【证明】唯一分解定理

定理内容

每个大于 \(1\) 的自然数，要么本身就是质数，要么可以写成 \(2\) 个或以上的质数的乘积，而且这个乘积经过排序后仅有一种。

证明

存在性

假设存在大于 \(1\) 的自然数不能写成质数的乘积，那么我们将这一类自然数中最小的那个设为 \(n\)。
按照一个数的可除性，我们可以将数字分为三类：质数、合数、\(1\)。

因为定义，\(n\) 大于 \(1\)，所有 \(n\) 必定属于质数或者合数。

其次，\(n\) 定然不是质数，因为任意质数 \(P\) 可以写成本身，即 \(P=P\) 与假设相矛盾。所以，\(n\) 只能是合数。

因为 \(n\) 是合数，那么一定可以写成两个非 \(1\) 的数 \(a,b\) 的乘积。

因为有 \(n=a\cdot b\)，所以可以得到 \(a,b<n\)。那么因为 \(n\) 是最小的不可以分解成质数的数，所以 \(a,b\) 一定可以写成质数的乘积，那么 \(n\) 也一定可以写成 \(a,b\) 分解出的质数的乘积的乘积，这与假设相矛盾所以存在性得证。

唯一性

假设有大于 \(1\) 的自然数可以以多种方式写成一个乘积，那么假设 \(n\) 是其中最小的一个。

首先 \(n\) 不是质数，因为质数的分解只有一种方法，即他的本身。

不妨设 \(n=\prod p_i^{\alpha(i)}=\prod q_j^{\beta(j)}\)，其中 \(\forall p_i,q_j\in \operatorname{prime}\)。

容易得到 \(\dfrac{n}{p_1}=\dfrac{\prod q_i^{\beta(i)}}{p_1}\) 且 \(\dfrac{n}{p_1}\) 是整数，所以 \(p_1\mid \prod q_j^{\beta(j)}\)。

因为 \(p_1\) 为质数，所以 \(\exists j \mid q_j=p_1\)，不妨设 \(j=1\)。

所以有 \(n'=\dfrac{\prod p_i^{\alpha(i)}}{p_1}=\dfrac{\prod q_j^{\beta(j)}}{q_1}\)，这与 \(n'\) 的最小性相矛盾，所以定理得证。