AcWing 3549. 最长非递减子序列

\(AcWing\) \(3549\). 最长非递减子序列

一、题目描述

给定一个长度为 \(n\) 的数字序列 \(a_1,a_2,…,a_n\)，序列中只包含数字 \(1\) 和 \(2\)。

现在，你要选取一个区间 \([l,r](1≤l≤r≤n)\)，将 \(a_l,a_{l+1},…,a_r\) 进行翻转，并且使得到的新数字序列 \(a\) 的最长非递减子序列的长度尽可能长。

请问，这个最大可能长度是多少？

一个非递减子序列是指一个索引为 \(p_1,p_2,…,p_k\)的序列，满足 \(p_1<p_2<…<p_k\) 并且 \(a_{p1}≤a_{p2}≤…≤a_{pk}\)，其长度为 \(k\)。

输入格式

第一行一个整数 \(n\)。

第二行 \(n\)个空格隔开的数字 \(1\) 或 \(2\)，表示 \(a_1,…,a_n\)。

输出格式

输出一个整数，表示得到的新数字序列 \(a\) 的最长非递减子序列的最大可能长度。

数据范围

对于 \(30\%\) 的数据，\(1≤n≤100\)。
对于 \(100\%\) 的数据，\(1≤n≤106\)。

本题读入数据规模较大，需注意优化读入。
\(C++\) 尽量使用 \(scanf\) 读入，\(Java\) 尽量使用 \(BufferedReader\) 读入。

输入样例\(1\)：

4
1 2 1 2

输出样例1：

4

输入样例2：

10
1 1 2 2 2 1 1 2 2 1

输出样例2：

9

二、从简化题目出发（求只含12的序列长度）

首先我是考虑的求出该序列的最长非递减子序列

其实只有 \(2\) 种状态

• \(1111111\)…
  只可能由 \(111111\)… 这种状态转移而来

• \(111111112222222222\)…
  可能由 \(11111111\)… 转移而来
  也可能由 \(111112222\)… 转移而来

\(Code\)

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main() {
    int n;
    cin >> n;
    int s1 = 0, s2 = 0;
    while (n--) {
        int x;
        cin >> x;
        if (x == 1) {
            s1++; // 如果当前数字是 1，则状态1的长度加1
        } else {
            s2 = max(s1 + 1, s2 + 1); // 如果当前数字为2，可能由两种状态转移而来
        }
    }
    cout << max(s1, s2) << endl;
    return 0;
}

三、回归题目（包括反转）

对于本题目而言，比上述的简单模型多加了一个条件：可以进行反转操作。

这就意味着，我们可以求一个形如：\(111111222222111111222222\)的子序列，然后进行反转操作让其变成 \(1111111112222222\)…的子序列

现在我们开始枚举状态：

• \(1111111\)....
  只能通过 \(111111\)…转移

• \((111111)2…\)
  可以通过 \(1111111\)… 转移（仅限于转移到 \(111111111111..2\) 这种状态）
  也可通过 \((11111)2222222\)…转移

• \((111111122222)11111\)…
  可以通过 \(11111111222222\)… 转移（仅限于转移到 \(11111112222222..1\) 状态）
  也可以通过 \((111111122222)11111\)…转移

• \((111111122222221111111)22222\)…

  • 可以通过 \((111112222)111\)… 转移（仅限于转移到 \(1111222222111111..2\) 状态）
  • 也可以通过 \((111111122222221111111)22222\)… 转移

\(Code\)

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main() {
    // 加快读入
    ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0);
    int s1 = 0, s2 = 0, s3 = 0, s4 = 0;
    int n;
    cin >> n;
    while (n--) {
        int x;
        cin >> x;
        if (x == 1) {
            s1++;
            s3 = max(s2 + 1, s3 + 1);
        } else {
            s2 = max(s1 + 1, s2 + 1);
            s4 = max(s3 + 1, s4 + 1);
        }
    }
    cout << max({s1, s2, s3, s4}) << endl;
    return 0;
}