一本通 1642 Fibonacci 第 n 项

\(1642\)：\(Fibonacci\) 第 \(n\) 项

解法I

\[\begin{pmatrix} f[i] & f[i+1] \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} f[i-1] & f[i] \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 1 \end{pmatrix} \]

然后递推

\[\begin{pmatrix} f[i] & f[i+1] \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} f[i-2] & f[i-1] \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 1 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 1 \end{pmatrix} \]

简化之后：

\[\begin{pmatrix} f[n] & f[n+1] \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} f[1] & f[2] \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 1 \end{pmatrix} ^{n-1} \]

运算完成后f[0]就是答案。

解法II

\[\begin{pmatrix} f[i] & f[i-1] \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} f[i-1] & f[i-2] \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} \]

然后递推

\[\begin{pmatrix} f[i] & f[i-1] \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} f[i-2] & f[i-3] \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} \]

简化之后：

\[\begin{pmatrix} f[n] & f[n-1] \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} f[2] & f[1] \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} ^{n-2} \]

运算完成后f[0]就是答案。

感悟：
这玩意没有固定的路线，只要表达正确、推导公式正确，就可以完成任务，不拘泥于使用的是\(f[n+1],f[n]\)还是\(f[n],f[n-1]\)~，但不同的选择方法，最终的幂次有差别！

实现代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
typedef long long LL;
/*
http://ybt.ssoier.cn:8088/problem_show.php?pid=1642
测试用例：
5 1000

答案：
5
*/
const int N = 2;

LL n, mod;

//矩阵乘法
void mul(LL a[][N], LL b[][N], LL c[][N]) {
    LL t[N][N] = {0};
    for (LL i = 0; i < N; i++) {
        for (LL j = 0; j < N; j++)
            for (LL k = 0; k < N; k++)
                t[i][j] = (t[i][j] + (a[i][k] * b[k][j]) % mod) % mod;
    }
    memcpy(c, t, sizeof t);
}

int main() {
    cin >> n >> mod;

    LL f[N][N] = {1, 1}; //结果矩阵(初始化有值)

    //构造的向量数组
    LL b[N][N] = {
        {0, 1},
        {1, 1}};

    //矩阵快速幂
    for (int i = n - 1; i; i >>= 1) {
        if (i & 1) mul(f, b, f);
        mul(b, b, b);
    }

    printf("%lld\n", f[0][0]);
    return 0;
}