摘要：
“满足四边形不等式”是“满足决策单调性”的充分不必要条件，满足决策单调性的题目不一定可以使用这篇文章提到的优化方式。 解决的问题 对于转移方程为类似于下面情况的且 \(n\le 2\times 10^5\)，那么可以考虑用四边形不等式优化。 \[f_{i}=\min\limits_{j=0}^i\{ 阅读全文
posted @ 2025-09-26 14:38
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摘要：
需要注意凹凸序列优化和斜率优化并不是一个东西。 定义一个排列是凸序列，当且仅当满足这个序列的差分数组单调不升；反之如果这个序列的差分数组单调不降，那么这个序列就是凹序列。 凸序列优化 DP 并不是一种求解的套路，而是一种思想，下面只是举一个比较常见的例子。 对于这样的一个转移方程： \[f_{i}= 阅读全文
posted @ 2025-09-26 14:37
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摘要：
解决的问题 斜率优化 DP 可以优化以下形式的转移方程： \[f_i=\max/\min\{a(i)\times X(j)+c(i)+Y(j)+L\} \]其中 \(a(i),c(i)\) 表示与 \(i\) 有关的函数，\(X(j),Y(j)\) 表示与 \(j\) 有关的函数，\(L\) 代表一 阅读全文
posted @ 2025-09-26 14:37
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根据牛顿老爷的研究，有广义二项式定理： \[(ax+b)^{n}=\sum\limits_{k=0}^{+\infty} {n\choose k} (ax)^kp^{n-k} \]注意到这里的组合数的定义需要拓展，我们约定 \(m\ge 0,n<m\) 时： \[{n\choose m}=\dfra 阅读全文
posted @ 2025-09-26 14:36
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前言 请怀着批判性思维阅读，如果有任何问题欢迎前来踩爆我。 群 定义 如果一个集合 \(S\ne \varnothing\)，且在 \(S\) 上的运算 \(\cdot\) 满足一下要求，得到我们称 \((S,\cdot)\) 为一个群。 封闭性：\(\forall a,b\in S\)，\(a\c 阅读全文
posted @ 2025-09-26 14:35
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注意：矩阵树定理支持重边，但不可以存在自环！！！ 一些概念 主子式 定义一个有 \(k\) 个元素的集合 \(S\) 且所有元素都是 \([1,n]\) 中的整数，那么对于任意 \(i,j\in S\) 中将行列式 \(A_{n\times n}\) 中的 \(A_{i,j}\) 取出按 \((i, 阅读全文
posted @ 2025-09-26 14:34
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定义 第二类斯特林数记作 \(\begin{Bmatrix}n\\ k\end{Bmatrix}\) 或者 \(S(n,k)\)，其意义是将 \(n\) 个互不相同的元素划分为 \(k\) 个相同的非空集合的方案数。 朴素求解 \[\begin{Bmatrix}n\\ k\end{Bmatrix} 阅读全文
posted @ 2025-09-26 14:33
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距离 首先，我们考虑画出平面直角坐标系上所有到原点的 曼哈顿距离 为 \(1\) 的点。 通过公式，我们很容易得到方程 \(\left | x\right| +\left | y\right| = 1\)。 将绝对值展开，得到 \(4\) 个 一次函数 ，分别是： \[y = x + 1\ (x \ 阅读全文
posted @ 2025-09-26 14:33
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定理内容 对于任意不全为 \(0\) 的整数 \(a,b\)，方程 \(ax+by=\gcd(a,b)\) 一定有整数解 \(x,y\)。 证明 引理 \(1\) 对于两个正整数 \(a,b\) 满足 \(a>b\) 可以推出 \(\gcd(a,b)=\gcd(b,a\bmod b)\)。 设 \( 阅读全文
posted @ 2025-09-26 14:32
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定义 网络 网络是一个由 \(n\) 个点 \(m\) 条边组成的有向图 \(G\)，满足每一条边 \(x\to y\) 都有边权 \(C_{x\to y}\)，我们称 \(C_{x\to y}\) 为容量。图中还有两个特别的点，分别是源点 \(S\) 和汇点 \(T\)，满足 \(S\ne T\) 阅读全文
posted @ 2025-09-26 14:31
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