伯努利数学习笔记

定义

伯努利数是18世纪瑞士数学家雅各布·伯努利引入的一个数

在数学上，伯努利数是一个有理数数列，在许多领域都有很大的应用

伯努利数的前几项分别为 \(B_0=1,B_1=-\frac{1}{2},B_2=\frac{1}{6},B_3=0,B_4=-\frac{1}{30}\)

求法

有 \(\sum\limits_{i=0}^nB_iC_{n+1}^i=0\)

则 \(B_n=-\frac{1}{n+1}\sum\limits_{i=0}^{n-1}B_iC_{n+1}^i\)

应用

求自然数幂和

\(\begin{aligned} S_k(n)&=\sum_{i=0}^{n-1}i^k\\ &=\frac{1}{k+1}\sum_{i=0}^kC_{k+1}^iB_in^{k+1-i} \end{aligned}\)