AcWing 423. 采药

\(AcWing\) \(423\). 采药

一、题目描述

辰辰是个天资聪颖的孩子，他的梦想是成为世界上最伟大的医师。

为此，他想拜附近最有威望的医师为师。

医师为了判断他的资质，给他出了一个难题。

医师把他带到一个到处都是草药的山洞里对他说：“孩子，这个山洞里有一些不同的草药，采每一株都需要一些时间，每一株也有它自身的价值。我会给你一段时间，在这段时间里，你可以采到一些草药。如果你是一个聪明的孩子，你应该可以让采到的草药的总价值最大。”

如果你是辰辰，你能完成这个任务吗？

输入格式
输入文件的第一行有两个整数 \(T\) 和 \(M\)，用一个空格隔开，\(T\) 代表总共能够用来采药的时间，\(M\) 代表山洞里的草药的数目。

接下来的 \(M\) 行每行包括两个在 \(1\) 到 \(100\) 之间（包括 \(1\) 和 \(100\)）的整数，分别表示 采摘某株草药的时间 和 这株草药的价值。

输出格式
输出文件包括一行，这一行只包含一个整数，表示在规定的时间内，可以采到的草药的最大总价值。

数据范围
\(1≤T≤1000\),\(1≤M≤100\)

输入样例：

70 3
71 100
69 1
1 2

输出样例：

3

二、题目解析

注意一下\(m\)和\(n\)的录入顺序。

01背包模型

状态表示\(f(i,j)\)—集合： 考虑前 \(i\) 个物品，且当前已使用体积为$ j$ 的方案

状态表示\(f(i,j)\)—属性： 该方案的价值为最大值 \(max\)

状态转移\(f(i,j)\)：

\[f(i,j)=\begin{equation} \left\{ \begin{array}{lr} 不选第i个物品: max\{f(i,j),f(i-1,j)\} & \\ 选第i个物品: max\{f(i,j),f(i-1,j-w_i)+v_i\}\\ \end{array} \right. \end{equation}\]

初始状态：f[0][0]

目标状态：f[n][m]

集合划分

三、二维朴素作法

空间复杂度：\(O(n×m)\)
时间复杂度：\(O(n×m)\)

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int N = 110;
const int M = 1010;

int n, m;
int w[N], v[N];
int f[N][M];

int main() {
    cin >> m >> n;

    for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> v[i] >> w[i];

    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = 1; j <= m; j++) {
            f[i][j] = f[i - 1][j]; // 不选
            if (j >= v[i])
                f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - v[i]] + w[i]); // 选
        }
    printf("%d\n", f[n][m]);
    return 0;
}

四、一维优化

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int N = 1010;

int n, m;
int v[N], w[N];
int f[N];

int main() {
    cin >> m >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> v[i] >> w[i];

    // 01背包模板
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = m; j >= v[i]; j--)
            f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);

    printf("%d\n", f[m]);
    return 0;
}