AcWing 323 . 战略游戏
\(AcWing\) \(323\) . 战略游戏
一、题目描述
鲍勃喜欢玩电脑游戏，特别是战略游戏，但有时他找不到解决问题的方法，这让他很伤心。
现在他有以下问题。
他必须保护一座中世纪城市，这条城市的道路构成了一棵树。
每个节点上的士兵可以观察到所有和这个点相连的边。
他必须在节点上 放置最少数量的士兵，以便他们可以观察到所有的边。
你能帮助他吗？
例如，下面的树：
只需要放置 \(1\) 名士兵（在节点 \(1\) 处），就可观察到所有的边。
输入格式
输入包含多组测试数据，每组测试数据用以描述一棵树。
对于每组测试数据，第一行包含整数 \(N\)，表示树的节点数目。
接下来 \(N\) 行，每行按如下方法描述一个节点。
节点编号：(子节点数目) 子节点 子节点 …
节点编号从 \(0\) 到 \(N−1\)，每个节点的子节点数量均不超过 \(10\)，每个边在输入数据中只出现一次。
输出格式
对于每组测试数据，输出一个占据一行的结果，表示最少需要的士兵数。
数据范围
\(0<N≤1500,\)
一个测试点所有 \(N\) 相加之和不超过 \(300650\)。
输入样例：
4
0:(1) 1
1:(2) 2 3
2:(0)
3:(0)
5
3:(3) 1 4 2
1:(1) 0
2:(0)
0:(0)
4:(0)
输出样例：
1
2
二、算法分析
树形\(dp\)，与 \(AcWing\) \(285\) 没有上司的舞会 具有对称性
-
没有上司的舞会：每条边上 最多 选择一个点，求最大权值
-
战略游戏：每条边上最少 选择一条点，求最小权值
考虑以结点 \(u\) 为 根节点 的子树，该子树所有的 方案，可以由当前结点 放哨兵 或 不放哨兵 进行划分
这也是一种 状态机模型，我简略的绘制一下这个状态机：
状态表示
\(f[u][0]\)：所有以\(u\)为根的子树中选择，并且不选\(u\)这个点的方案
\(f[u][1]\)：所有以\(u\)为根的子树中选择，并且选\(u\)这个点的方案
属性
\(Min\)
状态计算
当前\(u\)结点不选，子结点一定选 \(f[u][0]=∑(f[son_i][1])\)
当前\(u\)结点选，子结点可选可不选 \(f[u][1]=∑min(f[son_i][0],f[son_i][1])\)
时间复杂度 \(O(n)\)
三、\(Code\)
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1510, M = N << 1;
int f[N][2];
// 邻接表
int e[M], h[N], idx, ne[M];
void add(int a, int b) {
e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx++;
}
/**
集合： 以结点i为 根节点 的子树，在 i 上放置哨兵(1) 和不放哨兵(0) 的方案
状态表示： 方案中，放置的哨兵数量 最少
状态计算：
*/
int in[N]; // 入度
void dfs(int u) {
for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) { // 遍历每一条出边
int v = e[i];
dfs(v);
// 状态转移方程
f[u][0] += f[v][1]; // 节点u不放置哨兵，那么一定要从某一邻接节点放置哨兵
f[u][1] += min(f[v][0], f[v][1]); // 如果节点u放置了哨兵，那么邻接节点可以选择放置或者不放置
}
// u节点选中
f[u][1] += 1;
}
int main() {
// n组数据
int n;
while (~scanf("%d", &n)) { // 不断读入数据
memset(h, -1, sizeof h), idx = 0; // 多组数据，清空邻接表
memset(in, 0, sizeof in); // 清空入度数组
// dp数组也清空一下
memset(f, 0, sizeof f);
// n个节点
for (int i = 1; i <= n; i++) {
int x, m;
scanf("%d:(%d)", &x, &m); // scanf可以按格式读入数据
while (m--) {
int y;
scanf("%d ", &y);
// 添加一条x->y的有向边
// 数据样例：1出发可以到达2,3;说明是有向图
add(x, y);
// 记录y的入度，用于找根节点
in[y]++;
}
}
// 有向图，找根
int root = 0;
while (in[root]) root++;
// 从根开始
dfs(root);
// 输出 两个结果取个 min
printf("%d\n", min(f[root][0], f[root][1]));
}
return 0;
}
