系的旋转

　　　　三维直角坐标系的三个轴的相对位置永远保持一致（刚体），只需要对一个向量如：旋转平移，整个坐标系就完成了变换操作

 

　　　　6.1刚体的变换（坐标系的欧式变换）

　　　　 　　　　　　

　　　　

  

 　　　　　　

　　　　　　

三.坐标变换：缩放、平移、旋转（欧拉角）

　　这个过程主要是能够直观的理解坐标系的变换（此步可以跳过）

1.缩放

其中Sc是缩放比例

2.平移

3.旋转

3.1二维坐标系旋转

 　　3.2三维坐标系旋转

　　

　　

4.欧拉角和万向锁

我们以rpy角进行旋转（即旋转顺序为ZYX：绕Z轴旋转得到偏航角yaw，绕旋转后的Y轴旋转得到俯仰角pitch，绕旋转后的X轴旋转，得到滚转角roll，这里和我们前面的分步旋转顺序是相反的，尽量和SLAM十四讲中的内容一致，所以我们把前面的内容调整一下，就是简单的调整一下左乘矩阵的顺序）

 

 

下面我们在hypermesh中创建坐标系，实际演示一下，坐标系旋转的实现过程。

从旋转过程可以看出，在绕Z轴旋转和绕X轴旋转的时候，其实坐标轴都是绕同一的向量（世界坐标系的轴）在旋转。这个就是万向锁问题。这个过程将三个旋转向量（轴)变换，丢失一个一个旋转。