HDU 5820 Lights
\(Lights\) 灯
一、题目大意
给出一个\(n*m\)的矩阵,再给出\(N\)个点,问其中的任意两个点 \((x_1,y_1)\) 与 \((x_2,y_2)\) 之间,最短路径为 \(|x_1-x_2| + |y_1-y_2|\) , 是否存在一条最短路径,使得拐弯的地方都存在着点。
目前状态:理解了,但不太会讲,还需要继续消化一下~ 2023.01.05
值得学习的内容
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二维坐标去重+按(x,y)排序的办法
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思维:思考两个点,必须得\(x\)相等或\(y\)相等,否则无法连接上,需要引入第三点。此时,如果两个点是按(\(x,y\))排序过的,那么可以在同\(x\),同\(y\)情况下讨论相邻点的情况。思考构建一个矩形,矩形内有其它点就是\(NO\),这个思维难度也不低。
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为什么要用主席树+扫描线?因为方便,无脑,按顺序 \(x\)从小到大,每个 \(x\)视为一个版本,每次查询构造矩形中点的个数,如果大于\(0\)就是有不合法的点
也不怪我学着费劲,本题对思维的要求确实挺高,没学习过类似的题,现场基本是不可能做上的,都需要提前做过类似的训练,并且熟练才行,慢慢历练吧~
二、扫描线+主席树
对于每个点\((x, y)\),正左方 最近的点记为\((x', y)\)
解读:
① 正左方意味着\(y\)坐标相同
② 最近也意味着\(y\)坐标相同
正上(下) 方最近的点记为\((x, y')\),
解读:
① 正上(下)方意味着\(x\)坐标相同
② 最近也意味着\(x\)坐标相同
- 如果以这\(3\)个点为顶点的矩形内部存在有其它的点\((x'', y'')\),则从\((x, y)\)到\((x'', y'')\)不存在\(good\) \(path\).
- 反之,如果整个图中都不存在这种情况,则任意两点间都有\(good\) \(path\)
因而可以用 扫描线和可持久化线段树 来做,从左往右扫描,每个\(x\)值 对应线段树的一个版本,每遇到一个点\((x, y)\)和它正上(下)方最近的点\((x, y')\)就在当前版本的线段树和版本为\(x'\)的线段树上查询\(y\)和\(y'\)之间的点数,如果这两个值不相等,则意味着存在上述的点\((x'',y'')\). 对于每条扫描线处理完查询之后再将点插入到当前版本的线段树中. 复杂度\(O(NlogN)\)。
对于每个\(x\),在其每个\(y\)处对线段树进行更新,并记录左边最近的点的横坐标,最后再将该\(x\)与最后版本的线段树对应起来。从左向右扫一遍,先判断,后更新。
实现代码
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <vector>
using namespace std;
//快读
int read() {
int x = 0, f = 1;
char ch = getchar();
while (ch < '0' || ch > '9') {
if (ch == '-') f = -1;
ch = getchar();
}
while (ch >= '0' && ch <= '9') {
x = (x << 3) + (x << 1) + (ch ^ 48);
ch = getchar();
}
return x * f;
}
const int N = 500010;
const int M = 50010;
int n; //点的数量
vector<int> a[M]; //记录每个点的坐标
//主席树的结构体
struct Node {
int cnt;
int l, r;
} tr[N << 5]; //主席树,一般开32倍空间
int idx; //主席树的节点生成器
int root[M]; //版本与根节点的对应关系
int ver[M]; //记录y坐标是在哪个版本加入进去的,这是一个桶,性能用静态数组模拟应该是最强的,不要使用什么unordered_map之流
//标准的主席树insert
int insert(int p, int l, int r, int x) {
int q = ++idx;
tr[q] = tr[p];
tr[q].cnt++;
if (l == r) return q;
int mid = l + r >> 1;
if (x <= mid)
tr[q].l = insert(tr[p].l, l, mid, x);
else
tr[q].r = insert(tr[p].r, mid + 1, r, x);
return q;
}
//功能:主席树,在两个版本间 查询 某个区间中数字的增加个数
int query(int q, int p, int ql, int qr, int l, int r) {
if (ql <= l && qr >= r) return tr[p].cnt - tr[q].cnt; //完整区间包含,直接返回两个版本的数字个数差,表示两个版本间增加的数字数量
int ans = 0;
int mid = l + r >> 1;
if (ql <= mid) ans = query(tr[q].l, tr[p].l, ql, qr, l, mid); //递归查询左半区间
if (qr > mid) ans += query(tr[q].r, tr[p].r, ql, qr, mid + 1, r); //递归查询右半区间
return ans;
}
bool solve() {
//对于主席树的0号版本进行清空
root[0] = idx = tr[0].l = tr[0].r = tr[0].cnt = 0; //索引号生成器idx修改为0,主席树中0号结点左儿子,右儿子都不存在,0号版本中数字个数为0, 0号版本的根节点是0
memset(ver, 0, sizeof(ver)); //清空ver数组
for (int i = 1; i <= 50000; i++) { //从小到大枚举每一个x坐标
for (int j = 0; j < a[i].size(); j++) { //从小到大枚举每一个y坐标
//如果是第一个y坐标,那么l=0,这个0是哨兵的意思。如果不是第一个y坐标,那么l=当前y坐标的前一个y坐标,prev_y,
int l = j == 0 ? 0 : a[i][j - 1];
//如果是最后一个y坐标,那么r=50001,否则r=当前y坐标的下一个y坐标,next_y
int r = j == a[i].size() - 1 ? 50001 : a[i][j + 1];
// root[i]:当前版本的根
// root[x[a[i][j]]]:前一版本的根
// query的返回值是个整数,表示两个版本间两个区间内增加的数字个数,如果个数大于0,就return false
if (query(root[i - 1], root[ver[a[i][j]]], l + 1, r - 1, 1, 50000)) return false;
}
root[i] = root[i - 1];
for (int j = 0; j < a[i].size(); j++) { //从小到大枚举每一个y坐标
root[i] = insert(root[i], 1, 50000, a[i][j]);
ver[a[i][j]] = i; //记录a[i][j]这个y坐标,是第i个版本中增加进去的
}
}
//如果上面所有的坐标点都讨论过,全都没有返回false,那就只能返回true
return true;
}
/*
NO
YES
*/
int main() {
//文件输入输出
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("HDU5820.in", "r", stdin);
#endif
while (n = read(), n) { //在使用快读时,要注意使用 ,n 而不是使用 && n!!!! read没有返回值!!!!
// a数组装的是坐标(x,y),只不过它是以x坐标为第一维,第二维的y1,y2,y3,... 通过push_back加入到一维的x中
for (int i = 0; i < M; i++) a[i].clear(); //二维vector的清空操作,不用循环还真不行
int x, y;
while (n--) {
x = read(), y = read(); // 每个点的坐标
a[x].push_back(y); // 记录每个点的坐标,记录的方法很有意思,是一个vector,一维是x坐标,二维是y坐标
}
//枚举每个可能的x坐标,对x坐标相同的点,按y坐标小由到大进行排序,这样,就是一个二维有序的数组啦,和结构体两个属性进行排序效果和速度是一样的
for (int i = 1; i <= 50000; i++) { //这样是以x从小到大排序的
sort(a[i].begin(), a[i].end()); //对y也要从小到大排序,这和整一个Node{x,y},然后自定义sort operator < 定义先按x,后按y是一个意思,有时间再写一个结构体版本的
a[i].erase(unique(a[i].begin(), a[i].end()), a[i].end()); //对于相同的(x,y)进行排序+去重
}
//开始每一轮计算的主函数solve
puts(solve() ? "YES" : "NO"); //存在题目要求的答案,返回YES,否则返回NO
}
return 0;
}
三、\(zkw\)线段树+扫描线
https://yukizzz.github.io/2016/08/23/HDU-5820-Lights【zkw线段树,扫描线】/