K进制试题解析

一、先看一眼题

二、初步理解

很明显这是在将\(10\)进制数转为\(k\)进制数。从\(0\)开始，一直枚举到\(n\)，不断的向最后一位\(+1\),直到末位为\(k\)，则设置本位为\(0\),上位进\(1\)，当然，其它各位都要进行检查逐个上位~

三、问题逐个处理

判断题
1、 若\(k=1\),则输出\(ans\)时，\(len=n\)。
作为第一个问题，难度肯定不能太高，一般采用特殊值法代入，尝试找出答案。我们以\(k=1,n=3\)代入 :

答案：\(F\)

2、若\(k>1\),则输出\(ans\)时，\(len\)一定小于\(n\)。
意思就是说\(k\)进制的位数是否一定小于\(n\)。举一个比较常见的二进制例子：\(2\)的二进制是\(10\),它的位数是\(2\)位，\(len\)(\(2\)位)并一小于\(n(2)\)
答案：\(F\)

3、若\(k>1\),则输出\(ans\)时，\(k^{len}\)一定大于\(n\)。
一个\(k\)进制数，如果有\(len\)位，每一位有\(k\)种变化，那么一共能表示\(k^{len}\)种数值，数值是从\(0\)到\(k^{len}-1\)的，所以说\(k^{len}\)一定大于\(n\)。
答案：\(T\)

4、若输入的\(n\)等于\(10^{15}\),输入的\(k\)为\(1\)，则输出等于（\(D\)）
\(A. 1\) \(B. (10^{30}-10^{15})/2\) \(C.(10^{30}+10^{15})/2\) \(D.10^{15}\)

解析：根据判断题1的举例，可以发现，当\(k=1\)时，若\(i\)会发生一次进位，共循环\(n\)次，因此共发生\(n\)次进位，即输出\(n\)。

5、若输入的\(n\)等于\(205,891,132,094,649\),即\(3^{30}\),输入的\(k\)为3，则输出等于（\(B\)）
\(A.3^{30}\) \(B.(3^{30}-1)/2\) \(C. 3^{30}-1\) \(D、(3^{30}+1)/2\)
解析：本题是要求一共发生了多少次进位操作，如果十进制数是\(100\),共发生了\(100/10+100/100\)次进位，即\(n/10^1+n/10^2\)次，同样\(k=3\)进制时，个位每\(3\)次都会进一位，因此\(n\)的个位会有\(n/3\)次进位。\(n=3^{30}\)时，共发生\(3^{30}/3\)+\(3^{30}/3^2\)+\(3^{30}/3^3+...+3^0\),利用等比数列求和公式，所以答案是\(B\)

**6、若输入的\(n\)等于\(100,010,002,000,090\)，输入的\(k\)为\(10\),则输出等于(\(B\))
\(A、11，112，222，444，543\) \(B、11，112，222，444，453\)
\(C、11，122，222，444，543\) \(D、11，112，222，444，453\)

解析：
在前面第5题的分析基础上，本题也迎刃而解，\(10\)进制下，不用转换，\(n\)本身就是\(10\)进制展示的，将\(100,010,002,000,090\)依次拆分为下表格左边所示的\(4\)个数，参照第5题，求出每个数的进位总数，累加即可得到结果。