张宇1000题知识点整理

张宇1000题知识点

函数极限与连续

1. 当\(x\rightarrow 0\)时，若\(\alpha(x)x\rightarrow0\)，则有\(e^{\alpha(x)(1+x)}-1\sim \alpha(x) \ln(1+x)\sim \alpha(x)x\) ，这可以视作\((1+x)^\alpha-1\sim \alpha x\)的推广。
2. 当\(x\to 0\)时，\(1-\cos^\alpha(x)\sim \frac{\alpha}{2}x^2\)。
3. 当\(x\to 0\)时，\(g(x)\)是\(x\)的\(n\)阶无穷小，\(f(x)\)是\(x\)的\(m\)阶无穷小，则\(\int_0^{g(x)}f(t)dt\)是\(x\)的\((m+1)n\)阶无穷小。
4. 积分的等价无穷小：当\(x\to0\)时，若\(f(x)\sim g(x)\)且\(\psi(x)~\Psi(x)\)，则有\(\int_0^{\psi}f(t)dt\sim\int_0^{\Psi}g(t)dt\)，证明过程参见https://blog.csdn.net/weixin_45775438/article/details/124805453。
5. 若\(\lim_{x\to \infty}f(x)-(ax+b)=0\)，则\(y=ax+b\)是\(f(x)\)的斜渐近线，进而可以求得\(a,b\)的值。
6. 需要分别考察左右极限的情形：1) 分段函数的分段点处（绝对值、取整函数） 2) \(e^\infty\)型 3) \(\arctan \infty\)型。
7. 当出现\(\ln f(x)-g(x)\)时，可以考虑写成\(\ln f(x)/e^{g(x)}\)的形式进而化简。
8. \(\lim_{x\to0^+} x^x=1\)。
9. \(\lim_{n\to \infty} \sqrt[n]{a_1^n, a_2^n,...,a_m^n}=\max\{a_1, a_2,...,a_m\}\)，使用夹逼准则可证明。

数列极限

1. 对于数列的递推公式\(a_{n+2}+pa_{n+1}+qa_n=0\)，若求解特征方程\(x^2+px+q=0\)有两个不同的实根\(r1,r2\)，则\(a_n=C_1r_1^n+C_2r_2^n\)。
2. 关于\(\ln\)的两个重要不等式：1) \(\frac {x}{1+x}<\ln x <x\) 2) \(x-\frac {x^2}{2}<\ln x<x\)。

一元函数微分学的概念

1. 若\(x_0\)处左导数\(f_+^\prime(x_0)\)和右导数\(f_-^\prime(x_0)\)都存在（不要求相等），则\(f(x)\)在\(x_0\)处连续。

一元函数微分学的计算

1. 对于比较复杂的参数方程，需要求其二阶导在某点的函数值，可用\(\frac {{\rm d}^2y}{{\rm d}x^2}=\frac {y^{\prime \prime}_t \cdot x^{\prime}_t-y^\prime_t\cdot x^{\prime\prime}_t}{(x^{\prime\prime}_t)^3}\)

中值定理、微分等式与微分不等式

1. 对于高阶导数\(f^{n}(\xi)\)的证明题，考虑泰勒公式。函数的展开点\(x_0\)选取已知导数值的点或者要证明的点，被展开点\(x\)选取已知函数值的点或者区间端点、中点。

2. 构造函数技巧：\(f^\prime(x)+g(x)f(x)+h(x)\Rightarrow F(x)=f(x)\exp[\int g(x){\rm d}x ]+\int h(x)\exp[\int g(x)]{\rm d}x\)

一元函数积分学的概念与性质

1. 对于变上限积分\(F(x) = \int_{x_0}^x f(t){\rm d}t\)，有：1) \(F(x)\)是过定点\((x_0, 0)\)的连续函数；2) 若\(x=c\)处\(f(x)\)连续，则\(F^\prime(c)=f(c)\)，若\(x=c\)为可去间断点，则\(F^\prime(c)=\lim_{x\to c}f(x)\)，若\(x=c\)为跳跃间断点，则不可导。
2. 如果\(f(x)\)\((-\infty, \infty)\)上连续且以\(T\)为周期，则\(\int_a^x f(t){\rm d}t-\frac{\int_0^T f(t){\rm d}t}{T}\)也以\(T\)为周期，即：周期函数的变上限积分减去一个周期的均值，仍然是周期函数。

一元函数积分学的计算

1. \(\int_0^{\pi/2}f(\sin(x), \cos(x))=\int_0^{\pi/2}f(\cos(x),\sin(x))\)
2. \(\int_0^\pi xf(\sin x){\rm d}x = \frac{\pi}2\int_0^\pi f(\sin x){\rm d}x\)
3. 上述结论可使用区间再现公式证明。