P3372 【模板】线段树 1
\(P3372\) 【模板】线段树 1
题目描述
如题，已知一个数列，你需要进行下面两种操作：
- 将某区间每一个数加上 \(k\)。
- 求出某区间每一个数的和。
输入格式
第一行包含两个整数 \(n, m\)，分别表示该数列数字的个数和操作的总个数。
第二行包含 \(n\) 个用空格分隔的整数，其中第 \(i\) 个数字表示数列第 \(i\) 项的初始值。
接下来 \(m\) 行每行包含 \(3\) 或 \(4\) 个整数，表示一个操作，具体如下：
1 x y k：将区间 \([x, y]\) 内每个数加上 \(k\)。2 x y：输出区间 \([x, y]\) 内每个数的和。
输出格式
输出包含若干行整数，即为所有操作 2 的结果。
样例 #1
样例输入 #1
5 5
1 5 4 2 3
2 2 4
1 2 3 2
2 3 4
1 1 5 1
2 1 4
样例输出 #1
11
8
20
提示
对于 \(30\%\) 的数据：\(n \le 8\)，\(m \le 10\)。
对于 \(70\%\) 的数据：\(n \le {10}^3\)，\(m \le {10}^4\)。
对于 \(100\%\) 的数据：\(1 \le n, m \le {10}^5\)。
保证任意时刻数列中所有元素的绝对值之和 \(\le {10}^{18}\)。
【样例解释】
二、线段树解法
#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 100010;
int n, q;
// 线段树模板
#define int long long
#define ls u << 1
#define rs u << 1 | 1
#define mid ((l + r) >> 1)
struct Node {
int l, r;
int sum, add; // 区间总和，累加懒标记
} tr[N << 2];
// 更新统计信息
void pushup(int u) {
tr[u].sum = tr[ls].sum + tr[rs].sum;
}
void pushdown(int u) {
if (tr[u].add == 0) return;
tr[ls].add += tr[u].add;
tr[rs].add += tr[u].add;
tr[ls].sum += (tr[ls].r - tr[ls].l + 1) * tr[u].add;
tr[rs].sum += (tr[rs].r - tr[rs].l + 1) * tr[u].add;
tr[u].add = 0; // 清除懒标记
}
// 构建
void build(int u, int l, int r) {
tr[u].l = l, tr[u].r = r; // 标记范围
if (l == r) { // 叶子
cin >> tr[u].sum; // 区间内只有一个元素l(r),区间和为read(),不需要记录向下的传递tag
return;
}
build(ls, l, mid), build(rs, mid + 1, r); // 左右儿子构建
pushup(u); // 通过左右儿子构建后，向祖先节点反馈统计信息变化
}
// 区间所有元素加上v
void modify(int u, int L, int R, int v) {
int l = tr[u].l, r = tr[u].r;
if (l >= L && r <= R) { // 如果完整被覆盖
tr[u].sum += (r - l + 1) * v;
tr[u].add += v;
return;
}
if (l > R || r < L) return; // 如果没有交集
pushdown(u); // 下传懒标记
modify(ls, L, R, v), modify(rs, L, R, v); // 修改左，修改右
pushup(u); // 向上汇报统计信息
}
// 查询
int query(int u, int L, int R) {
int l = tr[u].l, r = tr[u].r;
if (l >= L && r <= R) return tr[u].sum; // 如果完整被覆盖
if (l > R || r < L) return 0; // 如果没有交集
pushdown(u); // 下传懒标记
return query(ls, L, R) + query(rs, L, R); // 查询左+查询右
}
signed main() {
// 文件输入输出
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("P3372.in", "r", stdin);
#endif
// 加快读入
ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0);
cin >> n >> q;
// 构建线段树
build(1, 1, n);
while (q--) {
int op, l, r, v;
cin >> op >> l >> r;
if (op == 1)
cin >> v, modify(1, l, r, v);
else
printf("%lld\n", query(1, l, r));
}
return 0;
}
注：加法的懒标记可以叠加，一般初始化为\(0\)
三、动态开点线段树解法
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 5e5 + 10;
// 动态开点线段树
#define int long long
#define ls tr[u].l
#define rs tr[u].r
#define mid ((l + r) >> 1)
struct Node {
int l, r;
int sum, add;
} tr[N << 1];
int root, idx;
// 汇总统计信息
void pushup(int u) {
tr[u].sum = tr[ls].sum + tr[rs].sum;
}
// 创建节点：节点号分配，懒标记初始化
void build(int &u) {
if (u) return;
u = ++idx;
// tr[u].add = 0;
}
void pushdown(int &u, int l, int r) {
if (tr[u].add == 0) return; // 如果没有累加懒标记，返回
build(ls); // 左儿子创建
build(rs); // 右儿子创建
// 懒标记下传
tr[ls].sum += tr[u].add * (mid - l + 1); // 区间和增加=懒标记 乘以 区间长度
tr[rs].sum += tr[u].add * (r - mid);
tr[ls].add += tr[u].add; // 加法的懒标记可以叠加
tr[rs].add += tr[u].add;
// 清除懒标记
tr[u].add = 0;
}
// 区间修改
void modify(int &u, int l, int r, int L, int R, int v) {
build(u); // 动态开点
if (l >= L && r <= R) { // 如果区间被完整覆盖
tr[u].add += v; // 加法的懒标记可以叠加
tr[u].sum += v * (r - l + 1); // 区间和增加=懒标记 乘以 区间长度
return;
}
if (l > R || r < L) return; // 如果没有交集
// 下传懒标记
pushdown(u, l, r);
// 分裂
modify(ls, l, mid, L, R, v), modify(rs, mid + 1, r, L, R, v);
// 汇总
pushup(u);
}
// 区间查询
int query(int u, int l, int r, int L, int R) {
if (l >= L && r <= R) return tr[u].sum; // 如果完整命中，返回我的全部
if (l > R || r < L) return 0; // 如果与我无关,返回0
pushdown(u, l, r);
return query(ls, l, mid, L, R) + query(rs, mid + 1, r, L, R);
}
/*
参考答案：
11
8
20
*/
signed main() {
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("P3372.in", "r", stdin);
#endif
// 加快读入
ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0);
int n, m;
cin >> n >> m; // n个节点，m次操作
for (int i = 1; i <= n; i++) {
int x;
cin >> x;
modify(root, 1, n, i, i, x); // 单点修改,赋初值
}
while (m--) {
int op, l, r;
cin >> op >> l >> r;
if (op == 1) {
int x;
cin >> x;
modify(root, 1, n, l, r, x); //[l,r]区间修改为x
} else
cout << query(root, 1, n, l, r) << endl; // 区间sum和
}
return 0;
}
四、树状数组实现【不推荐】
区间修改和区间查询,正解还是线段树，不应该是树状数组+推公式，非得要做的话，也可以推导一下：
区间修改，单点查询
如果是区间修改，单点查询。只需用树状数组维护一个差分数组\(b\),假设查询位置\(x\)，那么\(\displaystyle \sum_{i=1}^{x}b_i\)就是\(x\)位置上的变化后的值。
区间修改+区间和查询
考虑引入区间查询。首先最暴力想，假设查询\([1,r]\)。那么\([1,r]\)的答案=\(\displaystyle \sum_{i=1}^{r}\sum_{j=1}^{i}b_j\)
不妨举个特例，更直观些。假设查询\([1, 4]\)。那么\(ans=(b_1)+(b_1+b_2)+(b_1+b_2+b_3)+(b_1+b_2+b_3+b_4)=4b_1+3b_2+2b_3+1b_4\)。
换成查询\([1, r]\)。那么\(\displaystyle ans=(r+1-1)b_1+(r+1-2)b_2+(r+1-3)b_3+…+(r+1-r)b_r = (r+1)\sum_{i=1}^{r}b_i-\sum_{i=1}^{r}i*b_i\)
显然第一项用树状数组\(tr1\)维护\(b\)数组可求出,第二项求不出。令\(c=i*b[i]\)，新开一个树状数组\(tr2\)维护\(c\)就行了。
实现代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1000010;
typedef long long LL;
int n, m; // n个元素，m次操作
int a[N]; // 原始数组
LL tr1[N], tr2[N]; // ① 保存基底数组为原数组差分数组的树状数组 ② i*b[i]的前缀和数组
// 树状数组模板
int lowbit(int x) {
return x & -x;
}
void add(int x, int c) {
for (int i = x; i < N; i += lowbit(i)) tr1[i] += c, tr2[i] += x * c;
}
LL sum(int x) {
LL res = 0;
for (int i = x; i; i -= lowbit(i)) res += (x + 1) * tr1[i] - tr2[i];
return res;
}
int main() {
scanf("%d %d", &n, &m);
int x, y, d, op;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
scanf("%d", &a[i]);
add(i, a[i] - a[i - 1]); // 保存基底是差分数组的树状数组
}
while (m--) {
scanf("%d %d %d", &op, &x, &y);
if (op == 1) {
scanf("%d", &d);
add(x, d), add(y + 1, -d); // 维护差分
} else // 查询
printf("%lld\n", sum(y) - sum(x - 1));
}
return 0;
}
浙公网安备 33010602011771号