神奇 の WX

WX 是我们的教练，不定时更新。

他曾经强调：“实践出真知，实践长真才。坚持在做题中学习、学习中做题是信息竞赛选手成长成才的必由之路。”处在前所未有的变革时代，干着前无古人的伟大事业，广大的信息竞赛选手需要如饥似渴学习、一刻不停提高，坚持在干中学习、学习中干。

二分求解滑动窗口

怎么求解“长度至少为 \(k\) 的区间的最小值”的最大值？

先二分一个值，然后去遍历整个数组寻找，时间复杂度为 \(O(n\log V)\)。

为啥不直接写滑动窗口呢？因为长度至少是 \(k\) 而不是一定是 \(k\)。

求解两个字符串的子串

“考虑怎么用 SAM 做。”

“为啥不用 SA？”

“其实我们是在为做多个字符串的公共子串做准备。”

调和级数求解 \(\sum d(n)\)

设 \(d(n)=\sum\limits_{i=1}^n [\gcd(i,n)=n]\)，那么怎么求解 \(\sum\limits_{i=1}^n d(i)\) 呢？

考虑枚举其因子，第 \(i\) 个数一定是 \(i,2i,\cdots ,\lfloor \dfrac{n}{i}\rfloor\times i\) 的因数。

一个一个遍历判断，时间复杂度为 \(O(n\log n)\)。

求解完全积性函数

详细讲解了怎么求解积性函数，然后遇到了一个完全积性函数。

这是一个完全积性函数，可以用线性筛求解，举个例子。

（沉默良久

你们自己去在了解一下吧。

关于 \(\varepsilon\)

应 @E_M_T 的要求添加的。

\(\varepsilon(n)=[n=1]\) 是单位函数，\((\varepsilon*f)(n)=f\)，也就是只有 \(n=1\) 时 \(f(n)=0\)。

至少与恰好

设 \(f(i)\) 表示至少 \(k\) 个元素是集合的交集的方案，那么有：

\[f(i)={n\choose k}\times (2^{2^{n-k}}-1) \]

设 \(g(i)\) 表示恰好 \(k\) 个元素是集合交集的方案数，可以得到：

\[f(i)=\sum\limits_{i=k}^n{n\choose k}\times g(i) \]

反演可以得到：

\[g(i)=\sum\limits_{i=k}^n(-1)^{i-k}{i\choose k}f(i)=\sum\limits_{i=k}^n(-1)^{i-k}{i\choose k}{n\choose k}(2^{2^{n-k}}-1) \]

群

WX 的 PPT 没有解释 Burnside 是把具体的方案作为群而 Polya 是把位置作为群，这直接导致学生无法理解 \(16\) 个项的集合是怎么通过 \(4\) 的置换解决的。

官方解释：你先不要管染色，你就是去对于 Burnside 引理的位置去考虑，不动的是下标而不是值。

HNOI2008 Cards

因为洗牌操作构成了一个群，所以只有原置换存在不动点，所以有：

\[Ans=\dfrac{1}{m+1}{r\choose r+g+b}{b\choose b+g}{g\choose g}=\dfrac{(r+g+b)!}{(m+1)r!b!g!} \]

教练必备技能之找题

俄国著名作家陀思妥耶夫斯基曾经说过：用简明的语言概括 wx 教练的教育方式就是一道题用三代，人走题还在。

当你不知道让同学们干什么的时候，那么去翻一翻以往的题单，找出以往的 PTT。

你并不需要搞懂所有的题目，因为我们可以充分发挥学生的主管能动性，让他们在下课之后充分的自己思考。

教练必备技能之出模拟赛

教练怎么能不出模拟赛呢？

T1 不应该太难了，找一个蓝题就足够。

什么？你害怕大家全部过了，没关系谎报一下数据范围就好了。

T2 不应该让大家都不会做，放一个分层图就足够了。

什么？你害怕大家全部过了，没关系不给大样例让一群错解哥布林自己叫去吧。

T3 要难一点，应该找一个没人会做的防 AK 题。

什么？为什么要搞一个爆难的题，要是有一群 AK 哥布林乱叫就不好了。

T4 要放一个原题，这样大家都会对自己不好好订正感到悔恨。

什么？为什么 \(2500\) 的时候 \(O(n^3)\) 可以过，因为这个新时代，是承前启后、继往开来、在新的历史条件下继续夺取中国特色社会主义伟大胜利的时代，是决胜全面建成小康社会、进而全面建设社会主义现代化强国的时代，是全国各族人民团结奋斗、不断创造美好生活、逐步实现全体人民共同富裕的时代，是全体中华儿女勠力同心、奋力实现中华民族伟大复...