P1069 [NOIP2009 普及组] 细胞分裂

一、预备知识

整数除法向上取整

二、题意分析

• 细胞分裂到一定的数量，可以“平均分布”到各个试管中。

  这句话的意思就是说：细胞数量能整除试管的数量，并且是最少的分裂步数。

  试管的数量\(M=m_1^{m_2}\),其中\(m_1<=3000,m_2<=1000\)，这玩意太大了，不可能直接算！既然不能直接算，就要想想算术基本定理中关于整除的相关内容：

  说白了，就是把试管数分解质数因子，不光要记录质数因子有哪些，还要记录每个质数因数有多少个。

• 遍历每种细胞，拿试管个数的每一个质因数对细胞的每秒分裂个数进行取模，模如果不为0，则表示不管咋分裂，最后也不出来这个试管数量的倍数！

  这种办法很巧妙，我最开始的时候，还傻傻的认为对这个也需要分解质因子，然后再对比两个数组来着，\(555~\),明显人家的这个方便、快捷~

• 如果通过了检查，那么一定是可以通过不断的分裂成为试管数量的倍数的。

三、C++代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int N = 1010;
/**
这一题其实就是分解质因数，把试管数和每种细胞分解质因数，试管有的质因数细胞也要有，
才能在一段时间后装入试管。
*/
//分解质数因子的结果(对试管的数量进行质数因子分解的结果)
struct node {
    int number; //质数因子
    int count;  //质数因子的个数
} a[N];
int idx;//这个idx是配合a[N]使用的下标变量

//试管的总数 M=pow(m1,m2)
int m1; //试管的数量底
int m2; //试管的数量幂
int n;  //细胞种数

//预求最小，先设最大
int Min = INF;

/**
测试数据
2
24 1
30 12

2  两种细胞
24 1  m1=24,m2=1 ，pow(m1,m2)=pow(24,1)=24 试管个数
30 12 第一种细胞，每秒分裂30个；第二种细胞，每秒分裂12个。

答案：2

解析：
 第1种细胞，每秒分裂30个。24分解质因数为=2*2*2*3，
 而30%2=0，30%3=0，所以30肯定可以通过不断分裂成为24的个倍数。
 30里面有1个2，1个3，1个5。要想达到3个2，需要3个30相乘。按本题上下文来说，就是分裂3次。
 乘上一个30，就可以多出一个2的因子，需要3个，就是需要3秒。

 第2种细胞，从1个细胞开始，第一秒分裂为12个，第二秒就是 12*12个，也就是144个。而144/24=6，
 就是说明此时可以平均分布到每个试管中了。
 */
int main() {
    //读入
    cin >> n >> m1 >> m2;
    //对x进行分解质数因子
    for (int i = 2; i <= m1; i++) {
        //如果x可以整除因子i
        if (m1 % i == 0) {
            a[++idx].number = i; //a数组从下标1开始，记录数字
            //采用能除尽除的思路
            while (m1 % i == 0) {
                m1 /= i;
                a[idx].count++;//记录质数因子的个数
            }
            //换算成试管的总数,因为原题是m1^m2,所以可以分解成每个质数因子的m2次方的乘积
            a[idx].count *= m2;
        }
    }

    //遍历n类细胞，看看谁的分裂时间最快(就是求最小值)能平均分配到试管中
    while (n--) {
        int s;//每秒钟的分裂个数
        cin >> s;

        //是否可以成功装入容器的标识
        bool flag = true;
        //遍历每个m1的质数因子
        for (int i = 1; i <= idx; i++)
            //一旦发现s在没有分裂前就没有质数因子a[i],那么就永远不可能分裂出m1^m2的倍数了
            if (s % a[i].number != 0) {
                flag = false;
                break;
            }
        //如果所有质数因子都存在，那么就一定可以通过分裂达到一定次数后，成为m1^m2的倍数
        //如果不是所有质数因子存在，那么这种细胞就需要放弃掉了，因为永远都不可能放到M个试管中去。
        if (flag) {
            //这里的最大值初始化为0是有意义的，要注意，不能使用-INF，这样就成功躲过了0
            int Max = 0;

            //遍历m1的每一个质数因子
            for (int i = 1; i <= idx; i++) {
                //s中每一个质数因子出现的个数
                int cnt = 0;
                //分解质因数
                while (s % a[i].number == 0) {
                    s /= a[i].number;
                    cnt++;
                }
                //细胞的每秒分裂数：s
                //s里面质数因子a[i]的个数:cnt
                //想在达到或超过的质数因子a[i]的个数：a[i].count
                //以s=30为例，观察它当中质因子2的变化情况
                // 0秒 1个
                // 1秒 30个    30=2*3*5
                // 2秒 30*30个 30*30=2*3*5*2*3*5
                // 3秒 30*30*30个 30*30*30= 2*3*5*2*3*5*2*3*5
                // 看出来了吧，每秒都是原来的30倍个，但因子2的增加，可是1个1个增加的。
                // 为什么是1个呢？因为30原来的质数因子就只有1个2，如果有2个2，就是2个2个增加的。
                // 总结一下：以30为例，因为只有1个2这个质数因子，那么，如果需要3个2，就需要分裂3秒！
                // 如果需要a[i].count这么多个质数因子，就要找出原配带来cnt个的，经过几秒才能等于或超过。
                // C++的整数除法上取整~
                int second = (a[i].count - 1) / cnt + 1;
                //找出s中幂指数最大的
                Max = max(Max, second);
            }
            Min = min(Min, Max);//最少秒时可以装进试管
        }
    }
    if (Min == INF) printf("-1");//如果没有改变，输出-1
    else printf("%d", Min);//输出结果
    return 0;
}