解析几何小专题

主要是讲大题的，基础知识和小题见上一个。

方法论综述

我如何做好「圆锥曲线压轴大题」？构图+翻译+计算!【方法论综述】

• 核心是啥？点、直线、曲线三者之间的关系。点与直线、点与曲线的解决方法是代入，直线与曲线的解决方法是联立！

• 关于联立：很关键的一步，联立直线与曲线得到一个一元二次方程，这个方程以及它的韦达定理就是整道大题的核心。

  注：还有个东西叫做齐次化联立，后面会写。一个简要概述是这个视频。用于解决出现斜率的积或和的问题。

• 终极方法论：构图 + 翻译 + 计算！

下面重点讲构图。

何为构图？不是画图，而是正确地设点、设线。只有学会构图才能极大地减少计算量。

如何构图？找出整个图形是因谁而动的，设它。

• 设线

这个题，如果认为因为 \(PQ\) 在动才导致了其他线也在动，则设线 \(PQ\)，那么只需要联立一次即可；如果认为 \(AP,AQ\) 在动，设这两条直线，就需要进行两次联立了。所以说构图真的非常重要！

当然，设了 \(PQ\) 之后齐次化联立也是很好的。

• 设点

这个题，很容易看出来是因为点 \(M\) 在动导致其他东西都在动，因此要设 \(M\)。

当然，有时候设点设线均可。两者的主要区别在于设点是以点的坐标 \(x_0,y_0\) 为变量，设线则是以直线 \(y=kx+m\) 的参数 \(k,m\) 为变量。

注：设点的时候，甚至都不需要联立和韦达定理，因为本来就没有设线，利用的曲线条件就是点在曲线上。

• 翻译：也是至关重要的一步，就是把题目的神秘几何条件翻译成人话（代数式子）。

（关于翻译，后面会有一个视频细说，这里就举几个例子。

直角：数量积 / 斜率。
三角形重心：重心坐标为三角形三定点的平均坐标。
圆的直径：等价于圆上的点与直径构成直角三角形，还是用数量积 / 斜率。根本不需要画出来这个圆。

注：上面左图中，据说根据垂径定理， \(\triangle PQG\) 中的直角只能为 \(\angle QPG\)，因为 \(QP\) 过椭圆中心。

• 计算：圆锥曲线大题总是伴随着好多计算的，提高计算能力有时候比学一些冷门的技巧更有性价比。

弦长问题

【圆锥曲线】每年高考都要考的「弦长面积」，请查收！

弦长就是一个线段 \(AB\) 的长度。可以之间两点间距离公式，但是题目通常不会想让我们这样做，所以更常用的是用直线 \(AB\) 的斜率来表示。

• 普通弦长公式（令 \(A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)\)，\(l_{AB}\) 斜率为 \(k\)）：

\[\sqrt {(x_1-x_2)^2 + (y_1-y_2) ^2} \\ \sqrt {1+k^2} \cdot |x_1-x_2| \\ \sqrt {1+\frac 1 {k^2}} \cdot |y_1-y_2| \\ \]

• 与曲线有关的弦长公式：先联立直线和曲线方程，得：
  \[Ax^2 + Bx + C = 0 \]
  通过韦达定理对普通弦长公式中的地位个进行整理，可得这个弦长公式（其中 \(\Delta = B^2 - 4AC\)）：
  \[\sqrt {1+k^2} \cdot \frac {\sqrt \Delta} {|A|} \]

关于这几个公式的限制条件，普通弦长公式只需要斜率存在即可，而与曲线有关的弦长公式则还要保证 \(A,B\) 都在曲线上。

下文把 \(\sqrt {1+k^2} \cdot |x_1-x_2| \\\) 称为公式 #1，\(\sqrt {1+k^2} \cdot \dfrac {\sqrt \Delta} {|A|}\) 称为公式 #2。

• 题型分类

固定弦长：直接求值。运动弦长：求最值，如果设弦的直线方程为 \(y=kx+m\)，那么最终弦长一定能转化成一个仅与 \(k,m\) 有关的表达式。弦长比例：根据相似，就是 \(y\) 坐标比例。

• 求定弦长

法一：列出来一大坨方程之后，发现里面非常恶心地带了根号，所以如果用公式 #2，就会出现根号套根号，非常恶心。

法二：不如先把 \(P\) 点坐标求出来，然后用公式 #1。为什么能求 \(P\) 点坐标呢？因为 \(A\) 点是定点，所以 \(P\) 点只能是定点，然后用那一大坨方程的韦达定理即可表示 \(x_A , x_P\) 的关系，进而点 \(P\) 坐标就有了。这是圆锥曲线里面非常常用的一个小 trick。

如何设直线简单：

1. 正设直线：如果过 \(y\) 轴上定点，设为 \(y=kx+m\)。注意需要分讨一下斜率不存在（竖直直线）。
2. 反设直线：如果过 \(x\) 轴上定点，设为 \(x=\lambda y+m\)。注意此时 \(\lambda = \frac 1 k\) 而不是斜率。同时类似地，也要分讨一下水平直线。
3. 硬设：如果过不在坐标轴上定点，只能列点斜式了。

注意：当反设直线时，得到的是一个关于 \(y\) 的一元二次方程，所以弦长公式 #2 也要跟着改变，变为（此时 \(A',\Delta'\) 等都是关于 \(y\) 的方程中的）：

\[\sqrt {1+ \lambda^2} \cdot \frac {\sqrt {\Delta'}} {|A'|} \]

• 求动弦长

对现在的我来说有点难度的一个题吧。

1. 因为交点在 \(x\) 轴上所以要反设直线，然后列一列方程和弦长公式，得到：

   \[|AC| = 2 \sqrt 3 \cdot \frac {\lambda^2 +1} {|\lambda^2-3|} \]

2. 这个绝对值太不好看了，能去掉吗？如果要去掉绝对值，就要求 \(\lambda^2-3\) 的取值范围。

   有什么约束吗？有的，因为直线是和双曲线右支有两个交点，所以两个交点 \(x\) 坐标都为正，但是因为我们列的是关于 \(y\) 的方程，所以用不了。

   我们还注意到另一个充要条件是两个交点 \(y\) 坐标异号！韦达定理用起来，就可以翻译成 \(y_1 \cdot y_2 < 0\)，可以解得 \(\lambda^2 - 3 < 0\)，于是绝对值就可以去掉了。

   \[|AC| = 2 \sqrt 3 \cdot \frac {\lambda^2 +1} {3-\lambda^2} \]

3. 同理得 \(|BD|\)：

   \[|BD| = 2 \sqrt 3 \cdot \frac {\mu^2 +1} {3-\mu^2} \]

   且根据垂直，可以得到斜率之积为 \(-1\)，对于反设直线也适用，有 \(\lambda \cdot \mu = -1\)。

4. 既然都表示出来了，写最终的式子就好了，可以先不用 \(\lambda\) 换掉 \(\mu\)，看看能不能先化简一下（然后发现并不能，于是只能直接换掉了）。

   \[\frac 1 {|AC|} + \frac 1 {|BD|} = \frac {3- \lambda^2} {2 \sqrt 3 (1+\lambda^2)} + \frac {3\lambda^2-1} {2 \sqrt 3 (1+\lambda^2)} = \frac {\sqrt 3} 3 \]

由这个题得到的启示：

1. 该反设直线的时候要果断反设，大大减少计算量。
2. 可以同理的时候一定要同理，计算量直接减半。

面积问题

• 三角形面积

割补法非常常用。另外 \(S = \frac 1 2 \times 水平宽 \times 竖直高\) 也挺常用的（左上角右上角那两个图）。

一个常规经典简单例题：

一个 Tip：试卷上需要体现韦达定理的计算过程，例如写 \(|x_1-x_2|\) 的时候，不能直接写 \(\dfrac {\sqrt \Delta} {|A|}\)，具体应该这么写：

\[\begin{aligned} S &= \frac 1 2 \cdot \sqrt 3 \cdot |x_1-x_2| \\ &= \frac 1 2 \cdot \sqrt 3 \cdot \sqrt {(x_1+x_2)^2 - 4 x_1x_2} \\ &= \cdots (代入韦达定理) \end{aligned} \]

• 四边形面积

第三个图是两点固定，另两点在圆锥曲线上的情况（图有点看不清）。

一个大大大水题：

不过介绍一个 trick：求式子最值，分子分母次数一致，且其中一个为整体的平方，另一个为两式积，可以尝试用均值不等式把两式的乘转化为两式的和。不过当有时候加起来后，和整体平方的那个式子没法约分，此时需要考虑凑个系数看看。

例：求这个式子的最小值：

\[S = \frac {6(\lambda^2+1)^2} {(3-\lambda^2)(3\lambda^2-1)} \]

1. 法一：换元，不过不是换 \(\lambda^2\)，而是换 \(\lambda^2+1\)，这样可以直接把分子变成单项式了，就可以转化成分子上的二次函数最值了。

令 \(m=\lambda^2+1\)，化简一下再令 \(t = \frac 1 m\)。

\[S = \frac {6m^2} {(4-m)(3m-4)} = \frac 6 {-3+16 \frac 1 m - 16 (\frac 1 m)^2} = \frac 6 {-16t^2+16t-3} \]

2. 法二：我们注意力惊人，发现分母如果中间的乘号变成加好会得到 \(2(\lambda^2+1)\)，可以和分子约掉，于是往这个方向考虑。

求最值 & 乘法变为加法？均值不等式！利用 \(ab \le (\frac {a+b} 2)^2\)，得到：

\[S \ge \frac {6(\lambda^2+1)^2} {\left(\dfrac {3-\lambda^2+3\lambda^2-1} 2\right)^2} = \frac {6(\lambda^+1)^2} {(\lambda^+1)^2} = 6 \]

做完了。

需要凑系数的例题：求下面式子的最大值：

\[S = \frac {2(x_0^2+1)(4x_0^2+1)} {(2x_0^2+1)^2} \]

把分子上的 \(2\) 乘到分子的第一个式子里面即可。

待填坑：各种各样的分式求最值。三次四次之类的。

定点问题

圆锥曲线！定点问题！

思路：如果是固定模型就直接做，如果不是就先猜后证！

• 「斜率和积」模型

你好我齐次化联立秒了，但是普通方法还是可以会一下的。

含义：当出现「\(k_{PA} + k_{PB} = m\)」「\(k_{PA} \cdot k_{PB} = \lambda\)」「\(\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB} = \mu\)」这样的式子时，直线 \(l_{AB}\) 必经过定点。
不过注意，这个有适用条件，\(m \ne 0 , \lambda \ne \frac {b^2} {a^2}\)。

☆做这种题核心就是先设 \(l_{AB}\)（过定点的直线），把斜率和积的条件翻译出来，化简消元得到 \(l_{AB} : y=kx+m\) 中 \(k,m\) 的关系，用其中一个换掉另一个，就变成了单参数直线，必过定点。

板子题不放了，过于简单。

• 先猜后证

有时候定点不好证的时候，可以先猜定点，然后再由此尝试证明。

猜的方法：利用对称性、极限 / 特殊位置。

利用对称性：

此处的对称不是普通意义上的对称，而是动态对称性，就是在动点运动的过程中，如果有一条 \(l\) 过某个点，那么一定能有另一条 \(l’\) 和 \(l\) 关于某个东西（如 \(x,y\) 轴）对称。

然后我们有结论：关于谁对称，定点就在哪。例如上图关于 \(x\) 轴对称的时候，定点一定在 \(x\) 轴上。

利用极限 / 特殊位置：

找一些特殊情况，如上图 \(AB \perp x\) 轴时，发现直线 \(MN\) 就是 \(x\) 轴，于是定点在 \(x\) 轴上。

然后是上面这两个图所属于的例题：

这里有一个小技巧，就是在设 \(l_{AB}\) 联立韦达定理得到 \(M\) 点坐标之后，不需要再设一遍 \(l_{CD}\)，因为两条直线所拥有的限制条件都是过点 \(F\)，且都在转，因此两者等价，故可以直接同理得 \(N\) 点坐标。

然后是重点，由于我们前面注意到了 \(MN\) 过的定点在 \(x\) 轴上，因此可以直接设它过点 \((s,0)\)，然后由这三点共线得到一个式子，再化简这个式子得到 \(s\) 是定值即可。

这个题第二问第三问都是斜率模型，不同的斜率模型。第二问板子，简要说一下第三问。

第三问，也可以和上个题一样，由第二问得到 \(AP,AQ\) 的方程（设两个斜率），然后联立直线和圆，并设过定点 \((s,0)\)，但是这样有点太麻烦了，因为 \(l_{AP}\) 是包含参数且比较复杂的，再与圆联立那计算量就很大了。不妨直接设直线 \(MN\)，联立 \(MN\) 和圆，再由 \(AM,AN\) 斜率之积为定值（其实就是 \(AP,AQ\)），列出来一个式子，韦达定理化简消元就可以了。

由此得到一个 Tip：直线与曲线联立，选择的直线最好是刚设出来的 \(y=kx+m\) 或 \(x=\lambda y+n\)。

那直线 \(MN\) 该怎么设呢？题目也没给过哪个点呀，这时候就需要先猜后证了，注意到 \(MN\) 过的定点在 \(x\) 轴上，因此反设即可。

这题比较难。

一个思想：如果一个东西表示起来太麻烦，考虑设而不求，即使这个东西并不属于常规情况下要设的东西，也可以设。当然设的时候尽量就设一些关键的、联系上下文的点，设太多了也不好。

这个题，常规地设直线设 \(M,N\) 坐标并得 \(P\) 坐标后，发现 \(Q\) 不好表示，如果按照题目的要求，就要列两个带 \(x_i,y_i\) 的两点式，然后联立得到一个带了一堆 \(x_i,y_i,x_j,y_j\) 的点，然后还要列过这个点的正比例函数，然后再跟所设的直线联立，计算量爆炸了。

于是直接设 \(Q(x_0,y_0)\)！然后翻译条件就是 \(A_1,P,Q\) 三点共线、\(N,A_2,Q\) 三点共线。得到：

\[\frac {y_0} {x_0+2} = \frac {y_1} {x_1-2} \\ \frac {y_0} {x_0-2} = \frac {y_2} {x_2-2} \]

第一个问题：如何表示 \(l_{OQ}\)？

因为我们最终目的是得到 \(l_{OQ} : y = \dfrac {y_0} {x_0} x\)，所以最终是要求一个 \(y_0\) 与 \(x_0\) 的比值的，并不需要分别求 \(x_0,y_0\)，又发现我们上面那个式子长的很好看，所以这是可行的。一个小思想就是尽量让分母简单一些，于是两个式子分别取倒数，然后直接相加就可以直接得到 \(\frac {x_0} {y_0}\) 了（用 \(x_1,y_1,x_2,y_2\) 表示的）。

\[\frac {2x_0} {y_0} = \frac {x_1-2} {y_1} + \frac {x_2-2} {y_2} \]

第二个问题：最开始的直线 \(MN\) 还没有设！该怎么设？

此时不过定点了，因为题目没让证。所以需要从简化计算的角度考虑，发现上面 \(\frac {x_0} {y_0}\) 的表达式中分母长的很好看，都是很简单的形式了，因此最好是消掉 \(x_i\)，这样更好化简不用通一坨分，所以选择反设直线，得到的才是 \(x=\lambda y+m\) 这样的式子，便于用 \(y_i\) 表示 \(x_i\) 从而消掉 \(x_i\)。

\[\frac {x_0} {y_0} = \frac {2\lambda} {m+2} \]

到了最后一步，已经得到了 \(l_{OQ},l_{MN}\) 的方程（用 \(\lambda,m\) 表示的），直接联立就可以了。

\[\begin{cases} l_{OQ} : y = \dfrac {m+2} {2 \lambda} \cdot x \\ l_{MN} : x = \lambda y + m \end{cases} \]

这个方程组的含义就是 \(R(x,y)\)，于是只需要化简消元找 \(x,y\) 之间的定值关系即可，一番化简后容易得到 \(x=-2\)，即为答案。

这题特别特别特别特别特别难！

一个重要思想：我们不一定非得要用韦达定理 通过直线的参数 去表示直线与曲线两交点关系，也可以把这个参数消掉！直接表示坐标 \((x_i,y_i),(x_j,y_j)\) 之间的关系！原理是如果一条直线和一个曲线的一个交点确定，那另一个交点自然也就确定了。

0. 因为 \(l_{AB}\) 是定斜率的直线，而不是过某个定点，所以画出来的 \(l_{CD}\) 也不容易找到过哪个定点，于是就只能硬着头皮算了。

1. 设啥？首先显然不能设一车直线的方程，这样不是人算的。然后看看有没有一些同理的东西，发现 \(BD\) 与 \(AC\) 可能可以同理，然后发现利用上面的思想，可以直接由 \(C(x_3,y_3)\) 表示 \(A(x_1,y_1)\)，并同理用 \(D(x_4,y_4)\) 表示 \(B(x_2,y_2)\)。为什么用 \(C\) 表示 \(A\) 而不是反过来呢？因为给定的条件是 \(A,B\) 之间的条件（斜率为 \(1\)），这样可以更好地转化到 \(C,D\) 的坐标关系。最终可以得到：

   \[y_3x_4 - x_3y_4 = \frac 1 4 (x_4-x_3) - \frac 7 4 (y_3-y_4) \]

2. 那根证明过定点有什么关系呢？注意到如果直线过定点 \(m,n\)，那么满足式子：

   \[\frac {y_3-n} {x_3-m} = \frac {y_4-n} {x_4-m} \]

   展开后可得：

   \[y_3x_4 - x_3y_4 = n (x_4-x_3) - m (y_3-y_4) \]

   于是可得过定点 \((-\frac 7 4 , \frac 1 4)\)。

这太神了。。。

切线问题

圆锥曲线！切线问题！

• 切线方程速写：曲线在 \((x_0,y_0)\) 点的切线方程（点必须在曲线上），还是改写法则，\(x^2 \to x_0x\)，\(x \to \frac {x_0+x} 2\)。

\[\begin{aligned} Ax^2 + By^2 + Cx + Dy + F = 0 &\to Ax_0x + By_0y + C \cdot \frac {x_0+x} 2 + D \cdot \frac {y_0+y} 2 + F = 0 \\ 椭圆~ \frac {x^2} {a^2} + \frac {y^2} {b^2} = 1 &\to \frac {x_0x} {a^2} + \frac {y_0y} {b^2} = 1 \\ 双曲线~ \frac {x^2} {a^2} - \frac {y^2} {b^2} = 1 &\to \frac {x_0x} {a^2} - \frac {y_0y} {b^2} = 1 \\ 抛物线~ y^2=2px &\to y_0y = p(x_0+x) \end{aligned} \]

假装证一下（答大题写步骤用的）：联立直线曲线得一个方程，令这个方程的 \(\Delta=0\)，解得（不用真的解）\(k=\ldots\)。示例：

\[\begin{aligned} 联立得~& \begin{cases} y=k(x-x_0)+y_0 \\ \frac {x^2} {a^2} + \frac {y^2} {b^2} = 1 \end{cases} \\ 整理得~& \ldots x^2 + \ldots x + \ldots = 0 \\ 令~& \Delta = \ldots = 0 \\ 解得~& k = - \frac {b^2 x_0} {a^2 y_0} \end{aligned} \]

• 切点弦方程速写：过曲线外一点 \((x_0,y_0)\) 做曲线的两条切线，将两个切点连起来得到的直线，叫做切点弦，同样符合改写法则。

应该也需要假装证一下，但我不知道怎么证。！

1. 这个题。首先倾斜角互补可以翻译成 \(k_1+k_2=0\)（显然）。
2. 然后考虑设什么更简单，首先 \(N(x_0,y_0)\) 肯定是要设的，然后直接用切点弦方程表示 \(l_{AB}\) 吗？不是的，稍微分析一下发现这样太麻烦了。既然要表示 \(l_{AF},l_{BF}\) 的斜率，那不如设 \(A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)\)，进而可以想到设 \(l_{AB}\) 的方程 \(y=kx+m\)（而不是用切点弦方程表示），联立直线与椭圆，就可以表示 \(k_1,k_2\) 了，翻译条件韦达定理可以得到 \(k,m\) 关系 \(m=-4k\)，以及 \(l_{AB} : y=kx-4k\)。
3. 显然这样就可以直接写出 \(y_M\) 来了。然后再用切点弦方程，用 \(N\) 点坐标去表示 \(l_{AB}\)，就可以得到 \(y_0\) 与 \(k,m\) 关系。即用 \(k\) 来表示 \(y_M,y_0\)，做完了。

思想：同构，当两条线满足相同条件 且 之间有关系的时候，可以运用同构的思想，设的时候先不指定设哪一条，得到两条线都满足的条件 (#1)，再利用两线之间的关系 (#2)，将 #1 与 #2 结合起来巧妙地得到最终答案。

这个题就是这样的，先设过点 \(P\) 的椭圆切线的方程 \(y-y_0 = k(x-x_0)\)，联立直线与椭圆并令 \(\Delta=0\)（切线的条件），发现得到一个关于 \(k\) 的二次方程（含有 \(x_0,y_0\) 作为参数），于是两条过点 \(P(x_0,y_0)\) 的切线的斜率就是这个方程的两个解！满足 \(k_1 \cdot k_2 = \frac C A\)，再结合 \(k_1 \cdot k_2 = -1\) 就可以解得 \(x_0,y_0\) 的关系了。

蒙日圆：

1. 椭圆 \(\frac {x^2} {a^2} + \frac {y^2} {b^2} = 1\) 的任意两条相互垂直的切线的交点 \(P\) 的轨迹为圆 \(x^2+y^2=a^2+b^2\)，称为椭圆的蒙日圆。
2. 双曲线 \(\frac {x^2} {a^2} - \frac {y^2} {b^2} = 1 ~(a>b>0)\) 的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是 \(x^2+y^2=a^2-b^2\)，称为双曲线的蒙日圆。
3. 抛物线 \(y^2=2px\) 的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是其准线 \(x=- \frac p 2\)。

内准圆：

椭圆 \(\frac {x^2} {a^2} + \frac {y^2} {b^2} = 1\)，过坐标原点 \(O\) 作两条互相垂直的椭圆半径，交椭圆于 \(A,B\)，过点 \(O\) 做 \(OP \perp AB\)，点 \(P\) 的轨迹方程为 \(x^2+y^2 = \dfrac {a^2b^2} {a^2+b^2}\)，称为椭圆的内准圆。

性质：\(\dfrac 1 {|OA|^2} + \dfrac 1 {|OB|^2} = \dfrac 1 {a^2} + \dfrac 1 {b^2}\)；\(\dfrac {2ab} {\sqrt {a^2+b^2}} \le |AB| \le \sqrt {a^2+b^2}\)；\(\dfrac {a^2b^2} {a^2+b^2} \le S_{\triangle AOB} \le \dfrac {ab} 2\)；椭圆的内准圆内切于 椭圆的四个顶点构成的菱形。

desmos：蒙日圆与内准圆 椭圆的内准圆

彭赛列闭合定理：对于一个椭圆 \(C\) 和 \(C\) 内部的另一个椭圆 \(G\)，若进行以下操作最终得到一个 \(A_n\) 与 \(A_0\) 重合，那么对于 \(C\) 上任意一点，进行以下操作都会得到一个 \(B_n\) 与 \(B_0\) 重合。操作定义为「过 \(A_i\) 按和上一次操作同一方向做 \(G\) 的切线，交 \(C\) 于点 \(A_{i+1}\)」。

这个题（第二问），相做法和上个题是一样的，还是用同构。思路比较容易想到（才怪），先设过点 \(M\) 的直线 \(y=kx+1\)，然后联立圆与直线（或直接列点到直线距离）得到一个包含 \(k\) 的一元二次方程，\(k_1,k_2\) 为它的两个解，然后为了证相切，还需要得到 \(E(x_1,y_1) , F(x_2,y_2)\) 坐标，于是就要联立直线与椭圆，得到二次方程，发现这个方程的两个解是 \(ME\) 或 \(MF\) 与椭圆的两个交点，而 \(M(0,1)\) 已知，所以就可以直接表示出来 \(x_1,x_2\) 了，两者长得一样，不过一个含 \(k_1\)，一个含 \(k_2\)。然后再表示直线斜率，表示直线方程，但是这也太难算了吧！！所以计算省略了，看上面的截图吧。8(😄

另一个思路：设 \(l_{EF} : y = \lambda x + m\)，由前面直线和圆联立 + 韦达定理得到 \(k_1 + k_2 , k_1 \cdot k_2\)，转化为常规解析几何题，就是 \(k_1,k_2\) 之间有某种关系，然后用联立 \(l_{EF}\) 与圆得到的二次方程表示 \(k_1,k_2\)，就可以得到 \(x_1,x_2\) 之间的两个关系（分别对应 \(k_1+k_2,k_1 \cdot k_2\)），进而什么都能求了。但是这样计算量也是非常可观的。

总结：法一是不设 \(EF\)，直接求 \(E,F\) 坐标；法二是设 \(EF\)，翻译条件找到坐标之间关系。

一个小 trick：抛物线上两点连线求直线方程：设 \(A( \dfrac {y_1^2} {2p} , y_1) , B( \dfrac {y_2^2} {2p} , y_2)\)，则用两点式写直线方程化简得到 \((y_1+y_2)y = 2px + y_1y_2\)。所以，抛物线题中，在设线的时候并不需要引入 \(k,m\) 等参数，只需要把点坐标写出来就可以直接写出直线方程了！

这个题，先写出 \(l_{A_1A_2},l_{A_1A_3}\) 并翻译条件用点到直线距离列出来两个几乎一模一样的方程 \((y_1+y_i)^2+1 = (2+y_1y_i)^2\)，其中 \(y_i\) 替换为 \(y_2\) 或 \(y_3\)，套路地想到这个方程的两个解就是 \(y_2,y_3\)，于是韦达定理可得 \(y_2,y_3\) 关系，然后写出 \(l_{A_2A_3}\) 列点 \(M\) 到直线距离并韦达定理化简即可。

条件翻译

【圆锥曲线】条件翻译大总结！专治没有思路！

• 中点与斜率

垂直平分线：中点 & \(k_1 \cdot k_2 = -1\)。翻译方法就是先找中点再作垂直。

垂直平分线的一些变形：
「等腰三角形」等价于底边的垂直平分线；
「两点 \(A,B\) 关于直线 \(l\) 对称」等价于 \(l\) 是线段 \(AB\) 的垂直平分线；
「等边三角形」等价于一个垂直平分线 + 一条腰与底边相等。

有时候，也会将「垂直平分线」翻译成「等腰三角形」，总之两者是充要条件，要记得灵活转化。

• 向量

给定线段比：\(\overrightarrow{AM} = 2\overrightarrow{MB}\)。斜着的线段比转化为竖直的线段比，结合坐标，经常是转化为 \(x\) 坐标或 \(y\) 坐标之比。
那 \(\frac {y_1} {y_2}\) 怎么做？如何使用韦达定理？
法一：相似 + 齐次式。注意到 \(\frac {y_1} {y_2}\) 是一个齐次式，所以需要凑个齐次式出来。结论如下，用这个即可凑出韦达定理并求出 \(A,B,C\) 中的相关参数后关系。

\[\frac {(y_1+y_2)^2} {y_1 \cdot y_2} = \frac {y_1} {y_2} + \frac {y_2} {y_1} + 2 \]

法二：向量坐标 + 解方程。直接利用向量坐标翻译。设 \(A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)\)，向量坐标可以得到两个方程，再由点在椭圆上得到两个方程，最终四个方程四个未知数，而且并不难解。

那如果线段的一个端点不在抛物线上呢？核心思路是把不在抛物线上的点通过各种手段转化为在抛物线上的点。上图 p2 就是利用 \(M\) 为 \(AB\) 中点写出点 \(M\) 坐标，再利用向量坐标（此处只能用这个方法）翻译比例条件，得到 \(x_P = -3 \cdot \frac 1 2 (x_1+x_2) , y_P = 4 - \frac 3 2 (y_1+y_2)\)，\(x_1,x_2,y_1,y_2\) 显然都可以韦达定理解决，那 \(x_P,y_P\) 怎么办呢？注意到 \(P\) 在抛物线上这个条件还没用！所以需要把 \(P(x_P,y_P)\) 代入抛物线，即可。
其实这和上面是大同小异的，向量坐标法都是需要把曲线上的点代入曲线得到一个方程的，而齐次式不需要。

• 弦长

一些二级结论：

会出现不好转化的情况，这时候只能硬算。这里不说了。

上图左侧：弦长太短 / 太长，可以拼上一段 / 删掉一段，以确保弦的两个端点在同一曲线上。\(|AC|,|BD|\) 的两个端点都不在同一条曲线上，很不好表示，考虑初中经典套路，给他俩分别拼上一个 \(|BC|\)，就转化成了分别在同一条曲线上的弦了，进行两次联立直接套公式做即可。

上图右侧：弦长之积 \(|PA| \cdot |PQ|\) 不好算，我们注意力惊人地发现因为 \(PA,PQ\) 共线，所以可以利用向量数量积与投影的关系，转化为 \(- \overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB}\)，用向量坐标或者直接极化恒等式秒了。

• 角度

粗略表示（只说了锐角、钝角、直角）：用数量积。

精确表示（要求具体角度）：
法一：用向量数量积，直接表示。
法二：找直角三角形（可能需要自己画），利用三角函数等。
法三：到角公式。两直线 \(l_1,l_2\)，倾斜角与斜率分别为 \(\theta_1,\theta_2,k_1,k_2\)。从 \(l_1\) 逆时针转到 \(l_2\) 所形成的角 \(\theta = \theta_2 - \theta_1\)，\(k = \tan \theta = \dfrac {k_2-k_1} {1+k_1k_2}\)。一个变形是夹角公式：就是前面的加个绝对值，求的是两直线夹角（\([0°,90°]\)）。

当出现倾斜角的时候，往往会转化成斜率，用 \(\tan\) 的关系做。
「斜率之和为 \(0\)」可以翻译为两直线左右对称。

• 其他

圆：「以 \(AB\) 为直径的圆恒过顶点 \(P\)」翻译为「\(AP \perp BP\) 恒成立」，然后翻译成数量积即可。1

三等分点：「\(MN\) 的三等分点是 \(P,Q\)」可以翻译为「\(|PQ|=\frac 1 3 |MN|\) 且 \(PQ\) 中点与 \(MN\) 中点重合（假设已知 \(P,Q\) 均在 \(MN\) 上）」。1

二级结论 #1

圆锥曲线“二级结论”太多啦！先学这些最常考的！

这个是最常用最常用最常用的。

• 椭圆焦半径公式（第二定义）

椭圆上点 \(P(x_0,y_0)\)，椭圆左焦点 \(F_1\)，右焦点 \(F_2\)，有：

\[|PF_1| = a+ex_0 \\ |PF_2| = a-ex_0 \]

加号减号满足左加右减。而如果焦点在 \(y\) 轴上，就把式子里的 \(x_0\) 换成 \(y_0\)，且满足下加上减。

推导过程：

\[\begin{aligned} |PF_1| &= \sqrt{(x_0+c)^2+y_0^2} \\ &= \sqrt{x_0^2+2cx_0+c^2+y_0^2} \\ &= \sqrt{x_0^2+2cx_0+c^2+b^2\left(1-\frac{x_0^2}{a^2}\right)} \\ &= \sqrt{\left(1-\frac{b^2}{a^2}\right)x_0^2+2cx_0+b^2+c^2} \\ &= \sqrt{\frac{c^2}{a^2}x_0^2+2cx_0+a^2} \\ &= \sqrt{\left(\frac{c}{a}x_0+a\right)^2} \\ &= a+ex_0 . \end{aligned} \]

一个小结论：\(\triangle ABC\) 三个顶点 \(A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),C(x_3,y_3)\)，以及中心 \(G(x_0,y_0)\)，满足：

\[x_1 + x_2 + x_3 = 3x_0 \\ y_1 + y_2 + y_3 = 3y_0 \]

• 双曲线焦半径公式

双曲线上点 \(P(x_0,y_0)\)，双曲线左焦点 \(F_1\)，右焦点 \(F_2\)，有：

\[|PF_1| = |a+ex_0| \\ |PF_2| = |a-ex_0| \]

推导过程和椭圆类似，都是用两点距离。规律也和椭圆类似。

• 椭圆的垂径定理（第三定义）

令 \(AB\) 为椭圆的一条直径（过坐标原点的一条椭圆的弦），\(P\) 为椭圆上一点，则：

\[k_{PA} \cdot k_{PB} = - \frac {b^2} {a^2} \]

推导：点差法。见上图

常考形式：上图中间，将点 \(P\) 与椭圆两个端点 A,B$ 连起来——因为 \(AB\) 就是椭圆的一条直径，所以垂径定理完全适用！上图右边，取椭圆的任意一条弦 \(AB\)，作 \(AB\) 中点 \(P\)，连接 \(OP\)——则 \(k_{AB} \cdot k_{OP} = - \frac {b^2} {a^2}\)，证明是连接 \(OA\) 并延长，用中位线来证。Tip：看到中点想中位线总是没有坏处的。

总结：有直线过原点 / 与端点相连 / 有弦中点 时，考虑垂径定理。

这个题也比较巧妙，就是先不着急联立，把该设的都设出来之后（\(P(x_0,y_0),Q(-x_0,-y_0),E(x_0,0),G(x_1,y_1)\)），常规地用 \(G,E,Q\) 三点共线来表示 \(x_1,y_1\) 与 \(x_0,y_0\) 关系，然后惊奇地发现 \(2k_3=k_1\)，再由垂径定理得 \(k_2 \cdot k_3 = - \frac 1 2\)，就直接得到 \(k_1 \cdot k_2 = -1\) 了，甚至不需要联立。

当然，直接把 \(\triangle PEQ\) 拿出来，然后注意到也可以，但是我注意不到（）

• 双曲线的垂径定理

令 \(AB\) 为椭圆的一条直径（过坐标原点的一条椭圆的弦），\(P\) 为椭圆上一点，则：

\[k_{PA} \cdot k_{PB} = \frac {b^2} {a^2} \]

• 椭圆的焦点三角形

「焦点三角形」就是椭圆上任意一点 \(P\) 与两个焦点 \(F_1,F_2\) 构成的三角形。

周长：三边相加，显然就是 \(2a+2c\)。

面积：设 \(P\) 点 \(y\) 坐标为 \(y_P\)，\(\angle F_1PF_2 = \theta\)，\(\triangle PF_1F_2\) 的内切圆半径为 \(r\)。则第一个公式直接用底乘高，第二个公式用余弦定理化简而来，第三个公式用三角形面积结论 \(S_\triangle = \frac 1 2rC_\triangle\)。

\[S_{\triangle PF_1F_2} = c \cdot |y_P| = b^2 \tan \frac \theta 2 = (a+c) \cdot r \]

注意到这三个公式分别有一个核心变量 \(y_P,\theta,r\)，所以这三个量知一求二，知二就可以列出关于 \(a,b,c\) 的一个等式，可以求离心率。难点在于看到三个量之中的一个要自己想到用面积去表示（题目不会告诉我要用面积）。
注：带 \(\theta\) 的那个公式的推导：设 \(|PF_1| = m , |PF_2| = n\)，则 \(m+n=2a\) ①，与 \(\triangle PF_1F_2\) 在 \(\angle P\) 上的余弦定理 \(m^2+n^2-4c^2=2mn \cos \theta\) ② 与正弦定理 \(S = \frac 1 2 mn \sin \theta\) ③，联立 ①②③，即可解得。

一个小结论：三角形内心、外心、重心、垂心只要有任意两心重合，那这个三角形一定是等边三角形，四心重合。
另一个小结论：\(\triangle ABC\) 内心为 \(I\)，连接 \(AI\) 并延长交 \(BC\) 于点 \(D\)，如果 \(AI:ID = 2:1\)，可以得到 \(AB+AC=2BC\)，但不一定是等边三角形。

• 双曲线的焦点三角形 ◉‿◉

面积：\(S_{\triangle PF_1F_2} = \dfrac {b^2} {\tan \frac \theta 2}\)

• 距离类经典结论

圆锥曲线的通径，含义是经过椭圆焦点的最短弦；椭圆的通径与椭圆长轴垂直，长度为 \(\dfrac {b^2} a\)；双曲线的通径与双曲线两个端点所在的坐标轴垂直，长度为 \(\dfrac {b^2} a\)；。
椭圆上点 \(P\) 到原点距离 \(|OP| \in [b,a]\)，到焦点距离 \(|PF_1| \in [a-c,a+c]\)。
双曲线上点 \(P\) 到原点距离 \(|OP| \in [a,+ \infty)\)；焦点到渐近线距离一定为 \(b\)，会构成一个 \(a,b,c\) 三角形，这个之前写过。

二级结论 #2

椭圆的第零定义

椭圆的第零定义【StarSky】

定义椭圆 \(\dfrac {x^2} {a^2} + \dfrac {y^2} {b^2} = 1\) 为单位圆 \(x^2+y^2=1\) 在 \(x\) 轴方向伸长 \(a\) 倍，\(y\) 轴方向伸长 \(b\) 倍得到的图形。由此可以得到一些非常有用的结论（以下单位圆相关的均用上角标 \('\) 表示）：

• 面积关系

\(S_椭 = ab \cdot S_圆\)，微元法证明即可。同理，在椭圆内随便取一块面积 \(S\)（最好是和椭圆边界相关的），相应地将其映射到圆上，所对应的面积也是 \(S = ab \cdot S'\)。
例题：椭圆 \(\dfrac {x^2} {a^2} + \dfrac {y^2} {b^2} = 1\)，过 \(x\) 轴上一定点 \(P\) 作椭圆的一条弦，交椭圆于 \(A,B\)，求 \(S_{\triangle OAB}\) 的 \(\max\)。只需要把三角形映射到单位圆上，然后就可以直接用正弦定理秒掉了。

• 斜率关系

任意直线，在随椭圆一起拉伸时，斜率都会等比例缩放，满足 \(k = \dfrac b a k'\)。
例题：过原点 \(O\) 作一条直线 \(l_1\) 交椭圆于点 \(T\)，过点 \(T\) 作椭圆的切线 \(l_2\)，求证 \(k_1 \cdot k_2\) 为定值。显然映射到单位圆上后，相切的关系不变，于是 \(k_1' \cdot k_2' = -1\)，再映射回椭圆上，就可以得到 \(k_1 \cdot k_2 = - \dfrac {b^2} {a^2}\)。

• 其他

注意，长度、角度关系并不好用，比如说长度 \(\dfrac {l'} l = \dfrac {\sqrt {a^2 + b^2k^2}} {\sqrt {a+k^2}}\) 是一个跟 \(k\) 有关的挺麻烦式子，不如不用。

重点：大题可以用！！不过要说清变换关系，句式形如「把椭圆横向缩小 \(a\) 倍，纵向缩小 \(b\) 倍得到单位圆」。

常考模型 #1

还没动笔，居然能看出答案！【圆锥曲线模型盘点】

为什么要学这个？一是选填直接用；二是大题可以在做之前就看出答案，可以减少最后一步的计算，也可以在没时间的时候随便写点（联立一下之类的），然后再把答案写上，骗分，还可以用于验证写的对不对。

• 斜率和积模型

部分见「定点问题」，这里讲另一类模型——\(k_1 + k_2 = 0\)，此时 \(k_{AB}\) 为定值。如何求？多画几个图就可以发现，两条直线越来越趋近于重合时，最终 \(l_{AB}\) 就是过 \(P'\) 的椭圆切线（\(P'\) 为点 \(P\) 关于 \(x\) 轴的对称点），斜率可以直接用改写法则求。

注：椭圆、双曲线都适用，抛物线应该也适用吧。

过长轴上点 \(P\) 作两条 \(k_1 + k_2 = 0\) 的直线且直线与椭圆相交，交点分别为 \(A,B\)、\(C,D\)，则 \(BC \cap AD\) 为 \(x\) 轴上定点 \(T\)。如何求？一样地，用极限的思想，使两条直线与椭圆相切，连接切点得到直线与 \(x\) 轴的交点就是 \(T\)，切点弦改写法则就可以求。

也可以得到结论：\(x_T \cdot x_P = a^2\)，所以 \(T,P\) 两点坐标知一求一。

• 四点共圆问题

圆锥曲线上四个点如果共圆，那么无论取哪两对点相连，形成的两条直线斜率之和都为 \(0\)。即 \(k_{AD} + k_{BC} = k_{AB} + k_{CD} = k_{AC} + k_{BD} = 0\)。

圆幂定理：过平面内一点 \(P\)（不一定在圆内）作圆的两条弦，分别交圆于 \(A,B\)、\(C,D\)，则一定有 \(PA \cdot PB = PC \cdot PD\)；逆定理也成立。

答案很好写，那如何写过程呢？如何翻译条件？

首先，垂直平分线经典模型，翻译成斜率之积为 \(-1\) 与中点 \(x,y\) 坐标。然后难点在于四点共圆，见图右边，画一个圆出来，发现既然 \(AB\) 是一条弦而 \(MN\) 又是 \(AB\) 的垂直平分线，所以 \(MN\) 就是圆的直径！然后结合垂径定理，连接圆心 \(G\) 与点 \(A\)，得到直角三角形，列勾股定理即可。计算量非常非常非常大，因为要两次直线与曲线联立，还要表示不少点的坐标。当然因为是抛物线，会减少一些计算量。

另一个方法是曲线系，不过我现在不会。

• 极点极线模型

平面内任意一定点（不一定在曲线内），过这个点做任意两条弦，分别交曲线于 \(A,B\)、\(C,D\)，则 \(l_{AC}\) 与 \(l_{BD}\) 延长后的交点一定过定直线（或 \(l_{AD},l_{BC}\)，仅需保证两条直线过的两个点不在上一步作的同一条弦上即可），且定直线的方程符合改写法则！
其中，极点极线可以互求，但做题时需要去找的是两条弦相交形成的那个“小叉叉”。

常考模型 #2

阿基米德三角形

「阿基米德三角形」保姆级讲解！

定义：过一点 \(P\)，作抛物线的两条切线，切点分别为 \(A,B\)，则 \(\triangle PAB\) 就是「阿基米德三角形」。

• 前置知识：对于抛物线 \(x^2 = 2py\)，

切线方程：\(y = \dfrac {x_1} p x - \dfrac {x_1^2} {2p}\)。推导：设切点 \(A(x_1,\frac {x_1^2} {2p})\)，列点斜式，其中斜率直接求导来求。
弦的方程：\(2py = (x_1+x_2)x-x_1x_2\)。推导：直接设两点坐标列两点式即可。

• 一些结论

坐标关系：设 \(A(x_1,\dfrac {x_1^2} {2p}) , B(x_2,\dfrac {x_2^2} {2p})\)，则 \(P(\dfrac {x_1+x_2} 2 , \dfrac {x_1x_2} {2p})\)。推导：联立两个切线方程即可。
弦中点：作 \(AB\) 中点 \(G\)，连接 \(PG\)，则 \(PG // y\) 轴（更一般地，应为平行于抛物线对称轴）。推导：通过坐标关系易得。
弦中点中点：\(PG\) 的中点一定在抛物线上。推导：通过坐标易得。
面积：\(S_{\triangle PAB} = \dfrac {|x_1 - x_2|^3} {8p}\)。推导：割补法，以 \(PG\) 为分界线切开，\(1/2\) 水平宽 \(\times\) 竖直高即可。

• 例题

第二问利用结论，转化为求 \(|x_1-x_2|_\max\)，根据人类直觉可知当 \(P\) 位于最低点时取得，但是还是要写一下过程的。
再次利用结论得 \(P\) 点坐标，然后由 \(P\) 点在圆上的一个方程 \(\left( \dfrac {x_1+x_2} 2 \right)^2 + \left( \dfrac {x_1x_2} 4 + 4 \right)^2 = 1\)，可以直接用 \(x_2\) 表示 \(x_1\) 然后带入 \(|x_1-x_2|\)，然后直接写最值即可（不需要真的去求），这样有一点点缺陷，就是如果人类直觉看不出来，那直接无脑用 \(x_2\) 表示 \(x_1\) 会得到一坨式子，是很难求最值的。
所以就有一些观察，注意到元方程中的未知量一个是 \(x_1+x_2\)，另一个是 \(x_1x_2\)，而要求的是 \(x_1-x_2\)，这三个东西正好能构成一个式子：\((x_1+x_2)^2 - (x_1-x_2)^2 = x_1x_2\)。！于是直接换元，比如说把 \((x_1+x_2)^2\) 换成 \((x_1-x_2)^2 + 4x_1x_2\)，代入原方程就得到了一个关于 \(x_1-x_2\) 和 \(x_1x_2\) 的方程，而 \(x_1x_2\) 包含在 \(P\) 点 \(y\) 坐标内，可以由图直接得到取值范围，于是简单化简一下就可以得到 \((x_1-x_2)^2\) 的取值范围了。做完了。

第二问①：常规思路，设 \(l_{AB}\)，联立设点坐标韦达定理翻译垂直，但是发现，联立之后得到的式子 \(x^2-kx-3=0\) 直接就可以求 \(x_1 \cdot x_2 = \frac {-3} 1\) 呀！就做完了甚至不用翻译！？
第二问②：直接用面积公式吗？可以，也能算，但注意到两个三角形有一条公共边，所以不如直接转化为点 \(P,Q\) 到直线距离之比。然后是常规的联立韦达定理翻译并结合函数求最值。这里要注意一点，就是 \(k\) 是可以取到 \(\R\) 的，简单证明一下，只要将垂直得到的条件（\(m=k+2\)）代入联立得到的方程，满足 \(\Delta > 0\) 在 \(k \in \R\) 时恒成立即可。

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然后发现又 2.5w 字符了，卡没了，一些进阶的东西再开一个吧。