物理 - 微积分

微积分

额就是学个入门了解个定义。物理里面用，或者数学导数也可能有用。

基础基础基础

我不允许有人14岁还不会微积分！！

定义微分：

\[\frac {{\rm d} f(x)} {{\rm d}x} = \lim \limits _{\Delta x \to 0} \frac {f(x + \Delta x) - f(x)} {\Delta x} \]

注意，\({\rm d} x\) 不是一个数，而是指 \(\Delta x \to 0\) 这个动态的过程；\({\rm d} f(x)\) 同理。

定义定积分：

\[\int_a^b {\rm d}x = b-a \\ \int_a^b {\rm d}f(x) = f(b)-f(a) \\ \]

这很显然。

牛顿 - 莱布尼茨公式：

\[\int _a^b f(x) {\rm d} x = F(b)-F(a) \]

其中，\(F'(x)=f(x)\)，也就是说 \(f(x)\) 是 \(F(x)\) 的导，那么求解左边的过程就需要找到 \(f(x)\) 的原函数（也就是导数是 \(f(x)\) 的函数）。
推导很简单，不多说了。
这个式子的意义就是 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 区间内与 \(x\) 轴围成的图像面积。

难点在于如何求 \(F(x)\)？一般通过注意力或者背诵或者经验。
需要注意的是，一个 \(f(x)\) 的原函数不止一个，而是在纵方向上可以随意竖直移动的一坨，例如，\(f(x)=2x\) 的原函数为 \(F(x)=x^2+C\)，其中 \(C\) 为任意常数。

定义不定积分：

\[\int f(x) {\rm d} x = F(x) + C \]

实际上这个东西就是在做「求原函数」的过程，目前感觉没啥用。