NYOJ 485

A*B Problem

描述

设计一个程序求出A*B，然后将其结果每一位相加得到C，如果C的位数大于等于2，继续将C的各位数相加，直到结果是个一位数k。

例如：

6*8=48；

4+8=12；

1+2=3；

输出3即可。

输入

第一行输入一个数N(0<N<=1000000)，表示N组测试数据。
随后的N行每行给出两个非负整数m，n（0<=m,n<=10^12)。

输出

对于每一行数据，输出k。

样例输入

3
6 8
1234567 67
454 1232

样例输出

3
4
5

这道题目和之前的 http://www.cnblogs.com/liugl7/p/5362552.html 很像，在那道题中就总结了一个规律，就是：一个大数对9取余等于这个数各位数字之和对9取余。现在根据这个题目的意思，是反过来了。题目中说，这个数的各个位的数字之和一直处理到个位数。  我们经过演算可以得知计算“一个数W=mn的这样的运算”的结果可以用(W-1)%9+1直接得到。

而 mn-1 = (m-1 +1)(n-1 +1)-1 = (m-1)(n-1)+(m-1) + (n-1)+1 - 1 = (m-1)(n-1)+(m-1) + (n-1)

所以(mn-1)%9 = [(m-1)(n-1)+(m-1) + (n-1) ]%9 = [(m-1)(n-1)%9+(m-1)%9 + (n-1)%9]%9= { [(m-1)%9+1] * [(n-1)%9+1]  -1   }%9

即 结果A=  (mn-1)%9 +1 =  { [(m-1)%9+1] * [(n-1)%9+1]  -1   }%9 +1 

　　这样就把m和n的位数降下来了，可以直接输入m、n然后对9取模； 如果遇到了long long 存不下的数，可以运用http://www.cnblogs.com/liugl7/p/5362552.html 中的处理方法，充分运用10X≡9X+X≡X(mod 9)来完成 m%9和n%9的运算。

AC代码如下：

#include<stdio.h>
int main(){
    long long m,n;
    int temp,ans,t;
    scanf("%d",&t);
    while(t--){
        scanf("%lld%lld",&m,&n);
        temp = ( (m-1)% 9+1) * ( (n-1)%9+1);
        ans = (temp-1)% 9+1;
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
    
}

 

不过需要mark的是“9余数定理”这个东西，【一个数的各位数字之和想加后得到的<10的数字称为这个数的九余数（如果相加结果大于9，则继续各位相加）】9余数定理的其中一条有：两个因数的九余数相乘，所得的数的九余数应当等于两个因数的乘积的九余数。关于这个“9余数”，还有一个比较好玩的应用是计算“从1到1024排成一个数除以9，余数是多少？”  http://www.zhihu.com/question/26033918

这里面充分应用了10X≡9X+X≡X(mod 9)这个性质，顺带手还有9余数定理的体现。

经过本题，我们可以发现  计算一个数W的9余数的公式是  (W-1)%9+1   ,看到这的都是真爱啊，那么，不妨心中怀着这个公式从头再来一遍吧，相信这遍，会更清晰。