物理 - 电磁感应
电磁感应
磁通量
这个题，首先要理解，条形磁铁内部也是有磁感线的，且与外部的磁感线方向相反，又由于磁感线都是闭合的，因此，磁铁外部的磁感线条数和内部相等且方向相反，而线圈覆盖了整个条形磁铁却没有覆盖整个外部，于是线圈内的磁通量就是“从右向左”的（不严谨）。于是比较 \(1,2\) 只需比较线圈覆盖的外部的面积即可，比较 \(2,3\) 则根据条形磁铁（外部）中间磁感应强度最弱即可。
楞次定律
产生感应电流的条件：闭合回路 & 穿过线圈的 \(\Phi\) 改变。
楞次定律：感应电流的方向总是要阻碍原磁通量的变化。注意此处「阻碍」不是「阻止」，和勒夏特列类似，非常地“犯贱”。
经典例题：当 \(B \uparrow\) 时，感应电流方向？线圈运动趋势？
法一：i. 判断原磁场变化——因为 \(B \uparrow\)，故 \(\times\) 变多；ii. 阻碍磁场变化得出感应磁场方向——感应磁场需要让 \(\Tiny \bullet\) 增多；iii. 右手螺旋得出感应电流方向——感应电流是逆时针方向；iv. 感应电流在磁场中受到安培力作用——左手定则得到电流受到的安培力是指向圆心的，所以线圈会收缩。
易错问题：i. 线圈内磁场的 \(B\) 会变大，因为楞次定律是「阻碍」而不是「阻止」；ii. 感应电流受到的安培力用原磁场表示，因为我不能受到我自己产生的磁场给我自己的力。
法二：\(\Phi = BS\)，既然 \(B \uparrow\)，那线圈需要使 \(S \downarrow\)，才能阻碍 \(\Phi \uparrow\)，于是线圈会收缩。此处为何不考虑线圈使 \(B \downarrow\)？就是由于易错问题 ii，我不能受我自己的力。
规律：增反减同、增缩减扩、来拒去留。含义如下：
「增反减同」即磁感线增多时 感应电流的磁场与原磁场方向相反，磁感线减少时 感应电流的磁场与原磁场方向相同。
「增缩减扩」即磁感线增多时 线圈会减小面积，磁感线减少时 线圈会增大面积。
「来拒去留」即磁体过来时 线圈会阻碍磁体过来，磁体离开时 线圈会阻碍磁体离开。
这节没啥难题。规律好用的用规律，不好用的按照步骤分析。
（答案：A)
多步分析，一步步来即可。
i. 由左边导线电生磁得圆环左边一半 \(B\) 方向为向上。
ii. 因为磁感线是闭合的，所以圆环右边一半 \(B\) 方向为向下（注意一下此处 \(B\) 实际上应该是从断开 K 到闭合 K 瞬间的 \(\Delta B\)）。
iii. 磁生电，由楞次定律得右边线圈绕在圆环上的部分 产生的感应磁场为向上，因此电流为逆时针。
iv. 右边导线下面部分电生磁得小磁针处磁场垂直纸面向内，因此小磁针 N 极向内偏转，即俯视顺时针。
Q：为何会复原？因为小磁针在 K 断开时的静止位置一定就是地磁场的位置，所以在磁通量不变，感应电流消失之后，小磁针肯定会回到初始位置。
（答案：A）
不看这个题，借这个模型，看下面几个问题。
[i.] A 线圈外部有磁场吗？有的，因为磁感线都得是闭合的，所以 A 圈内部都是 \(\times\)，A 圈外部则有与之数量相等的 \(\Tiny \bullet\)。
[ii.] B 线圈处在什么磁场下？是 \(\Tiny \bullet\)。这里要区分磁场与磁通量，磁场就仅指线圈这一条线上的 \(B\)，而磁通量是圈内这块面积的 \(\Phi\)。这很重要。
[iii.a.] B 线圈有什么的趋势？扩张！此处不能简单地使用增缩减扩，要按步骤分析，而且在最后一步左手定则的时候，需要用到 [ii.] 的结论，B 线圈所处的磁场是 \(\Tiny \bullet\) 而不是 \(\times\)！
[iii.b.] 或者这么理解：楞次定律一定正确，所以我的 B 线圈想阻碍 \(\times\) 的磁通量变大，那再结合 [i.]，只能是扩大才能把更多的 \(\Tiny \bullet\) 包含进去，进而达成目的。
[iii.c.] 还有一种理解方式，就是电流同性恋，同向相吸异向相斥，则由于 A、B 的电流是异向的，所以两者相斥，B 扩张。
注：[iii.a.] 不用增缩减扩的理由：来拒去留、增缩减扩只适用于单一方向磁场！
（答案：D）
这题和之前的题有点不一样呀！此处楞次定律就没那么好用了，因为磁感线是弯的，线圈也不是直的，不是很好分析，用那三个规律会更好做一些，或者说「阻碍」。
[A] 因为磁铁在往右运动，所以线圈要阻止磁铁往右运动，但磁铁的运动又是既定的事实，无法改变，那么线圈就只能自己也往右运动，进而减小两者的相对运动。
[B] 那竖直方向呢？显然向下穿过线圈的磁感线条数变少了，所以线圈就想尽量阻碍这个减小，那么他一方面采取的措施是向右运动，另一方面就也需要向上运动！即受到向上的安培力。
[C] 也是为了包含更多向下的磁感线，阻碍磁通量变小。
[D] 易错点：水平、竖直方向都要考虑！结合 [AB]，安培力应该是斜向右上而不是水平向右。
（答案：C）
与能量结合！首先可以正常分析，不过从能量的角度考虑会更简单一些。注意到当圆环位于虚线附近时，肯定会产生电流，而有电流就会有电能（然后电能转化为热能，毕竟没有用电器）。那么电能哪来的呢？只能来自于圆环的机械能，于是圆环的机械能会越来越小，直到最后挂在最低处不动了。
一些 Tip：
来拒去留、增缩减扩只适用于单一方向磁场！
三个规律根本目的都是为了阻碍磁通量改变。
电流的同性恋也比较常用，但是也有适用条件：仅当只考虑两个电流相互产生的磁场（不考虑外界磁场）时适用。
按步骤分析 和 阻碍 是万能的！
同性恋的局限性举例：
水平导轨，磁场垂直纸面向内，右边的导线向右运动，左边的导线怎么运动？运用「阻碍」可得向右运动。不可以用异向电流相互排斥，因为此处的电流还受外界磁场的作用。
电磁感应定律
定义：电路中感应电动势的大小，跟穿过这一电路的磁通量的变化率成正比，这就是电磁感应定律。公式为：
其中，\(n\) 为线圈匝数，\(\Delta \Phi\) 为磁通量变化量，\(\Delta t\) 为所用时间。
分类，按照 \(\Phi = BS\) 中哪个量在改变：
i. 动生电动势：\(S\) 在改变，即物体在运动导致的磁通量改变。又分为平动：\(E_感 = BLv\)，转动：\(E_感 = \frac 1 2 BL^2 \omega\)。
ii. 感生电动势：\(B\) 在改变。\(E_感 = n \frac {\Delta \Phi} {\Delta t} = nS \frac {\Delta B} {\Delta t}\)。
区分：当所有东西都不动时，\(B\) 在改变，产生的是感生电动势；当因为运动导致 \(B\) 改变（比如说不同位置的磁感应强度不一样）时，也是动生电动势。
做题分析顺序：i. 算出 \(E_感\)；ii. 找出 \(E_感\) 是谁，即哪一块东西可以等效成电源；iii. 找出正负极；iv. 分析 \(E_感\) 与 \(U\) 的关系（通过电路相关知识）。
这个图，题目是：线圈匝数 \(n\)，圆的半径 \(r\)，在 \(\Delta t\) 时间内 \(B \to 2B\)。按照上面的步骤分析。
i. 直接算即可，\(E_感 = n \dfrac {\Delta \Phi} {\Delta t} = \dfrac {n B \pi r^2} {2 \Delta t}\)。
ii. 谁是等效电源？是左边的那一半线圈，因为只有这一半线圈里产生感应电动势。
iii. 判断正负极需要画电流方向，首选楞次定律，可得电流是逆时针的。又因为电流要从电源正极出去，再回到电源负极，所以下面是正极，上面是负极。注意此处必须看电源外部的电流！
iv. 这个是最简单的了，等效成电源之后就是平凡的电路题。用 \(\dfrac {E_感} {R+r} = \dfrac U R\)。
感生电动势的本质：环形电场的电场力做功。由于 \(B\) 的改变而产生感应电场（磁生电），这个电场是环形的，可以对电场内的电荷产生力的作用。而电动势是用来描述「非静电力做功的本领」的物理量，所以感应电场做功就会产生电动势。注意感应电场不是静电场，只有静止电荷产生的电场才叫静电场，所以「非静电力做功」这一说法没有任何问题。
然后这也可以解释为何只要磁感应强度本身不变（在不考虑有东西在动时），就是动生而不是感生，因为并没有感应电场的产生。
动生电动势的本质：洛伦兹力的分力做功。把一段导线放到一个磁场里，并给这段导线 \(v\) 的速度，那么就会产生竖直方向的洛伦兹力 \(f_B\)，使得竖直方向产生 \(v’\)，而 \(v’\) 又会产生水平方向的洛伦兹力 \(f_B'\)，\(f_B'\) 与导线给电荷的“支持力”二力平衡，\(f_B'\) 与 \(v\) 方向相反。综上，\(f_B\) 做正功，\(f_B'\) 做负功，代数和为 \(0\)（所以不违背「洛伦兹力永远不作功」），而正是 \(f_B\) 做的正功导致动生电动势产生。
其实就是「在磁场里放一个光滑绝缘管，管里面有一个小球，管水平运动，小球相对管竖直运动，竖直方向洛伦兹力做正功，水平方向洛伦兹力做负功」这个模型。
动生电动势产生条件：切割磁感线。
判断电流方向 / 电源正负极：右手定则。当只有部分导线物割磁感线运动时，无法通过楞次定
律判断电流，可根据右手定则判断感应电流的方向、电源正负极、电势高低。
右手定则：i. 磁感线穿掌心；ii. 拇指指向速度方向；iii. 得到四指为电流方向；iv. 沿四指向前是电源正极（电势高），向后是电源负极（电势低）。
若没构成闭合回路则，无感应电流，但仍可判断电势高低。
当然，如果能用楞次定律，还是要用楞次定律「阻碍」思想的，因为右手定则比较诡异，操作不当容易判断出错。
那一坨左右手定则遵循的规律：一是左力右电，即左手判断力（安培力、洛伦兹力），右手判断电；二是磁感线一定穿过手掌，四指一定指向电流方向，大拇指是别的东西。
动生电动势公式推导（假设匝数为 \(1\)，运动的导体长度为 \(L\)，运动速率为 \(v\)）：
\(\hspace{3cm}\displaystyle E = \frac {\Delta \Phi} {\Delta t} = \frac {BL \Delta x} {\Delta t} = BLv\)
注意这样算出来的是瞬时电动势。而 \(n \frac {\Delta \Phi} {\Delta t}\) 算出来的是 \(\Delta t\) 内的平均值。
注意 \(B,L,v\) 必须两两垂直，且其中 \(L\) 为有效长度，即将导线首尾相连（形成的 \(L\)）并在 \(\perp v\) 方向作投影。注意要先连后投影！
区分安培力的有效长度和动生电动势的有效长度：安培力有效长度只需要首尾相连，而动生电动势有效长度还需要在 \(\perp v\) 方向作投影，例如：
动生电动势：显然有效长度为 \(d\)。得 \(E = Bdv\)。
安培力：先算电流，直接欧姆定律，\(I = \dfrac E R = \dfrac {Bdv} R\)。然后注意安培力的有效长度就是这段斜着的导线长度，即 \(\dfrac d {\sin \theta}\)，所以 \(F_安 = BIL = \dfrac {B^2d^2v} {R \sin \theta}\)。
安培力方向：首先右手定则判断出电流方向为 \(b \to a\)，然后左手定则得到安培力方向为垂直导体棒向左上。或者更好的方法是，先由楞次定律「阻碍」得到安培力会使线圈有收缩趋势，再由电流方向沿 \(ab\)（不管 \(a \to b\) 还是 \(b \to a\)）而安培力与电流方向垂直 直接得到 安培力是垂直导体棒向左上。
弄清楚电动势、电压、电压表、电流 (表) 四个东西之间的关系！
（答案：BD）
感应电动势：直接用定义，因为切割磁感线，所以有感应电动势（动生电动势）。
感应电流：直接用定义，不仅 \(\Phi\) 没变，而且还不是闭合回路，所以没有感应电流。
电压表：因为没有电流，所以电压表读数一定是 \(0\)。为什么？可以理解为因为电压表就是一个改装过的表头，所以必须有电流经过才会有示数。
AB 边有无电压：因为有感生电动势，所以有电势差，所以有电压。
注意这个图，如果直接在 MN 两端接一个电压表，测的仍是外电路电压，即电阻 \(R\) 两端的电压。内电路电压不可以用电压表测。
所以，这四个图，都是测 \(ab\) 两端电压（即在 \(ab\) 两端接一个电压表），[ABD] 都是测了一段外电路，所以都是 \(\frac 1 4 E\)，而 [B] 是把电压表连在了电源两端，测的就是整个外电路的电压，为 \(\frac 3 4 E\)。
（注：假这个正方形导线框每个边的电阻都为 \(R\)，切割磁感线产生的动生电动势为 \(E\)。）
解题方法：画个等效电路（切割磁感线的画成电源，其他的画成电阻），测谁就在谁两端并联一个电压表。
旋转切割公式：
推导：利用 \(E=BLv\) 推，取导体棒端点，令其线速度分别为 \(0,v\)，则他们的 \(\overline v\) 为 \(\frac 1 2 v\)，然后发现任取两个关于导体棒中点对称的点，\(\overline v\) 均为 \(\frac 1 2 v\)，所以 \(E = BL \overline v = \frac 1 2 BLv\)，又因为 \(v\) 是端点处的线速度，因此 \(v=L \omega\)，代入可得 \(E = \frac 1 2 BL^2 \omega\)。
方向：用右手定则确定。
注意转动切割必须是导体棒绕导体棒端点旋转。
区分平动切割与旋转切割：若导体棒上所有点的 \(v\) 都相等，则为平动切割，否则为旋转切割。
注：p3、p5 为实心圆盘；p4 为扇形线框（那个水平的实线是磁场边界）
三个图有无电流？有无电动势？
p1：无有。因为没有闭合回路，所以没有电流；因为切割磁感线，所以有电动势。
p2：无有。因为 \(\Phi\) 不变，所以没有电流；因为切割磁感线，所以有电动势。为什么有电动势且是闭合回路但不产生电流呢？因为没有电势差！注意到有两根导体棒都在切割磁感线，且分别产生等量的顺时针、逆时针的电动势，所以两者就相互抵消了。
p3：无有。因为 \(\Phi\) 不变，所以没有电流；因为切割磁感线，所以有电动势。实心圆盘为啥也能切割磁感线呀？可以将「实心圆盘」理解为「无数根导体棒」，就可以理解了；如果要分析这个圆盘，随便拿无数根中的一根导线分析即可。技巧：若旋转对象为一个平面则只需要研究一根导线。
p4：有有。因为闭合回路且 \(\Phi\) 改变，所以有电流；因为切割磁感线，所以有电动势。注意图中的时刻（进入磁场过程）电流大小是不变的！因为 \(\omega\) 恒定，所以 \(\Phi\) 的变化速率恒定；或者说因为 \(E = \frac 1 2 BL^2 \omega\) 不变，所以由欧姆定律得电流不变。
p5：有有。因为闭合回路且有电势差，所以有电流；因为切割磁感线，所以有电动势。这是一类特殊的题，因为它 \(\Phi\) 确实没有改变，但它就是有电流，需要特殊记忆；如果让判断电流方向，根据电动势（电势高低）判断即可；此处的圆盘相当于一个电源。
没啥难题。
计算电荷量：利用电流定义 \(q = \overline It\)、欧姆定律 \(\overline I = \dfrac {\overline E} {R+r}\)、电磁感应定律 \(\overline E = n \dfrac {\Delta \Phi} {\Delta t}\)，得到：
先说「一次感应电流」，就是平凡的感应电流。\(\Phi\) 随时间均匀变化 \(\implies\) 感应电流恒定 \(\implies\) 感应电流产生的感应磁场恒定 \(\implies\) 感应磁场不会反过来再次去产生感应电流。（有点绕）
而「二次感应电流」是 \(\Phi\) 不随时间均匀变化导致的。\(\Phi\) 不随时间均匀变化 \(\implies\) 感应电流不恒定 \(\implies\) 感应磁场不恒定 \(\implies\) 感应磁场中的另一个导体的磁通量就会改变 \(\implies\) 在另一个导体中产生感应电流。
或者类似于 \(s,v,a\) 的关系，因为 \(s\) 随 \(t\) 均匀变化可知 \(v\) 恒定且 \(a\) 为 \(0\)（一次感应），而当 \(v\) 变化时就会导致 \(a\) 不为 \(0\)（二次感应）。
这个图。MN 向右加速运动 \(\implies\) 由楞次定律得导线框中产生点出的磁场 \(\implies\) 由加速得感应磁场变化 \(\implies\) P 线圈中磁通量改变 \(\implies\) P 线圈中产生感应电流。
题：PQ 在外力作用下向右做匀加速运动，判断 MN 的运动。
思路就是从原因到结果依次分析。
i. 磁生电
定性：PQ 向右运动产生感应电流，根据楞次定律 / 右手定则判断电流方向为 Q \(\to\) P，所以电流在 L2 处为逆时针（俯视）。
定量：匀加速得 \(v=at\)，动生电动势公式得 \(E=BLv\)，欧姆定律得 \(I = \dfrac E {R}\)。于是 \(I = \dfrac {BLat} {R} \propto t\)。
ii. 电生磁
定性：L2 处逆时针电流产生向上的感应磁场，所以 L1 处的感应磁场向下。
定量：根据 ChatGPT 所说，通电线圈产生感应磁场，有公式 \(B = \mu \dfrac n L I\)，其中 \(\mu\) 为线圈内部介质的磁导率，\(n\) 为匝数，\(L\) 为线圈长度。于是 \(B \propto I \propto t\)。
iii. 磁生电
定性：根据楞次定律，L1 处产生向上的感应磁场，所以感应电流逆时针（俯视），进而 MN 中感应电流方向为 M \(\to\) N。
定量：感生电动势公式得 \(E' = n' \dfrac {\Delta \Phi'} {\Delta t}\)，欧姆定律得 \(I' = \dfrac {E'} R\)。于是 \(I' = \dfrac {n' \Delta \Phi'} {R \Delta t}\)。然后重点来了，我们发现 \(S\) 和 \(B\) 都是在变的，所以 \(\Delta \Phi' \not \propto \Delta t\)，所以 \(I’\) 不恒定！
iv. 力
定性：既然有电流和磁场，那就会有安培力，左手定则比一下发现安培力是向右的，于是加速度也向右。
定量：既然电流不恒定，那安培力 \(F=B'I'L\) 也一定不恒定，于是加速度不恒定，故向右做变加速运动。
ex. 或者如果不想定量分析，可以这么理解：MN 在运动时会切割磁感线，也会产生电动势，并产生一个相反方向的电流！从而导致 \(I'\) 不恒定。注：此处产生的电动势有一个专有名字「反电动势」。
Tip：铁芯的作用：为了使得产生的磁感线在铁芯里面不外漏。
注：i.~iv. 与 ex. 的分析过程本质相同，是对同一个物理现象的不同解释。
题（\(U-x\) 图像）：正方形导线框（四条边电阻相等）从左向右匀速运动，分析三个位置时 \(bc\) 两端的电压（令导线框的一边切割磁感线产生的动生电动势为 \(E\)）。
左右：显然 \(bc\) 为电源，参考第 16 课 \(E,U\) 关系，根据分压，左图 \(bc\) 两端电压为 \(\frac 3 4 E\)，右图 \(\frac 1 4 E\)。
中：根据动生电动势的产生条件可知 \(ad,bc\) 都会产生电动势，且顺逆时针相反，而又因为没有电流，所以没有分压，所以 \(bc\) 两端电压就是 \(E\)。
左图，主要是注意「有效长度」，这个在 13、14 课说过了，先将磁场中导线首尾相连，再作 \(\perp v\) 的投影，才是切割磁感线的有效长度。
注意有效长度理论只适用于单一方向磁场的情况；若磁场有叉进也有点出也可以用，想成两个单一方向磁场即可；而如果磁场不均匀变化，就不能用了。
右图，就是需要想成两个单一磁场了，分别用有效长度分析，发现两边电动势的顺逆时针是相同的，所以会产生两倍的电动势以及两倍的电流！
图像题光速做题方法（选择题）：判断正负（电流方向）+ 特殊位置，就可排除法选出答案。
非常的好用。
判断哪段导线是等效的电源：先根据楞次定律判断电流方向，然后把所有导线的电流方向画出来，再尝试把电源 “放” 到每一段导线上，对于某一个位置，若电源放在这里形成的电流方向和楞次定律判断出来的相同，那么这段导线就可能是电源，否则就不能是电源。
如上图，经判断可知 EF、FC、CB 可能是电源，剩下的不可能。
这是一个看起来很可爱善良软弱无助的xnn图。但是如果我说就给导体棒一个初速度 \(v_0\)，然后就丢那儿不管了呢？
o. 显然是做减速运动（并非匀减）。
i.a. 瞬时电动势：直接套公式。
i.b. 平均电动势：直接用定义来算，即 \(E =n \dfrac {\Delta \Phi} {\Delta t}\)。
ii. 电流、iii. 安培力、iv. 电压、v. 功率：显然这些都只能问某个时刻的值，直接求哪个就套哪个公式即可。
vi. 发热量：注意这个就只能问一段时间的了。用功能关系！后面再说。
vii. 流过电阻的电荷量：同 vi.，也是问一段时间。不过这个好算，直接用公式 \(q = n \dfrac {\Delta \Phi} {R+r}\) 即可。
自感现象
（题目中自感线圈画成这个样子）
若导线中有一段被缠成了螺旋状，当通入电流的一瞬间，产生的感应磁场就会在一瞬间变化，\(\frac {\Delta \Phi} {\Delta t}\) 较大，于是就会反过来产生感应电流，而这个也符合楞次定律「阻碍」，产生的感应电流与通入导线的电流方向相反。当电流和感应磁场稳定后，就没有感应电流了，此时螺旋状线圈就是平凡的导线了，当然有的题目中也会考虑此时它的电阻（等价于平凡的电阻）。
感应电流大小（自感强弱）跟什么有关呢？很多，但是做题时只需要关注两点即可：
i. 有无铁芯：有铁芯会增强自感强弱。
ii. 线圈匝数：匝数越多，自感越强。（实际上就是感应电动势公式导致的）
做题时，需要注意是「瞬间」还是「稳定时」，前者考虑自感，后者等价导线 / 电阻。
注：线圈的直流电阻大于灯泡电阻。
i. 接通：因为下支路会有自感现象，产生一个相反的电流阻碍通入电流经过，可以等效地理解为一个大电阻（阻值慢慢减小知道变为直流电阻），因此流经下支路的电流会比较少，故流经上支路的电流较多，灯泡会先闪亮一下；稳定后灯泡恢复正常亮度。
ii. 断开：断开瞬间，由于通入电流突然变为 \(0\)，而由「阻碍」可得线圈会感应出向右（与通入电流方向相同）的电流，暂时充当电源，故灯泡不会立即熄灭，而是先突然变暗，再缓慢地熄灭。
加粗字的解释：因为线圈电阻较大，所以断开前流经线圈的电流 \(I_1\) 小于流经灯泡的电流 \(I_2\)。在断开的一瞬间，流经灯泡的电流瞬间消失；而流经线圈的通入的电流也会瞬间消失，这个变化是十分剧烈的，所以可以近似认为线圈「阻碍」电流消失 而产生的电流 \(\approx I_1\)，因此此时流经灯泡的电流为 \(I_1\)；故为「先突然变暗」。而毕竟线圈不是电源，所以电流还是会逐渐减小的；为什么不会瞬间消失呢？考虑反证，若瞬间消失，那就又会导致磁通量剧烈变化，再次产生电流，所以假设不成立；故为「缓慢熄灭」。
注：当 \(I_1>I_2\) 时，灯泡会先闪亮一下（变得更亮），再缓慢地熄灭。
与前面融合了。
结合力与运动
常用物理量：安培力。简单题中，直接用 \(F_安 = \dfrac {B^2L^2v} {R+r}\)（\(\iff F_安 = BIL ~,~ I = \dfrac E {R+r} ~,~ E=BLv\)）。
常用式子：牛二。
题：磁感应强度 \(B\)，定值电阻 \(R\)，MN 长度 \(L\)、电阻 \(r\)、质量 \(m\)，恒力 \(F\)；分析运动并求出最值速度。
先分析运动，列牛二 \(ma = F - \dfrac {B^2L^2v} {R+r}\)，发现只有 \(v\) 是变量，于是当 \(v\) 增大时，\(a\) 减小，直到最终 \(a=0\)；故导体棒做 \(a\) 减小的加速运动。当 \(a=0\) 即 \(F_安=F\) 时取得 \(v_{\max}\)。
Tip：最值速度 \(\iff F_合=0\)。这是因为如果 \(F_合 \ne 0\)，那么一定有 \(a\)，那么 \(v\) 一定会改变，不可能为最值速度。
再从上帝视角理解一下这个题，因为 \(v\) 会增大，所以 \(F_安\) 增大，直到二力平衡的时候，\(v,F_安\) 就都不变了。
题意：正方形线框（质量 \(m\)，电阻 \(R\)，边长 \(L\)）从某一高度 \(h\)（未知）自由落体，落入磁感应强度为 \(B\) 的匀强磁场（上下边界距离足够大），重力加速度大小为 \(g\)；分析运动。
注意到当线框部分在磁场中时有电流，全部在磁场中时无电流，故安培力可能有可能无，要分讨。
以下记 Px 为过程 x，Sx 为情况 x。
- 过程一 P1：线框从下边界接触磁场上边界到完全进入磁场。然后注意到 \(h\) 未知，所以线框落入磁场时的 \(v_0\) 未知，所以 \(F_安\) 未知，因此无法确定 \(F_安\) 与 \(mg\) 的大小关系，还要继续分讨。
- 情况一 S1：\(F_安 > mg\)。由 \(ma=F_安-mg\) 得线框做加速度逐渐减小的减速运动。不过也有可能先减速直到 \(F_安=mg\) 再做匀速 S2。
- 情况二 S2：\(F_安 = mg\)。匀速下落。
- 情况三 S3：\(F_安 < mg\)。线框做加速度逐渐减小的加速运动。同 S1，也可能后来变为匀速 S2。
- 过程二 P2：线框全部在磁场中。没有电流故没有安培力，故加速度为 \(g\)，匀加速下落。没啥好分讨的。
- 过程三 P3：线框从下边界接触磁场下边界到完全离开磁场。
- 若 S1P1（过程一为情况一），则 P3S1。原因：既然 P1 已经 \(F_安>mg\) 了，而 P2 一定会加速（\(v \uparrow\)），故抵达 P3 时 \(F_安>mg\)，为 S1。注：若 P1 会减速到 \(F_安=mg\)，那么对于 P3 来说，P1S1 等价于 P1S2，见下面这一行。
- 若 P1S2，则 P3S1。原因：同理，因为 P1 已经匀速了（\(F_安 = mg\)），而 P2 一定会加速，故抵达 P3 时 \(F_安>mg\)，为 S1。
- 若 P1S3，则 P3 中三种情况 S1/2/3 均有可能。原因：因为 P1 \(F_安<mg\)，这并不能确定 P1 结束时为 \(<\) 还是 \(=\)；又因为 P2 会加速，所以 \(<\) 可能变为 \(<,=,>\)，\(=\) 可能会变为 \(=,>\)；故 P3S1/2/3 都有可能，还要分讨，不过此处的分讨和 P1 的三种分讨一样，就不赘述了。
导轨间距 \(L\)，电容器 \(C\)，导体棒质量 \(m\) 电阻 \(r\)，由静止下落（开始时电容器不带电）；描述金属棒的运动。
为什么电路不闭合还有电流？因为导体棒切割磁感线会产生电动势，相当于一个电源，而且它的电动势在不断增大；所以原题相当于一个电源上接了一个电容器，于是电容器在充电，显然会产生电流。
考的概率不大，而且分析过程非常程序化，所以一些细节就没必要追究了。
i. 牛二：\(ma=mg-BIL\)，此时安培力不能用 \(\dfrac {B^2L^2v} {R+r}\) 因为你无法给一个电容器描述电阻 \(R\)。
ii. 电流：\(I = \dfrac {\Delta Q} {\Delta t}\)，不能用欧姆定律，同样是因为电容器的电阻无法描述。
iii. 电容器：\(C = \dfrac {\Delta Q} {\Delta U}\)，没啥好说的。注意此处需要认为 \(\Delta U = \Delta {\cal E}\) 即电容器两端电压等于导体棒的电动势，确实有点不合理，但是没必要硬去理解。
iv. 动生电动势：\(\Delta {\cal E} = BL \Delta v\)。
v. 电流的最终表达式：\(I = \dfrac {CBL \Delta v} {\Delta t} = CBLa\)，很神奇地凑出了加速度 \(a\)。
vi. 最终式子：\(a = \dfrac {mg} {m+CB^2L^2}\)，发现加速度是定值！所以导体棒做匀加速运动！
左图：有电源。则此时电源提供电流，使得导体棒中产生向右的安培力，导体棒向右加速，牛二的表达式为 \(ma=BIL\)。但是，因为导体棒向右运动切割磁感线，所以又会产生逐渐增大的感应电流 \(I’\)，方向向上，与电源提供的电流方向相反，会相互抵消，故所受安培力逐渐减小，直到电源电流与感应电流相等，安培力消失。因此导体棒做加速度不断减小的加速运动，当加速度减到 \(0\) 时做匀速运动。
右图：无电源，有电容器，电容器初始带电。既然电容器带电，那它就会放电，所以就等价于一个电动势不断减小的电源。而导体棒的情况和左图是一样的，也会产生方向相反的感应电流，因此情况和上面是相似的，只不过是双向的；电容器提供的电流不断减小，导体棒的感应电流不断增大，直到某一时刻两者相等，安培力消失，一切平衡。导体棒和左图一样，还是先做加速度减小的加速运动，再做匀速运动。
结合动能定理
类似于重力做功对应重力势能，安培力做功对应的能量变化是电能。这样理解：为什么导体棒切割磁感线会产生感应电流（电流是会产生电能的）？这些能量从哪来的呢？因为导体棒只受安培力，所以只能是安培力在做功导致的。
并且与「重力与重力势能」的关系一样，安培力做正功 电能减少，安培力做负功 电能增多。
不过注意一点，在电磁感应中，一般都是纯电阻电路，所以电能一般全部用于发热，可得 \(W_安=Q\)。
相关问题的解决思路，还是列动能定理。当然能量守恒也可以，不过动能定理能解决所有的题，所以推荐使用动能定理。
题意：无初速度，下落至速度达到最大值 \(v_m\)。
第一问：求 \(v_m\)。直接列受力平衡即可，以前说过。
第二问：求电阻 \(R\) 在过程中的发热量。直接动能定理即可，\(mgh + W_安 = \frac 1 2 m v_m^2 - 0\)，且 \(W_安=-Q\)；而要求电阻 \(R\) 的发热量，但 \(Q\) 是导体棒和电阻的总发热量，所以最终求的 \(Q_R = \frac 1 2 Q\)。
第三问：求流经导体棒的电荷量。前面说过，代公式 \(q = n \dfrac {\Delta \Phi} {R+r}\) 即可。
原理：\(Q=I^2Rt\)。
规律：若求 \(Q\) 时遇到并联电路 / 复杂电路怎么办？先求 \(Q_总\)，然后用串联正比 \(Q_1/Q_2 = R_1/R_2\)，并联反比 \(Q_1/Q_2=R_2/R_1\) 即可，复杂电路则一步步拆解合并，先把并联电阻等效成一个电阻，变为串联并算出等效电阻的 \(Q\)，然后再把等效电阻拆成原来的并联电阻，同并联规律计算。
用动能定理做题的注意事项：
i. 动能定理左边全是功，右边就一个动能。
ii. \(W_安\) 大概率不能展开，即列的式子中 \(W_安\) 不能用其他的什么东西表示（除了 \(Q\) 以外），只能求这个整体，因为安培力是变力，无法用 \(W=Fs\) 来写。
- 热量分配
按照前一个视频的规则即可，先依次合并，再依次展开。
设总热量为 \(Q\)。
p1：\(Q_a=1/3Q,Q_b=2/3Q\)
p2：\(Q_a=2/3Q,Q_b=Q_c=1/6Q\)
p3：\(Q_a=1/2Q,Q_b=1/4Q,Q_c=Q_d=1/8Q\)
- 电荷量分配
原理：\(q=It\)。
规律：在同一个串联回路中，所有电阻中通过的电荷量相等。当若干个电阻并联时，电荷量与电阻成反比，\(q_1/q_2=R_2/R_1\)。电路的分析方法和求热量时一致。
还是上面那三幅图，设总电荷量（即经过导体棒的电荷量）为 \(q\)。
p1：\(q_a=q_b=q\)
p2：\(q_a=q,q_b=q_c=1/2q\)
p3：\(q_a=q,q_b=q_c=q_d=1/2q\)
（并非）题外话：摩擦力做功与发热量的表达式？\(Q=-(W_{f1}+W_{f2}) = -(fs_1+fs_2)\)，即发热量等于（负的）一对滑动摩擦力做的功，注意 \(s_1,s_2\) 之间为求矢量和。这是因为摩擦力是成对出现的，而若要考虑摩擦力做功，必须两个摩擦力都考虑。而学校老师教的 \(Q=-fs_相\) 和上面是一样的，但是在一些题目下不便于理解。
所以如果两个物体相对摩擦，要列动能定理求发热量的时候，需要对两个物体分别列一个动能定理，得到两个 \(W_f\)，然后将两个 \(W_f\) 相加再取反，就是 \(Q\)。当然实际上就事论事，列能量守恒更简单，但是……
让磁场动起来！怎么办呢？实际上和前面那一堆题外话是一模一样的，即一对安培力做功 等于 电能。
解释：
i. 导体棒的安培力不做功，因为没有位移。
ii. 因为力的作用是相互的，所以在磁场对导体棒产生安培力的同时，导体棒也会对磁场产生相等的安培力！
iii. 于是，电能的产生，就来源于磁场受到的安培力做的功，两者相等。
iv. 进一步，就可以发现电能实际上是这一对安培力做功产生的，和一对摩擦力做功产生热量这个模型简直太像了。
至于具体计算，和导体棒动的情况大同小异，不多说了。
结合动量定理
一根导体棒初速度 \(v_0\)，一段时间后速度减小为 \(v_t\)，则动量定理表达式为 \(BILt=mv_t-mv_0\)，经过一番不严谨的推导可以得到做题要用的式子（推导过程不用了解）：
其中，\(q\) 为通过导体棒的电荷量。
于是可以总结电磁感应中求电荷量的方法，一是 \(q=n \dfrac {\Delta \Phi} {R+r}\)，二是上面的动量定理。
那这两种方法如何选择呢？
注意看第一种方法，因为做电磁感应题的时候，一般都是 \(S\) 在改变引起的 \(\Phi\) 改变，且 \(n\) 一般为 \(1\)，所以可以展开第一种方法的式子，得到 \(q = \dfrac {BL \Delta x} {R+r}\)，又因为一般题目都会给定 \(B,L,R,r\)，所以只需要知道 \(\Delta x\)（即导体棒位移）就可以求出 \(q\)。而当 \(\Delta x\) 未知时，就需要用法二的动量定理来做了。
但是动量定理还有一个至关重要的适用条件，就是必须只有安培力。
所以得出结论：给了位移用法一，不给位移用法二。不能根据动量定理中的 \(v_0,v_t\) 去判断使用哪个方法。不过一个特例是如果题目中给了时间 \(t\)，可以考虑列 \(F_{其他}t+BLq=mv_t-mv_0\)，但是也是建立在不给位移的基础之上的。
题意：导体棒从 \(3v_0\) 变为 \(2v_0\) 移动了位移 \(x\)，那么在继续移动了位移 \(x\) 后，此时的 \(v\) 与 \(v_0\) 的大小关系？
这就需要把上面两个公式结合起来了，我们注意到位移相等，所以要条件反射地想到这可以推出电荷量相等，又因为关于电荷量有公式 \(BLq=mv_t-mv_0\)，所以就直接得到 \(v_t-v_0\) 即 \(\Delta v\) 不变了，所以 \(v=v_0\)。
一个疑问：根据动能定理，安培力小了，所以 \(\Delta E_k\) 小了呀，为什么 \(\Delta v\) 不变呢？因为 \(E_k=\frac 1 2 m v^2\) 中的 \(v\) 是二次方！
- 电磁感应思路总结
动能定理：\(F_{其他}x + W_安 = \frac 1 2 mv_t^2 - \frac 1 2 mv_0^2\)
动量定理：\(F_{其他}t + BLq = mv_t-mv_0\)
其中，一般题目会给的量有 \(B,L,v_0\) 等。下面分析题目问每个物理量的时候具体应该怎么做。
-
\(v_t\)：首先我们发现，无论用哪个方法，其中都包含一个很重要的物理量 \(v_t\)，一般来讲，我们都要先算出 \(v_t\)，再用动能定理或动量定理求出要求的东西。
而 \(v_t\) 怎么求呢？一般我们是要分析最终达到稳定时的 \(v_t\)，此处稳定可以为 \(v\) 不变（用受力平衡），也可以为 \(a\) 不变（用牛二）。 -
\(t\)：可以发现仅动量定理中包含 \(t\)，所以只要题目问 \(t\)，则一定用动量定理。
-
\(x\)：不一定必须用动能定理，因为动量定理也可以通过求 \(q\) 来求 \(x\)。其中如果用动能定理，那么必须满足 \(W_安\) 已知。
-
\(W_安\)：一定用动能定理。
-
\(q\)：有 \(x\) 用 \(q=\dfrac {BL \Delta x} {R+r}\)，无 \(x\) 用动量定理，上面说过了。
总结：电磁感应题目核心的那个物理量就是 \(q\)！！！
如果题目不会做，可以直接把动能定理、动量定理、\(q=\dfrac {BL \Delta x} {R+r}\)（第三个需要联立推出它的几个公式）写上，这三个式子是相互独立的，不会出现最终解得 \(x=x\) 这样的情况，所以不会的时候无脑列即可。
都挺简单的，核心还是电荷量。
这是一个很不常规的题。因为它 \(R\) 不均匀；然后因为 \(a\) 恒定，故 \(F_合\) 恒定，又因为仅受安培力，所以 \(F_安\) 恒定，所以 \(I\) 恒定。
[T1] 列个动能定理 \(W_安=\frac 1 2 mv_t^2 - \frac 1 2 mv_0^2\)，又因为匀减所以 \(v_t\) 能直接求，就做完了。
[T2] 这个是重头戏。像这种让「找 xx 关于 xx 的函数关系」的，本质上就是找一个公式或者联立几个公式，得到一个式子中仅包含要求的两个未知量，其余均为已知量。
o. 需要注意的是，题目中的 \(x\) 是导体棒的位置，而不是位移，真正的位移 \(s\) 应该是 \(1-x\)。
i. 首先想到 \(q= \dfrac {BL \Delta s} R\)，但是这个真的能用吗？注意到此处的位移是 \(\Delta s\)，而不是 \(s\)，所以需要求个和才能变成 \(s\)，而且这样得到的 \(R\) 也是 \(\overline R\)，故不可行。
ii. 还有什么包含 \(R\)？\(R = \dfrac E I\)；或者注意到 \(I\) 恒定，考虑利用这个条件也可以想到这个公式。再联立 \(E=BLv\)、\(2as=v^2-v_0^2\)，就可以得到 \(R\) 与 \(s\) 的关系了！也就得到 \(R\) 与 \(x\) 的关系了。最终答案为 \(R = \frac 2 5 \sqrt x\)。
[T3] 其实这个和我们 [T2.i.] 犯的是同一个错误，就是 \(R\) 不是定值，所以这个公式用不了一点。正确做法应该用动量定理去做。……但是，我们发现 \(I\) 恒定，这意味着什么？我们可以直接用 \(q=It\) 来一步算出来呀！之前的题不能用是因为 \(I\) 一般不恒定。
倾斜导轨，分析思路很简单，只不过过程复杂了一点而已。注意列动量定理的时候需要加上一个重力的冲量 \(mgt\)。
然后是求最大位移，第一时间想到动能定理，但是发现 \(W_安\) 未知，所以只能走动量定理这一条路了，动量定理求 \(q\)，再由 \(q\) 求 \(x\)。
虽然大家也很不想听到，但是天依还是不得不和大家说，和大家一起度过的时光总是那么快，不知不觉，演唱会马上就要进入尾声了~
天依真的好舍不得大家，天依是依靠着大家的创作，依靠着你们的爱，才可以一直一直歌唱，为了这次的相见，你们是不是很辛苦，很期待，付出了很多呢？天依很想要，很想要，带给你们不留遗憾的，最美好热烈的夜晚，谢谢你们的爱，谢谢你们选择来到这里，来到我的身边，这是只属于我们的，最美的蓝色荧光海洋，我会牢牢记住今天，与你们度过的每分每秒，最后，让我们一起唱吧，这首心中的歌~
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