信号的分解及其响应总论
1 概述
线性时不变系统的响应分析求解过程主要 来自三个方面
1 基本信号的基本响应
2 任何信号分解成一般信号的线性组合
3 基本信号线性组合的响应等于基本信号响应的线性组合
基于以上三点,基本信号的选取📌至关重要:
1 基本信号的响应要简单易求,
2 且为具有一般性,任何信号均能分解为一般信号的线性组合📌
典型的基本信号冲激信号,复指数信号和正弦信号等等,正弦信号与复指数信号的区别见周期信号的傅里叶级数: 复指数形式📌 三角函数形式📌
注意:基函数不是一个函数,是一系列函数组成的函数集;
1.1 特征函数的概念
特征函数即满足响应简单的要求,冲激函数在时域分解,含义较为明确,但是其响应分析要用到卷积.在信号的变换域即频域中,使用复指数作为基,其响应变得更加易求.
连续函数的特征函数为\(e^{st}\),
离散序列的特征函数为 \(z^n\),
这两种函数的响应均为特征函数乘以幅度因子的形式,即
\[\begin{array}{c}
e^{st}\rightarrow H\left( s \right) e^{st}
\\z^n\rightarrow H\left( z \right) z^n
\end{array}
\]
幅度因子\(H\left( s \right)\)即称为系统的特征值.
下面将分别叙述使用三种不同基本信号时,对线性时不变系统响应的分析过程,从下面的分析将会看出这三种基本信号均满足以上两个要求.
2.1 基本信号的基本响应
\[\delta \left( t \right) \rightarrow h\left( t \right)
\]
2.2 一般信号的分解
\[f\left( t \right) \,\,=\,\,\int_{-\infty}^{+\infty}{f\left( \tau \right)}\delta \left( t-\tau \right) d\tau
\]
这个函数即以\(\delta \left( t \right) ,\delta \left( t-\varDelta \tau \right) ,\delta \left( t-2\varDelta \tau \right) ,\cdots ,\delta \left( t-n\varDelta \tau \right) \,\, \left( \varDelta \tau \rightarrow 0 \right)\)作为基函数进行分解,由于变量 \(\tau\) 的连续变化而产生的一系列基函数,这个变量自然就是分解时所使用的被积函数.积分范围则表示了这个基函数集中所有基函数的范围. 有了基函数及其积分变量的积分范围,就能基本摸清基函数集的样子.
2.3 求响应的和
取上式中的一个基本单元$f\left( \tau \right) \delta \left( t-\tau \right) \(这个式子即表示\)f\left( t \right) \(这个函数在\)\delta \left( t-\tau \right) \(这个基函数上的投影,其加权系数为\)f\left( \tau \right) $.于是便有了响应过程
上式右边即为系统的输出
\[\begin{array}{c}
\delta \left( t \right) \rightarrow h\left( t \right)
\\
\delta \left( t-\tau \right) \rightarrow h\left( t-\tau \right)
\\
f\left( \tau \right) \delta \left( t-\tau \right) \rightarrow f\left( \tau \right) h\left( t-\tau \right)
\\
\int_{-\infty}^{+\infty}{f\left( \tau \right) \delta \left( t-\tau \right)}\rightarrow \int_{-\infty}^{+\infty}{f\left( \tau \right) h\left( t-\tau \right)}
\end{array}
\]
3 离散时间信号的响应问题
3.1 基本信号基本响应
\[\delta \left( k \right) \rightarrow h\left( k \right)
\]
\[f\left( k \right) \,\,=\,\,\sum_{i=-\infty}^{+\infty}{f}\left( i \right) \delta \left( k-i \right) \,\,
\\
\]
\({f}\left( i \right) \delta \left( k-i \right)\)中是以\(\delta \left( k-i \right)\)为基函数,\({f}\left( i \right)\)是原函数在此基函数上的投影系数,i 取不同值时会有不同的基函数,它们共同组成了基函数集.
\[\begin{aligned}
\delta(k) & \rightarrow h(k) \\
\delta(k-i) & \rightarrow h(k-i) \\
f(i) \delta(k-i) & \rightarrow f(i) h(k-i)\\
\sum_{i=-\infty}^{\infty} f(i) \delta(k-i) & \rightarrow \sum_{i=-\infty}^{\infty} f(i) h(k-i) \\
\end{aligned}
\]
上式左边即为基本信号的分解形式,右边即为它的响应.
3.4 对上述过程的矩阵表示
已知\(\delta \left( k \right) ,\delta \left( k-1 \right) ,\delta \left( k-2 \right) ,\cdots ,\delta \left( k-i \right)\)为此信号空间的一组基
则空间中任一信号均可以表示为基的线性组合:
\[\left( \begin{matrix}
\delta \left( k \right)& \delta \left( k-1 \right)& \delta \left( k-2 \right)& \cdots& \delta \left( k-i \right)\\
\end{matrix} \right) \left( \begin{array}{c}
f\left( 0 \right)\\
f\left( 1 \right)\\
f\left( 2 \right)\\
\vdots\\
f\left( i \right)\\
\end{array} \right) \,\,=\,\,f\left( k \right)
\\
\]
其中\(\delta \left( k \right)\)为列向量将以上分块矩阵 展开为:
\[\left( \begin{matrix}
\delta \left( k \right)& \delta \left( k-1 \right)& \delta \left( k-2 \right)& \cdots& \delta \left( k-i \right)\\
1& & & & \\
& 1& & & \\
& & 1& & \\
& & & \ddots& \\
& & & & 1\\
\end{matrix} \right) \left( \begin{array}{l}
f\left( k \right)\\
f\left( 0 \right)\\
f\left( 1 \right)\\
f\left( 2 \right)\\
\vdots\\
f\left( i \right)\\
\end{array} \right) \,\,=f\left( k \right)
\\
\]
所以可以轻易得出响应的矩阵表示
\[\left( \begin{matrix}
\delta \left( k \right)& \delta \left( k-1 \right)& \delta \left( k-2 \right)& \cdots& \delta \left( k-i \right)\\
1& & & & \\
& 1& & & \\
& & 1& & \\
& & & \ddots& \\
& & & & 1\\
\end{matrix} \right) \left( \begin{array}{l}
f\left( k \right)\\
f\left( 0 \right)\\
f\left( 1 \right)\\
f\left( 2 \right)\\
\vdots\\
f\left( i \right)\\
\end{array} \right) \,\,\rightarrow \left( \begin{matrix}
h\left( k \right)& h\left( k-1 \right)& h\left( k-2 \right)& \cdots& h\left( k-i \right)\\
h\left( 0 \right)& & & & \\
h\left( 1 \right)& h\left( 0 \right)& & & \\
h\left( 2 \right)& h\left( 1 \right)& h\left( 0 \right)& & \\
\vdots& \vdots& \vdots& \ddots& \\
h\left( i \right)& h\left( i-1 \right)& \cdots& h\left( 1 \right)& h\left( 0 \right)\\
\end{matrix} \right) \left( \begin{array}{l}
f\left( k \right)\\
f\left( 0 \right)\\
f\left( 1 \right)\\
f\left( 2 \right)\\
\vdots\\
f\left( i \right)\\
\end{array} \right) \,\,
\\
\]
有了这层矩阵表示也可以容易看出当h(n)这个序列向右移位后,那么其响应也一定会发生相同的位移
4 连续信号的变换域分解
变换域分解的基函数选择为\(e^{st}\),我们可以计算此信号的响应为:
\[\begin{aligned}
y\left( t \right) &=\int_{-\infty}^{+\infty}{f}(\tau )h(t-\tau )d\tau\\
&=\int_{-\infty}^{+\infty}{f}(t-\tau )h(\tau )d(\tau )\\
\,\,&=\int_{-\infty}^{+\infty}{e^{s(t-\tau )}}h(\tau )d\tau\\
&=e^{st}\int_{-\infty}^{+\infty}{e^{-s\tau}}h(\tau )d\tau =e^{st}H(s)\\
\,\,\text{其中}\,\,\,\,\,\,H(s)&=\int_{-\infty}^{+\infty}{e^{-s\tau}}h(\tau )d\tau\\
\end{aligned}
\]
以上推到表明,以\(e^{st}\)为输入函数时,此时的响应仅为输入函数\(e^{st}\)的一个倍数,当然\(H\left( s \right)\)是一个复数,它会改变输入信号的幅度和相角,因为不管\(H\left( s \right)\)为何种形式,只要s取一定值为,其结果必可以携程幅度相角决定的复数形式.
因为这个形式的函数响应如此简单,将任何信号分解成这个信号的线性和,即可方便求出其响应.
拉普拉斯变换即使用\(e^{st}\)作为基函数,当然,也是一个函数集,由于s取不同值,会有无穷多个基函数,都具有同一个形式.
拉普拉斯变换的主要形式为:
\[
\]
浙公网安备 33010602011771号