导数

导数

基础

“导数”一课通！1h零基础上手!

• 导数

定义 \(\lim \limits_{\Delta x \to 0}\) 表示限制 \(\Delta x\) 趋近于 \(0\)。

定义 \(f(x)\) 的导数为 \(f'(x_0)\)，表示 \(f(x)\) 在 \(x=x_0\) 时的斜率。形式化地：

\[f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac {f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)} {\Delta x} \]

注：其中，\(\Delta x\) 可以替换为任意字母。

几个例题：

\[\lim_{m \to 0} \frac {f(x_0 + 3m) - f(x_0)} {3m} = f'(x_0) \\ \lim_{m \to 0} \frac {f(x_0 + 3m) - f(x_0)} {m} = 3f'(x_0) \\ \lim_{m \to 0} \frac {f(x_0 + m) - f(x_0 - m)} {2m} = f'(x_0) \\ \]

第一个，无论我把 \(\Delta x\) 换成啥，都不会有影响；且既然 \(m \to 0\) 了，那么 \(3m\) 显然也 \(\to 0\)
第二个，把左边除以 \(3\) 再乘 \(3\)，就得到了 \(3\) 倍的 \(f’(x_0)\)。
第三个，只要两个 \(f\) 括号里的数之差 与 分母 相等（\(x_0+m-(x_0-m)=2m\)），该式子表示的就是 \(f'(x_0)\)。

• 导函数இ

将 \(f(x)\) 各点的导数放到一起画成一个函数，形成的函数 \(f'(x)\) 称为 \(f(x)\) 的导函数。导函数的作用就是计算一个函数在任何一点的斜率。

洛必达法则（洛天依法则）是万能的！

常见初等函数的导函数：

常数函数 \(\displaystyle (c)' = 0\)
幂函数 \(\displaystyle (x^a)' = ax^{a-1} ~,\quad \left( \frac 1 x \right)' = - \frac 1 {x^2} ~,\quad (\sqrt x)' = \frac 1 {2 \sqrt x}\)
三角函数 \(\displaystyle (\sin x)' = \cos x ~,\quad (\cos x)' = -\sin x ~,\quad (\tan x)' = \frac 1 {\cos^2 x} = 1+\tan^2 x\)
指数函数 \(\displaystyle (a^x)' = a^x \ln a ~,\quad (e^x)' = e^x\)
对数函数 \(\displaystyle (\log_a x)' = \frac 1 {x \ln a} ~,\quad (\ln x)' = \frac 1 x\)

导函数的作用，就是求切线方程，当给定原函数上一点 \((x_0,y_0)\) 时，可以由导函数求出斜率，再由直线过定点得到直线方程。

• 四则运算

直接背公式。

加减 \(\displaystyle (f(x) \pm g(x))' = f'(x) \pm g'(x)\)
乘法 \(\displaystyle (f(x) \cdot g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)\)，即「左导乘右 加 左乘右导」；常见地，\((af(x))'=af'(x)\)
除法 \(\displaystyle \left( \frac {f(x)} {g(x)} \right)' = \frac {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)} {g^2(x)}\)，即「上导乘下 加 上乘下导」

• 复合函数

公式：\((f(g(x)))' = f'(g(x))g'(x)\)。或写作 \(f'(u)g'(x)\)，其中 \(u=g(x)\)，做题时先带着 \(u\) 写完后，用 \(g(x)\) 替换掉 \(u\) 即可。
例题：\(\displaystyle (\ln \sin x)' = (\ln u)' (\sin x)' = \frac 1 u \cdot \cos x = \frac 1 {\sin x} \cdot \cos x\)

切线问题

【导数】“切线问题”一网打尽！

核心：找切点。

• 在曲线上某点的切线

先写出导函数，再代入给定点的 \(x\) 坐标求出切线斜率，然后列点斜式即可得到切线方程。

例题：已知曲线 \(y=ae^x+x \ln x\) 在点 \((1,ae)\) 处的切线方程为 \(y=2x+b\)；求 \(a,b\)。
解：额这很简单吧，可求得 \(y'=ae^x + \ln x + 1\)，代入 \(x=1\) 得 \(y'|_{x=1}=ae+1\)，由因为切线方程斜率为 \(2\)，所以 \(ae+1=2\)，解得 \(a=e^{-1}\)，代切点 \((1,1)\) 入 \(y=2x+b\) 即可求得 \(b=-1\)。

• 过曲线外一点的切线

求过点 \((x_0,y_0)\) 的切线时，先设切点 \((m,f(m))\)，然后用导数表示 \(m\) 点的切线斜率 \(k=f'(m)\)，再由两点式表示斜率 \(k=\dfrac {f(m)-y_0} {m-x_0}\)，然后即可解 \(m\)，进而解 \(k\) 和切点坐标。

注意：当且仅当题目说「曲线某某在点 \((x_0,y_0)\) 处的切线方程」时，才能只求该点对应的切线，用「在曲线上某点的切线」的方法求；否则即使点在曲线上，只要题目说是「过点 \((x_0,y_0)\) 的直线与曲线某某相切」，就要考虑多解的情况，需要用「过曲线外一点的切线」的方法求。

例题：过点 \((0,0)\) 的直线 \(l\) 于曲线 \(y=x^3-3x^2+2x\) 相切，求直线 \(l\) 的方程。
解：尽管 \((0,0)\) 点在曲线上，但还是因为是「过」，所以还是要用「过曲线外一点的切线」的方法求。设切点 \((m,f(m))\) 即 \((m,m^3-3m^2+2m)\)，代入导函数解得该点切线斜率为 \(k=3m^2-6m+2\)，再由两点式得到斜率 \(k= \dfrac {m^3-3m^2+2m-0} {m-0}\)，于是解得 \(m=0\) 或 \(m= \frac 3 2\)，进而解得 \(k=2\) 或 \(k=- \frac 1 4\)，再由过 \((0,0)\) 点解得 \(l:y=2x\) 或 \(l:y=-\frac 1 4 x\)。

还有一种题，给个参数，规定有 \(n\) 条过定点的切线，让求参数的取值范围。直接用「过曲线外一点的切线」的方法列出来 \(k\) 的两个表示方法得到一个关于 \(m\) 的方程，保证这个方程有 \(n\) 个解即可。

• 公切线问题

求两个函数 \(f(x),g(x)\) 的公切线。思路是分别设两个切点 \((m,f(m)),(n,g(n))\)，分别列「在曲线上某点的切线」的表达式，得到：

\[\begin{cases} y-f(m)=f'(m)(x-m) \\ y-g(n)=g'(n)(x-n) \end{cases} \implies \begin{cases} y = f'(m)x - mf'(m) + f(m) \\ y = g'(n)x - ng'(n) + g(n) \end{cases} \]

那么要想让两条切线重合，就必须让两个直线方程一模一样，即：

\[\begin{cases} f'(m)=g'(n) \\ -mf'(m) + f(m) = - ng'(n) + g(n) \end{cases} \]

两个方程两个未知数，即可解得 \(m,n\)，随便拿其中一个求个切线即可。

注意，有时候需要讨论有多条公切线的情况！对应地就是方程组有多个解。

例题：求 \(f(x)= \ln x\) 与 \(g(x)=e^{x-2}\) 的公切线。
解：先写出 \(f’(x)= \frac 1 x\) 与 \(g'(x)=e^{x-2}\)，设切点分别为 \((m,\ln m)\) 与 \((n,e^{n-2})\)，然后分别列直线方程，再由直线重合得到方程组：

\[\begin{cases} y- \ln m = \dfrac 1 m (x-m) \\ y- e^{n-2} = e^{n-2} (x-n) \end{cases} \implies \begin{cases} y = \dfrac 1 m x - 1 + \ln m \\ y = e^{n-2} x + (1-n)e^{n-2} \end{cases} \overset {得到方程组} \implies \begin{cases} \dfrac 1 m = e^{n-2} \\ - 1 + \ln m = (1-n)e^{n-2} \end{cases} \]

显然可得 \((1-n)=(1-n)e^{n-2}\)，注意此时不要直接将 \((1-n)\) 约掉！因为可以出现 \(1-n=0\) 的情况，分讨一下，解得 \(n=1\) 或 \(n=2\)，直接代入 \(g(x)\) 的切线方程，得到答案为 \(y=e^{-1}x\) 或 \(y=x-1\)。

简单应用

【导数】单调性+极值+最值+图象！半小时解决，保姆级基础讲解！

• 单调性

规律：\(f’(x)>0\) 时，\(y=f(x)\) 单调递增；\(f’(x<0\) 时，\(y=f(x)\) 单调递减。
前提条件：\(f'(x)\) 存在。例如 \(y=|x|\) 这种不平滑（有尖）的函数就没法求导。

注意：求导后不一定要画图像，只要能把正负判断出来即可；求单调区间一定要看定义域啊啊啊！！！！！

例题：求 \(f(x)=x^2e^x\) 的单调区间。
解：求导得 \(f'(x)=e^x(x^2+2x)\)，然后虽然我们不会画这个函数的图像，但是不需要画啊，只分析正负即可。注意到 \(e^x\) 恒为正，所以只分析 \(x^2+2x\) 这个二次函数的正负即可（画它的图像）。得到单调增区间为 \((-\infty,-2),(0,+\infty)\)，单调减区间为 \((-2,0)\)。

• 极值、最值

一个函数中，若一个点 \((x_0,f(x_0))\) 满足函数图像中这个点两边的单调性不同，即这个点是鼓出来的一个小包包，即这个点的函数值比它两边的函数值都大 / 都小，则称 \(x_0\) 为该函数的极值点，\(f(x_0)\) 为该函数的极值。
当这个点比左右两边大时，\(x_0,f(x_0)\) 分别称为极大值点、极大值；当这个点比左右两边小时，\(x_0,f(x_0)\) 分别称为极小值点、极小值。

注：极值 \(\ne\) 最值！最值需要是一个函数的最大值，而极值只需要比它两边大即可。
一个函数可能有很多个不相等的极值，但最值只能有一个（或者说一个最大值，一个最小值）。
最值不一定在极值处取得，还可能不存在最值 / 最值在定义域区间端点处取得。注意端点不是极值，因为它只比一边大，另一边超出定义域了，没有图像。

总结：最大值 \(= \max(\)极大值、端点值\()\)；最小值 \(= \min(\)极小值、端点值\()\)。

规律：若 \(x_0\) 是极值点，则 \(f'(x_0)=0\)。若 \(x_0\) 是极大值点，则 \(f’(x)\) 在 \(x_0\) 处前为正，后为负；若 \(x_0\) 是极小值点，则 \(f’(x)\) 在 \(x_0\) 处前为负，后为正。
注意：导函数的零点不一定是极值点！因为如果导函数零点两边都是正 / 都是负，那这个点就不是原函数的极值点。如 \(f(x)=x^3,f'(x)=3x^2\)。
规律：所以，只有导函数的变号零点（即零点两边导函数值的正负不同）才是原函数的极值点。

例题：求函数 \(f(x) = \dfrac {2x^2+x+2} {e^x}\) 在 \([0,2]\) 上的最大值、最小值。
解：求导得 \(f’(x)= \dfrac {-2x^2+3x-1} {e^x}\)，根据导函数变号零点分析单调性，发现原函数在 \([\frac 1 2,1]\) 上减，在 \([0,\frac 1 2],[1,2]\) 上增，于是简单画个图像（原函数，只需要体现增减性），可看出来 \(f(x)\) 的极大值点为 \(1\)，极小值点为 \(2\)，再考虑最大值还可能在端点 \(0\) 处取得，最小值可能在端点 \(2\) 处取得，故 \(f(x)_{\max} = \max(f(0),f(1)) , f(x)_{\min} = \min(f(\frac 1 2),f(2))\)，都算出来比一下大小即可。

• 零点

求原函数的零点，用零点存在性定理。先把所有极值点都代进原函数求出函数值，看看每两个相邻的极值点之间是否存在零点（异号就存在零点）；然后在考虑最左边的极值点左边、最右边的极值点右边是否存在零点，代一个很大很大的极限值进去（如 \(+\infty,-\infty\) 或 \(+100,-100\)）即可判断。

例题：求 \(f(x)=(x^2-3x+1)e^x\) 的零点个数。
解：求导得 \(f'(x)=e^x(x^2-x-2)\)，得到原函数极大值点为 \(-1\)，极小值点为 \(2\)，计算 \(f(-1)=\frac 5 e >0 , f(2) = -e^2 <0\)，于是区间 \((-1,2)\) 内存在一个零点；然后计算两端极限值，发现 \(x\) 非常大或非常小的时候 \(f(x)\) 显然为正，于是区间 \((-\infty,-1)\) 内没有零点，区间 \((2,+\infty)\) 内有一个零点。

注意，在做单调性、极值最值、零点等一系列有关导数应用的题目时，十分重要的一步就是画原函数图像，而且一边画一边计算，计算后再调整。这可以使得题目更加直观，就不容易出错了。

一个记号：记 \(x \to 0^+\) 为 \(x\) 越来越小地趋近于 \(0.0000\ldots001\)；\(x \to 0^-\) 同理。

求导后处理方法

【导数必学】求导后无从下手？三个思路轻松搞定！

基本思路：\(f(x) \to f'(x) \to\) 判断导函数正负 \(\to\) 判断原函数单调性 \(\to\) 极限判断 \(\to\) 画图
其中，画图是很关键的一步，分为两种，一种是草图，只能体现单调性和极值点；另一种是精确图像，还可以体现极值、最值点、最值、极限值，除了单调区间内的弯曲形状以外都可以体现出来。

注意：无论干啥，都要先看一眼定义域！

• 导后极限判断

例题：画 \(f(x) = \dfrac {\ln x+1} {x^2}\) 的大致图像。下面是具体步骤。

0. 判断定义域！！！因为有 \(\ln x\)，故定义域为 \((0,+\infty)\)。
1. 求导得 \(f’(x)=\dfrac {-1-2\ln x} {x^3}\)，在 \((0,+\infty)\) 上显然为单减，变号零点为 \(\frac 1 {\sqrt e}\)。于是 \(f(x)\) 为先增后减，极大值点为 \(\frac 1 {\sqrt e}\)。
2. 计算得 \(f(\frac 1 {\sqrt e}) > 0\)；当 \(x \to +\infty\) 时 \(f(x)>0\)；当 \(x \to 0^+\) 时 \(f(x)<0\)。因此可画出 \(f(x)\) 的大致图像：

两个需要记忆的函数（节省时间）（其实就是两个「超越函数」，更多的超越函数后面会写）：

• 导后因式分解

对一些复杂高次的导函数因式分解，然后利用穿针引线画导函数图像，或者直接分析正负（不画图像）。因式分解的便利在于可以把分析导函数「几个式子相加减 的正负」转化为「几个式子相乘 的正负」，会更好分析。

例题：求 \(f(x)=2 \sin x + \sin 2x\) 在 \([0,2\pi]\) 上的最小值。

0. 定义域！是 \([0,2\pi]\)。
1. 求导得 \(f’(x)=2 \cos x + 2 \cos 2x\)，但是这没法分析正负呀！考虑因式分解，显然把 \(\cos 2x\) 拆成 \(2 \cos^2 x -1\) 更简便，于是得到 \(f'(x)=2(2\cos^2 x + \cos x-1)\)，先别着急分析二次函数的正负（为什么呢后面会说），注意到里面是可以因式分解的，得到 \(f'(x)=2(2 \cos x -1)(\cos x +1)\)。
   1. 显然是换元啊？但真的对吗？？注意到换元 \(t=\cos x\) 后自变量变成了 \(t\)，\(x\) 仅起到限制定义域的作用；但是原函数中的自变量是 \(x\) 呀，所以这样导函数和原函数是无法对应的，所以不可以换元。你意会。
   2. 故必须直接分析 \(f’(x)\) 的正负，发现 \(\cos x+1 \ge 0\)，所以只需要看 \(2 \cos x-1\) 的正负即可，得到 \(f’(x)\) 在 \([0,\frac \pi 3) , (\frac {5\pi} 3 , 2\pi]\) 上为正，\((\frac \pi 3 , \frac {5\pi} 3)\) 上为负。进而得到 \(f(x)\) 的单调区间。
2. 注意到题目只要求最小值，所以不需要画精确图像（即只需体现极值点与单调区间），只把端点值和极小值算出来再取 \(\min\) 即可。得到 \(f(0)=0,f(\frac {5\pi} 3)=-\frac {3 \sqrt 3} 2\)，故答案为 \(-\frac {3 \sqrt 3} 2\)。

例题：求 \(f(x)=-\frac 3 4 \ln x + \sqrt {1+x}\) 的单调区间。

0. 定义域！\((0,+\infty)\)。
1. 求导得 \(f’(x)=-\dfrac 3 {4x} + \dfrac 1 {2 \sqrt{1+x}}\)。
   1. 发现根本不用因式分解，直接令这个东西 \(>0\) 解一元二次不等式即可。
   2. 但是，这个式子的因式分解还是要会的，先通个分得到 \(f’(x)= \dfrac {-3\sqrt{x+1}+2x} {4x\sqrt{x+1}}\)。注意到分子不齐次，\(x\) 相对于 \(\sqrt{x+1}\) 为二次关系，因此考虑将 \(\sqrt{x+1}\) 作为核心变量，把 \(x\) 表示为包含 \(\sqrt{x+1}^2\) 的式子。令 \(t=\sqrt{x+1}\)，则 \(x=t^2-1\)，于是原式中的分子可以写作 \(-3t+2(t^2-1)\)，展开并因式分解得到 \((2t+1)(t-2)\)，再把 \(\sqrt{x+1}\) 换回去，最终得到 \(f'(x) = \dfrac {(2\sqrt{x+1}+1)(\sqrt{x+1}-2)} {4x\sqrt{x+1}}\)。至此因式分解完成。然后发现只有 \(\sqrt{x+1}-2\) 不恒为正，于是 \(f’(x)\) 的正负只考虑 \(\sqrt{x+1}-2\) 的正负即可，令它 \(>0\) 随便解个不等式做完了。
2. 因为只求单调区间，所以不用画图，分析完导函数的正负就做完了。

Tip：补一点解不等式的知识，当且仅当不等号两边同正的时候，才可以两边平方。例如 \(2x<\sqrt{x-1}\) 可以两边平方，因为根号限制了定义域 \(x \ge 1\)，故 \(2x\) 也为正；再如 \(2x<\sqrt{x+1}\) 就不可以，因为定义域为 \(x\ge-1\)，要分讨 \(2x \ge 0\) 和 \(2x < 0\)。

有时候，并不能因式分解，直接解不等式也不好解。这时候就必须用一些特殊手段了——（下面三个都是这样）

• 利用导函数单调性

有时候，导函数的单调性比较明显，即导函数在定义域上是增的或减的，此时可以简单画出导函数的图像，判断一下导函数有无零点，进而求得原函数的单调区间、极值点等。

例题：求 \(f(x)=\ln x + \sin x\) 在 \([1,e]\) 上的最小值。

0. 定义域 \([1,e]\)。导函数 \(f’(x)=\frac 1 x + \cos x\)。
1. 这个导函数太丑了！既无法因式分解也无法令 \(>0\) 然后解方程。但是注意到 \(y=\frac 1 x\) 在 \([1,e]\) 上为减函数，\(y=\cos x\) 在 \([1,e]\) 上也为减函数，因此 \(f’(x)\) 在 \([1,e]\) 上为减函数！
2. 首先尝试能否直接算出零点，令 \(f’(x)=\frac 1 x + \cos x = 0\)，发现是个不好瞪眼的超越方程，做不了。于是我们可以通过判断 \(f’(1)\) 与 \(f’(e)\) 的正负来判断 \(f’(x)\) 是否存在零点。尽管两个值都不好直接算，但是取个估计值还是很容易判断正负的，可得 \(f’(1)>0,f'(e)<0\)，于是 \(f’(x)\) 存在零点 \(x_0\)。
3. 因此，\(f(x)\) 应为先增后减，不过极大值点算不出来，但是题目只让求最小值啊！所以 \(\min(f(1),f(e))\) 即为答案。

• 二！阶！导！

有时候，\(f'(x)\) 的正负不好判断，单调性也不好做，必须画 \(f'(x)\) 的图像时，可以对 \(f'(x)\) 再次求导，得到二阶导函数记为 \(f''(x)\)，然后就可以这样套娃，由 \(f''(x)\) 的图像得到 \(f’(x)\) 的图像，由 \(f’(x)\) 的图像再得到 \(f(x)\) 的图像。利用「导函数的正负影响原函数的增减」来做。

例题：讨论 \(f(x)=x^2-x \ln x+2\) 的单调性。

0. 定义域 \((0,+\infty)\)。导函数 \(f’(x)=2x-\ln x-1\)。
1. 但是这导函数不好看呀！啥性质也没有，根本画不出来。所以要求二阶导 \(f''(x)=2-\frac 1 x\)，这个好画，显然在 \((0,+\infty)\) 上为增，零点是 \(\frac 1 2\)。即 \(f''(x)\) 在 \((0,\frac 1 2)\) 上为负，\((\frac 1 2, +\infty)\) 上为正。（图不准，应该是曲线，但没关系）

3. 于是 \(f’(x)\) 在 \((0,\frac 1 2)\) 上减，在 \((\frac 1 2,+\infty)\) 上增，且计算可得 \(f'(\frac 1 2)>0\)，故没有零点。即 \(f'(x)\) 恒为正。

4. 于是 \(f(x)\) 在 \((0,+\infty)\) 上全为增。

• 部分求导

注意到有时候导函数中有一部分是不影响正负的，而影响正负的那一部分又是一个复杂函数，所以可以只对影响正负的那一部分再次求导！

例题：讨论 \(f(x) = \dfrac {x-1} {x+1} \ln x\) 的单调性。

0. 定义域 \((0,+\infty)\)。导函数 \(f'(x)=\dfrac {2x \ln x+x^2-1} {x(x+1)^2}\)。
1. 注意到这个导函数太复杂了，啥也干不了，二阶导也会长得很难看。但是发现它的分母是恒正的，因此只需要对分子 \(g(x)=2x \ln x+x^2-1\) 再求一次导判断正负即可。
2. 求导得 \(g’(x)=2(\ln x+x+1)\) 为增，显然存在零点但没法求，于是摆烂不求，不过可以判断出零点在 \((0,1)\) 内，得到 \(g'(x)\) 图像。然后计算 \(g(\to 0^+),g(1)\) 得到 \(g(x)\) 图像，其中 \(g(\to 0^+)\) 需要用到 \(y=x \ln x\) 这个超越函数的图像。然后计算 \(f(1)\) 得到 \(f(x)\) 图像。

含参单调性

「导数含参单调性讨论」一小时大串讲！

大题的第一问，含参的单调性，求导后分讨参数正负（或取值范围）即可。

然后无论如何，还是画图，画图非常有利于分析导函数或原函数的相关性质。

• 一次型

给杂鱼做的。

例题：讨论 \(f(x)=ax \ln x-x ~(a \in \R)\) 的单调性。

0. 定义域 \((0,+\infty)\)。导函数 \(f'(x)=a \ln x+a-1\)。分讨启动！
   1. 当 \(a>0\) 时，画图发现 \(f'(x)\) 显然增，且一定存在零点，可解得零点为 \(e^{\frac {1-a} a}\)。于是 \(f(x)\) 在 \((0,e^{\frac {1-a} a})\) 上减，在 \((e^{\frac {1-a} a},+\infty)\) 上增。
   2. 当 \(a<0\) 时，类似地得到 \(f(x)\) 在 \((0,e^{\frac {1-a} a})\) 上增，在 \((e^{\frac {1-a} a},+\infty)\) 上减。
   3. 当 \(a=0\) 时，显然 \(f(x)\) 在 \((0,+\infty)\) 上减。

• 二次型（可因式分解）

注意！导后的二次式！一定要先看看能不能！因式分解！

例题：讨论 \(f(x)= \dfrac {ax^2+x-1} {e^x}\) 的单调性。
0. 定义域 \(\R\)。

1. 导函数 \(f'(x)=\dfrac {-ax^2+(2a-1)x+2} {e^x}\)，注意到可以因式分解！得到 \(f'(x)=\dfrac {(ax+1)(-x+2)} {e^x}\)，分母恒正，只需讨论分子的正负。具体地，先讨论 \(a\) 的正负，再画出 \(f’(x)\) 的图像并分析正负即可。等价于解方程 \((ax-1)(-x+2)>0\)，这是高一学函数时的知识（解含参二次方程分讨），过程放这了。

★★★形式化地，可因式分解的二次型分讨思路：

• 类二次型

例题：讨论 \(f(x)=(x-2)e^x+a(x-1)^2\) 的单调性。

1. 定义域 \(\R\)。导函数 \(f’(x)=(x-1)(e^x+2a)\)（因式分解！）。
2. 这是一个好神秘的式子，如何讨论正负呢？肯定是要先分析 \(a\) 的。注意到 \(e^x\) 恒为正，于是当 \(a \ge 0\) 时，\(f’(x)\) 的正负就只需要考虑 \(x-1\) 了，这个简单。
3. 于是分析 \(a<0\) 的情况。因为 \(f'(x)\) 长得很像二次函数，称之为「类二次」，考虑用二次函数的思路去做，找到两个根然后画图。解得 \(x_1=1 , x_2=\ln(-2a)\)，这时候就可以直接按照二次函数的样子画图了！注意这样画的图只能体现正负、零点，而无法体现极值点等，但是足够用了。这之后按照类似于上个题的思路，讨论 \(x_1,x_2\) 大小关系即可。

• 二次型（不可因式分解）

高一二次函数画图分讨总结：下图，按从左到右的顺序，当某一个量出现多种情况时，就需要启动一层分讨；在部分情况下可能会出现分讨套分讨的情况。当然，大致上按照这个顺序即可，也不一定必须严格按照，有的地方如果能直接确定四个中的某一个，就可以先把它确定下来再考虑别的。

核心还是画图。

例题：讨论 \(f(x)=\frac 1 x-x+a \ln x\) 的单调性。

1. 定义域 \((1,+\infty)\)。导函数 \(f’(x)=\dfrac {-x^2+ax-1} {x^2}\)。注意导函数能通分就尽量要通分哦。
2. 分母恒正不用管。分子是含参的二次函数，且没法因式分解，于是分讨启动！先看 \(a\)，发现是定值，开口向下；再看对称轴 \(x = \frac a 2\)，发现需要分讨了，因为定义域不是 \(\R\)，所以对称轴在或不在定义域内是会影响结果（正负性）的。
   1. 对称轴不在定义域内 \(\frac a 2 \le 0\)。继续往后看，发现 \(\Delta\) 也不确定，需要分讨三种情况，但是发现 \(c\) 是确定的，\(f’(x)\) 恒过 \((0,-1)\) 点，因此画一画发现它在定义域内一定为负，因此就不用分讨 \(\Delta\) 了。\(f(x)\) 在定义域上减。
   2. 对称轴在定义域内 \(\frac a 2 >0\)。依然要分讨 \(\Delta\)，恒过 \((0,-1)\) 也不影响需要分讨。
      1. \(\Delta \le 0\)，此时 \(f'(x)\) 恒为负。\(f(x)\) 在定义域上减。
      2. \(\Delta>0\)，此时解方程解得 \(x_1= \dfrac {a- \sqrt {a^2-4}} 2 , x_2= \dfrac {a+ \sqrt {a^2-4}} 2\)，然后这时候就不需要讨论 \(x_1,x_2\) 的大小关系了，因为求根公式解出来的大小关系是确定的。容易得到 \(f(x)\) 在 \((0,x_1),(x_2,+\infty)\) 上减，在 \((x_1,x_2)\) 上增（考试写的时候要把 \(x_1,x_2\) 换成具体值！）。

★★★形式化地，不可因式分解的二次型分讨思路：

一个大 SD 的题：讨论 \(f(x) = 1 \ln x + \dfrac {x-1} {x+1}\) 的单调性。思路常规，但分讨一大坨，答案不放了。

这个题还有一个很**的点，就是求根公式求出来之后，如果分母是负数，那么 \(+\sqrt \Delta\) 是 \(x_1\)，\(-\sqrt \Delta\) 是 \(x_2\)！也就说两者大小关系是反过来的！！！

不等式证明

导数与不等式证明！直接求导+变换主元！

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填坑：常用超越函数

\(\ln2=0.69 ~,~ \ln3=1.10 ~,~ \ln5=1.61 ~,~ \ln7=1.95\)