AcWing 1316. 有趣的数列

\(AcWing\) \(1316\). 有趣的数列

一、题目描述

我们称一个长度为 \(2n\) 的数列是有趣的，当且仅当该数列满足以下三个条件：

• 它是从 \(1\) 到 \(2n\) 共 \(2n\) 个整数的一个排列 \({a_i}\)

• 所有的 奇数项 满足 \(a_1<a_3<⋯<a_{2n−1}\),所有的 偶数项 满足 \(a_2<a_4<⋯<a_{2n}\)

• 任意相邻的两项 \(a_{2i−1}\) 与 \(a_{2i}\) \((1≤i≤n)\) 满足奇数项小于偶数项，即：\(a_{2i−1}<a_{2i}\)

任务是：对于给定的 \(n\)，请求出有多少个不同的长度为 \(2n\) 的有趣的数列。

因为最后的答案可能很大，所以只要求输出答案 \(mod\) \(P\)的值。

输入格式

只包含用空格隔开的两个整数 \(n\) 和 \(P\)。

输出格式

仅含一个整数，表示不同的长度为 \(2n\) 的有趣的数列个数 \(mod\) \(P\) 的值。

数据范围

\(1≤n≤10^6,2≤P≤10^9\)

输入样例

3 10

输出样例：

5

样例解释

对应的 \(5\) 个有趣的数列分别为 \(\{1,2,3,4,5,6\},\{1,2,3,5,4,6\},\{1,3,2,4,5,6\},\{1,3,2,5,4,6\},\{1,4,2,5,3,6\}\)。

二、解题思路

嘉持老师的优秀教学视频

我们要有这种直觉：一旦发现输入是\(3\)，输出是\(5\)，很可能就是 卡特兰数。关于卡特兰数的讲解可以参考：网址。

如何判断某个问题是不是卡特兰数呢？一般由两种方式：

• ① 能得到公式：$$\large f(n)=f(0) \times f(n-1) + f(1) \times f(n-2) + ... +f(n-1)\times f(0)$$

解释:联想一下嘉持老师的画二叉树，就是向左子树分配\(i\)个节点，那么向右子树就分配\(n-i-1\)个节点,因为根点了一个节点。

• ② 能挖掘出如下性质：任意前缀中，某种东西的数量 ≥ 另一种东西数量。

​
组合数等于三个阶乘相乘除，因此我们求出各个阶乘的质因数分解，就能得到组合数的模\(p\)后大小。

三、实现代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define endl "\n"
const int N = 2000010;

int n, mod;
int primes[N], cnt;
bool st[N];

void get_primes(int n) {
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        if (!st[i]) primes[cnt++] = i;
        for (int j = 0; primes[j] * i <= n; j++) {
            st[i * primes[j]] = true;
            if (i % primes[j] == 0) break;
        }
    }
}

int qmi(int a, int k) {
    int res = 1;
    while (k) {
        if (k & 1) res = res * a % mod;
        a = a * a % mod;
        k >>= 1;
    }
    return res;
}

int get(int n, int p) {
    int s = 0;
    while (n) {
        s += n / p;
        n /= p;
    }
    return s;
}

int C(int a, int b) {
    int res = 1;
    for (int i = 0; i < cnt; i++) {
        int p = primes[i];
        int s = get(a, p) - get(b, p) - get(a - b, p);
        res = res * qmi(p, s) % mod;
    }
    return res;
}

signed main() {
    cin >> n >> mod;
    get_primes(n * 2);
    cout << (C(n * 2, n) - C(n * 2, n - 1) + mod) % mod << endl;
}