Legacy CodeForces - 787D （线段树优化建图+最短路）
\(Legacy\)
一、题目大意
二、解决思路
线段树优化建图的板子题
考虑暴力建图。显然不能通过此题。\(1≤n,q≤10^5,1≤w≤10^9\),数量太大！
这时候就需要用线段树优化建图了。线段树优化建图就是 利用线段树，减少连边数量，从而降低复杂度。
基本思想
先建一棵线段树。假如现在我们要从 \(8\) 号点向区间 \([3,7]\) 的所有点连一条权值为 \(w\) 有向边。
那么怎么连边？把区间 \([3,7]\) 拆成 \([3,4]\)、\([5,6]\) 和 \([7,7]\) 然后分别连边。
就这样：（如下图所示。其中黑色普通边的边权为 \(0\)，粉色边的边权为 \(w\)。）
原来我们要连 \(5\) 条边，现在只需要连 \(3\) 条边，也就是 \(⌈log_27⌉\) 条边。
于是 \(O(n)\) 的边数就优化成了 \(O(logn)\)。
那么 操作三 (\(op=3\)) 用和 操作二 (\(op=2\)) 类似的方法连边。从区间 \([3,7]\) 的所有点向 \(8\) 号点连一条权值为 \(w\) 有向边：（其实就是边反了个方向）
以上是操作二与操作三分开来考虑的情形，那么操作二与操作三相结合该怎么办呢？
考虑建两棵线段树，第一棵只连自上而下的边，第二棵只连自下而上的边。方便起见，我们把第一棵树称作“出树”，第二棵树称作“入树”。
初始时自上而下或自下而上地在每个节点与它的父亲之间连边。由于两棵线段树的叶子节点实际上是同一个点，因此要在它们互相之间连边权为 \(0\) 的边。初始时是这样的：
接下来：
- 对于操作一，就从入树的叶子节点向出树的叶子节点连边。
- 对于操作二，就从入树的叶子节点向出树中的对应区间连边。
- 对于操作三，就从入树中的对应区间向出树中的叶子节点连边。
举个栗子。比如现在我们要从 \(8\) 号点向区间 \([3,7]\) 的所有点连一条权值为 \(w\) 有向边。那么就如图所示连边：（为了让图更清楚，图中把入树和出树叶子节点之间相连的边省略了。）
三、代码实现
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const LL INF = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
const int N = 100100 << 3, M = N << 2;
typedef pair<LL, int> PII;
//最短路径
LL d[N]; //最短距离数组
bool st[N];
//邻接表
int e[M], h[N], idx, w[M], ne[M];
void add(int a, int b, int c) {
e[idx] = b, ne[idx] = h[a], w[idx] = c, h[a] = idx++;
}
struct Node {
int l, r;
int ls, rs; //左儿子编号，右儿子编号
} tr[N];
int rtin, rtout, cnt; //出树根编号，入树根编号，编号计数器(从n+1开始，前面n个留给真实节点)
// l:左边界, r:右边界, 返回新创建的节点编号
int build1(int l, int r) {
if (l == r) {
tr[l] = {l, r}; // tr[l]:叶子节点比较牛B，不用计数器生成节点号，而是真实的[1~n]。这样才能真正实现最底层的重复利用，防止重复建设
return l;
}
int u = ++cnt; //非叶子节点利用cnt获取节点号
tr[u] = {l, r}; //记录区间范围
int mid = (l + r) >> 1;
tr[u].ls = build1(l, mid); //构建左子树
tr[u].rs = build1(mid + 1, r); //构建右子树
//父节点向左右儿子连权值为0的边
add(u, tr[u].ls, 0), add(u, tr[u].rs, 0);
//返回新创建的节点编号
return u;
}
int build2(int l, int r) {
if (l == r) {
tr[l] = {l, r};
return l;
}
int u = ++cnt;
tr[u] = {l, r};
int mid = (l + r) >> 1;
tr[u].ls = build2(l, mid);
tr[u].rs = build2(mid + 1, r);
//左右儿子向父节点连权值为0的边
add(tr[u].ls, u, 0), add(tr[u].rs, u, 0);
return u;
}
/**
* @brief 点向区间连边 或 区间向点连边
*
* @param u 线段树根节点u
* @param x 需要连边的点
* @param l 区间左边界
* @param r 区间右边界
* @param w 权值
*/
void add1(int u, int x, int l, int r, int w) {
if (l <= tr[u].l && tr[u].r <= r) {
add(x, u, w);
return;
}
if (l <= tr[tr[u].ls].r) add1(tr[u].ls, x, l, r, w);
if (r >= tr[tr[u].rs].l) add1(tr[u].rs, x, l, r, w);
}
void add2(int u, int x, int l, int r, int w) {
if (l <= tr[u].l && tr[u].r <= r) {
add(u, x, w);
return;
}
if (l <= tr[tr[u].ls].r) add2(tr[u].ls, x, l, r, w);
if (r >= tr[tr[u].rs].l) add2(tr[u].rs, x, l, r, w);
}
void dijkstra(int s) {
memset(d, 0x3f, sizeof(d));
d[s] = 0;
priority_queue<PII, vector<PII>, greater<PII>> q;
q.push({0, s});
while (q.size()) {
int u = q.top().second;
q.pop();
if (st[u]) continue;
st[u] = true;
for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) {
int j = e[i];
if (d[j] > d[u] + w[i]) {
d[j] = d[u] + w[i];
q.push({d[j], j});
}
}
}
}
int main() {
//加快读入
ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0);
memset(h, -1, sizeof h);
int n, q, s;
cin >> n >> q >> s;
cnt = n; //可用的合法编号从n+1开始
rtin = build1(1, n); //构建入树
rtout = build2(1, n); //构建出树
int op, x, y, l, r, w;
for (int i = 1; i <= q; i++) {
cin >> op;
if (op == 1) { //点x到点y有一条边权w的边
cin >> x >> y >> w;
add(x, y, w);
} else if (op == 2) { //点x到区间[l,r]有一条边权w的边
cin >> x >> l >> r >> w;
add1(rtin, x, l, r, w);
} else if (op == 3) { //区间[l,r]到点x有一条边权w的边
cin >> x >> l >> r >> w;
add2(rtout, x, l, r, w);
}
}
//最短路径
dijkstra(s);
//输出最短路
for (int i = 1; i <= n; i++)
printf("%lld ", d[i] == INF ? -1 : d[i]);
putchar('\n');
return 0;
}
