CF习题集三
CF习题集三
一、CF8C Looking for Order
题目描述
\(Lena\)喜欢秩序井然的生活。一天，她要去上大学了。突然，她发现整个房间乱糟糟的——她的手提包里的物品都散落在了地上。她想把所有的物品都放回她的手提包。但是，这里有一点问题：她一次最多只能拿两个物品，她也不能移动她的手提包。并且，因为她爱整洁的习惯，如果她拿起了一个物品，她也不能将它放在其他地方，除非放回她的手提包。
\(Lena\)把她的房间划分为了一个平面直角坐标系。现在Lena给你她的手提包和每个散落的物品的坐标（当然，一开始的时候她就和手提包站在一个地方）。她从坐标 \((x1,y1)\)走到坐标 \((x2,y2)\) 需要用 \((x1-x2)^2+(y1-y2)^2\) 单位的时间。现在，\(Lena\)将告诉你她的房间的情况，请你为\(Lena\)找到一个拾起每个物品的顺序，使她拾起所有物品所需的总时间最小。当然，\(Lena\)最后需要返回她的手提包。
分析
\(n\)的范围比较小，因此我们考虑状压\(DP\)
我们设\(f[i]\)为当前拾取的物品状态为\(i\)时的最小花费
那么我们就可以写出如下的状态转移方程
f[i|(1<<(j-1))|(1<<(k-1))]=f[i]+dis[j][0]+dis[j][k]+dis[k][0];
如果单纯地这样写而不加任何优化是会\(T\)掉的
实际上，对于两个物品，我们先拿走哪一个或者后拿走哪一个对结果没有影响
因此，我们可以人为地规定一个拿取的顺序
即对于一个\(j\)一旦它匹配成功，我们就跳出循环，不再匹配
而去匹配下一个\(j\)
代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=25;
int f[1<<maxn],jl[1<<maxn];
int jlx[maxn],jly[maxn],dis[maxn][maxn];
int ans[1<<maxn],cnt;
int main(){
memset(f,0x3f,sizeof(f));
scanf("%d%d",&jlx[0],&jly[0]);
int n;
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++){
scanf("%d%d",&jlx[i],&jly[i]);
}
for(int i=0;i<=n;i++){
for(int j=i+1;j<=n;j++){
dis[i][j]=dis[j][i]=(jlx[i]-jlx[j])*(jlx[i]-jlx[j])+(jly[i]-jly[j])*(jly[i]-jly[j]);
}
}
f[0]=0;
int mmax=(1<<n)-1;
for(int i=0;i<=mmax;i++){
for(int j=1;j<=n;j++){
if(i&(1<<(j-1))) continue;
for(int k=1;k<=n;k++){
if(i&(1<<(k-1))) continue;
int now=i|(1<<(j-1))|(1<<(k-1));
if(f[now]<=f[i]+dis[j][0]+dis[j][k]+dis[k][0]) continue;
f[now]=f[i]+dis[j][0]+dis[j][k]+dis[k][0];
jl[now]=i;
}
break;
}
}
printf("%d\n",f[mmax]);
while(mmax){
printf("0 ");
for(int i=1;i<=n;i++){
if((mmax^jl[mmax])&(1<<((i-1)))) printf("%d ",i);
}
mmax=jl[mmax];
}
printf("0 ");
return 0;
}
二、CF510D Fox And Jumping
题目描述
给出 \(n\) 张卡片，分别有 \(l_i\) 和 \(c_i\)。在一条无限长的纸带上，你可以选择花 \(c_i\) 的钱来购买卡片 \(i\)，从此以后可以向左或向右跳 \(l_i\) 个单位。问你至少花多少元钱才能够跳到纸带上全部位置。若不行，输出 \(-1\)。
分析
我们先只考虑购买了两个卡片的情况
我们设这两个卡片跳跃的距离分别为\(a,b\)
其中第一张卡片使用了\(x\)次，第二张卡片使用了\(y\)次
那么跳跃的距离\(l=ax+by\)
要使方程有解，则必有\(l mod \gcd(a,b)=0\)
要使\(l\)取到任意整数，则\(\gcd(a,b)=1\)
因此，原题就变成了在\(n\)个数中选取几个数，使得这些数的最大公因数为\(1\)
求所有方案中花费最小的方案
一种可行的做法是设\(f[i]\)表示选择一些数并且最大公约数为\(i\)时的最小花费
利用\(map\)进行转移
但是现在我们考虑怎么用暴搜过掉这个题
最初始的暴搜应该比较好定义
我们传四个参数，分别是当前已经选到了第几个数、当前已经选了几个数、当前选择的所有数的价值之和、当前所有数的最大公因数
这样的暴搜不加任何剪枝会\(T\)到飞起
因此我们考虑怎么去优化
剪枝一、如果当前价值已经大于所选价值，那么就没有必要继续向下选
剪枝二、如果当前选择的数量大于9，那么就没有必要继续向下选
因为如果有\(10\)个不同的质因子，此时数会很大，已经超过了\(l[i]\)的最大值
剪枝三、提前将-1的情况预处理出来
剪枝四、如果当前枚举的\(l[i]\)是之前枚举的公因数的倍数，那么当前的\(l[i]\)一定不会使之后的公因数变小，选\(l[i]\)无意义
有了上述四个剪枝，我们已经可以跑过\(64\)个点，但是在最后一个点\(T\)了
因此，我们再加最后一个信仰剪枝，即如果当前运行次数过多，直接输出当前最优解，同时杀死程序
代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=1005,maxk=21;
int s[maxn],l[maxn],n;
int gcd(int aa,int bb){
if(bb==0) return aa;
return gcd(bb,aa%bb);
}
int ans=0x3f3f3f3f;
int tim=0;
void dfs(int now,int cnt,int tot,int gys){
tim++;
if(tim>2e7){
if(ans==0x3f3f3f3f) printf("-1\n");
else printf("%d\n",ans);
exit(0);
}
if(gys==1) ans=min(ans,tot);
if(tot>=ans || cnt>9 || now>n) return;
for(int i=now;i<=n;i++){
if(gys==0) dfs(i+1,cnt+1,tot+s[i],l[i]);
else if(l[i]%gys!=0) dfs(i+1,cnt+1,tot+s[i],gcd(gys,l[i]));
}
}
int main(){
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++){
scanf("%d",&l[i]);
}
for(int i=1;i<=n;i++){
scanf("%d",&s[i]);
}
int jud=l[1];
for(int i=2;i<=n;i++){
jud=gcd(jud,l[i]);
}
if(jud!=1){
printf("-1\n");
return 0;
}
dfs(1,0,0,0);
if(ans!=0x3f3f3f3f)printf("%d\n",ans);
else printf("-1\n");
return 0;
}
三、CF985E Pencils and Boxes
题目描述
给出\(n\)个整数\(a_1,a_2,...,a_n\),现在需要对其进行分组，使其满足以下条件：
每个数都必须恰好分入一组中
每一组中必须至少包含\(k\)个数
在每一组中，整数的权值之差的绝对值不能超过\(d\)。即当\(a_i,a_j\)在同一组时，需要满足\(|a_i+a_j| \leq d\)
请判断是否存在满足条件的分组方案，若有请输出"YES",否则输出"NO"。
数据范围：\(1 \leq k \leq n \leq 5 * 10^5 , 0 \leq d \leq 10^9\)
分析
这道题我们要用到\(bool\)类型的\(DP\)
为了方便处理，我们将所有数从小到大排一下序
我们设\(f[i]\)为当前遍历到第\(i\)个数，是否合法
其中值为\(1\)代表合法，值为\(0\)代表不合法
在转移时需要枚举每一个左端点，如果左端点的状态合法，我们再用当前的状态不断向右更新
最后如果\(f[n]\)为\(1\)，那么输出YES,否则输出NO
代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=1e6+5;
typedef long long ll;
bool f[maxn];
ll a[maxn];
int main(){
ll n,k,d;
scanf("%lld%lld%lld",&n,&k,&d);
for(ll i=1;i<=n;i++){
scanf("%lld",&a[i]);
}
sort(a+1,a+1+n);
f[0]=1;
ll p=1;
for(ll i=0;i<=n;i++){
if(f[i]){
p=max(p,i+k);
while(p<=n && a[p]-a[i+1]<=d){
f[p]=1;
p++;
}
}
}
if(f[n]==0) printf("NO\n");
else printf("YES\n");
return 0;
}
四、CF1340B Nastya and Scoreboard
题目描述
分析
比较有意思的一道题
直接放个链接题解
代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=2e3+10;
char num[10][10]={"1110111","0010010","1011101","1011011","0111010","1101011","1101111","1010010","11111111","1111011"};
int dp[N][N];
char a[N][10];
int cal(char c[],int pos){
int cnt=0;
for(int i=0;i<7;++i){
if(c[i]=='1' && num[pos][i]=='0') return -1;
if(c[i]!=num[pos][i]) cnt++;
}
return cnt;
}
int main(){
memset(dp,-1,sizeof(dp));
int n,k;
scanf("%d%d",&n,&k);
for(int i=1;i<=n;++i)
scanf(" %s",a[i]);
for(int i=n;i>=1;--i){
if(i==n){
for(int j=0;j<10;++j){
int t=cal(a[i],j);
if(t==-1) continue;
dp[n][t]=max(dp[n][t],j);
}
}
else{
for(int j=0;j<10;++j){
int t=cal(a[i],j);
if(t==-1) continue;
for(int p=t;p<=k;++p){
if(dp[i+1][p-t]!=-1){
dp[i][p]=j;
}
}
}
}
}
if(dp[1][k]==-1){
puts("-1");
return 0;
}
int now=k;
for(int i=1;i<=n;++i){
printf("%d",dp[i][now]);
now-=cal(a[i],dp[i][now]);
}
puts("");
return 0;
}
