AcWing 1126. 最小花费

\(AcWing\) \(1126\). 最小花费

一、题目描述

在 \(n\) 个人中，某些人的银行账号之间可以互相转账。

这些人之间转账的手续费各不相同。

给定这些人之间转账时需要从转账金额里扣除百分之几的手续费，请问 \(A\) 最少需要多少钱使得转账后 \(B\) 收到 \(100\) 元。

输入格式
第一行输入两个正整数 \(n,m\)，分别表示总人数和可以互相转账的人的对数。

以下 \(m\) 行每行输入三个正整数 \(x,y,z\)，表示标号为 \(x\) 的人和标号为 \(y\) 的人之间互相转账需要扣除 \(z\%\) 的手续费 ( \(z<100\) )。

最后一行输入两个正整数 \(A,B\)。

数据保证 \(A\) 与 \(B\) 之间可以直接或间接地转账。

输出格式
输出 \(A\) 使得 \(B\) 到账 \(100\) 元最少需要的总费用。

精确到小数点后 \(8\) 位。

数据范围
\(1≤n≤2000,m≤10^5\)

输入样例：

3 3
1 2 1
2 3 2
1 3 3
1 3

输出样例：

103.07153164

二、题目解析

假设初始金钱为\(N\),那么如果要在最后一个人的手里得到\(100\)元，可得公式：

\[\large N∗(1−z_1\%)∗(1−z_2\%)∗…∗(1−z_n\%)=100 \]

\(\Rightarrow\)

\[\large N=\frac{100}{(1−z_1\%)∗(1−z_2\%)∗…∗(1−z_n\%)} \]

要想\(N\)尽可能小，那么就要让 分母尽可能大 ，即求\((1−z_1\%)∗(1−z_2\%)∗…∗(1−z_n\%)\)的最大值。

注意：

	最小值	最大值
优先队列	小根堆	大根堆
实现	priority_queue<PII, vector<PII>, greater<PII>> q;	priority_queue<PDI> q;
更新的时候用:\(d[v] = d[u] * (1 - w[i]\%)\)。

三、\(Dijkstra\)

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 2010;
const int M = 2e5 + 10; // 边数

typedef pair<double, int> PDI;

int n;       // n个节点
int m;       // m条边
double d[N]; // 从A点出发，到达每个点的最大距离
bool st[N];  // 点i是不是已经出队列

int h[N], e[M], ne[M], idx;
double w[M];
void add(int a, int b, double c) {
    e[idx] = b, w[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx++;
}
int s, t;
void dijkstra() {
    priority_queue<PDI> q; // 大根堆
    d[s] = 1;              // 剩余的百分比(想像一下手机电池，目前是100%状态出发)
    q.push({1, s});        // 大根堆，按距离最大到小排序

    while (q.size()) {
        auto t = q.top();
        q.pop();
        int u = t.second;
        if (st[u]) continue;
        st[u] = true;

        for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) {
            int v = e[i];
            double a = 1 - w[i];   // 100%减去消耗率，得到本路径的剩余率,需要与带过的数据连乘
            if (d[v] < d[u] * a) { // 利用u更新j的路径最大值
                d[v] = d[u] * a;
                q.push({d[v], v});
            }
        }
    }
}

int main() {
    memset(h, -1, sizeof h);
    cin >> n >> m;

    while (m--) {
        int a, b, c;
        cin >> a >> b >> c;
        double w = c * 0.01; // 消耗的百分比,举例:从A->B的消耗百分比为2%
        add(a, b, w), add(b, a, w);
    }

    cin >> s >> t;

    dijkstra();
    printf("%.8lf\n", 100 / d[t]);
    return 0;
}