三角形复习

三角恒等变换

跟着 cdq 学的，几乎没怎么讲，就让做很难很难的题。学的一坨。

基本公式

（图片来自 BV1Ke4y1Z71Z）（注意图片中的升次公式，很好用）

还有万能公式（令 \(t = \tan \dfrac \theta 2\)）（不是很常用）：

\[\sin \theta = \frac {2t} {1+t^2} \\ \cos \theta = \frac {1+t^2} {1-t^2} \\ \tan \theta = \frac {2t} {1-t^2} \]

技巧

三角恒等变换公式太多不会用？看这儿！|神奇小猪

• 次数转化

次数统一：例如一个分数，上下次数不统一，需要考虑能不能化为统一的。

需要降次。常用公式：

1. 零次 \(\longleftrightarrow\) 二次

   \[1 = \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha \]

2. 一次 \(\longleftrightarrow\) 二次

   \[\cos 2\alpha = 2 \cos^2 \alpha - 1 = 1 - 2 \sin^2 \alpha \]

   升幂降角：

   \[1 + \cos 2\alpha = 2 \cos^2 \alpha \\ 1 - \cos 2\alpha = 2 \sin^2 \alpha \]

   降幂升角：

   \[\cos^2 \alpha = \frac {1+ \cos 2\alpha} 2 \\ \sin^2 \alpha = \frac {1-\cos 2\alpha} 2 \]

次数转化往往伴随着角的转化。

\(\color{#66CCFF} \bullet\) trick #1：

\[(\sin \theta \pm \cos \theta)^2 = 1 \pm \sin 2\theta \\ 2 \cos^2 \theta = 1 + \cos 2 \theta \\ 2 \sin^2 \theta = 1 - \cos 2 \theta \]

\(\color{#FFBED6} \bullet\) 例题 #1：已知 \(\tan \theta = -2\)，求：

\[\frac {\sin \theta (1+\sin 2\theta)} {\sin \theta + \cos \theta} \]

1. 运用 trick #1（或把 \(1\) 和 \(\sin 2\theta\) 都拆成二次），得到：

   \[\begin{aligned} 原式 & = \frac {\sin \theta (\sin \theta + \cos \theta)^2} {\sin \theta + \cos \theta} \\ & = \sin \theta (\sin \theta + \cos \theta) \\ & = \sin^2 \theta + \sin \theta \cos \theta \end{aligned} \]

2. 为齐二次式。注意到给定的是 \(\tan \theta\)，常用套路是凑成分式，再上下同除若干个 \(\cos \theta\)。继续用套路，因为原式为二次，所以可以除以一个 \(1\)，运用零次到二次的转化，得到：

   \[\begin{aligned} 原式 & = \frac {\sin^2 \theta + \sin \theta \cos \theta} 1 \\ & = \frac {\sin^2 \theta + \sin \theta \cos \theta} {\sin^2 \theta + \cos^2 \theta} \\ & = \frac {\tan^2 \theta + \tan \theta} {\tan^2 \theta + 1} \\ & = \frac 2 5 \end{aligned} \]

\(\color{#FFBED6} \bullet\) 例题 #2：已知：

\[2 \cos^2 \frac {A-B} 2 + 5 \sin^2 \frac {A+B} 2 = 4 \]

求 \(\tan A \tan B\)。

1. 显然要化简给定式。一大坨式子，角度非常不好看，且为二次，由此想到降幂升角，直接套公式得到：

   \[\begin{aligned} 3 \cdot \frac {1- \cos(A-B)} 2 + 5 \cdot \frac {1- \cos{A+B}} 2 &= 4 \\ 3 \cos(A-B) &= 5 \cos(A+B) \end{aligned} \]

2. 所求为 \(\tan\) 的积，大概率要通过 \(\sin\) 的积比 \(\cos\) 的积得到，而且所求的 \(A,B\) 两角是分开的。因此想到使用两角和差公式：

   \[\begin{aligned} 3 \cos A \cos B + 3 \sin A \sin B &= 5 \cos A \cos B - 5 \sin A \sin B \\ \frac {\sin A \sin B} {\cos A \cos B} &= \frac 2 8 \\ \tan A \tan B &= \frac 1 4 \end{aligned} \]

• 角度转化

\(\color{#FFBED6} \bullet\) 例题 #3：已知：\(\cos \alpha = \frac 1 2\)，\(\cos(\beta - \alpha) = \frac {\sqrt 3} 3\)，且 \(0<\beta<\alpha<\pi\)，求 \(\cos \beta\)。

不用展开！因为 \(\alpha + (\beta - \alpha) = \beta\)，所以直接两角和公式即可。

• 看特征，选公式

全都是经验结论啊！啊！

1. \(\tan \alpha\)：化为 \(\dfrac {\sin \alpha} {\cos \alpha}\)。

2. \(A \sin \alpha + B \cos \alpha\)：思路一辅助角公式，思路二联立 \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\) 解 \(\sin \alpha,\cos \alpha\)，视情况选择（上图中选择思路二）。

3. 不同角的三角函数值之积：向两角和差公式方向靠拢，或用积化和差、和差化积。

4. \(\sin \alpha \pm \cos \alpha\) 与 \(1 \pm \sin 2\alpha\)：见 trick #1，两者可以直接产生关系。

   \[(\sin \theta \pm \cos \theta)^2 = 1 \pm \sin 2\theta \]

5. \(1 \pm \cos 2\alpha\)：升幂降角。

   \[1 + \cos 2\alpha = 2 \cos^2 \alpha \\ 1 - \cos 2\alpha = 2 \sin^2 \alpha \]

6. \(\cos^2 \alpha , \sin^2 \alpha\)：降幂升角。

   \[\cos^2 \alpha = \frac {1+ \cos 2\alpha} 2 \\ \sin^2 \alpha = \frac {1-\cos 2\alpha} 2 \]

• \(\cos 2\alpha\) 的三个公式如何选择？

1. \(\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha\)：用于齐次化。
2. \(2 \cos^2 \alpha - 1 , 1 - 2 \sin^2 \alpha\)：转化为单变量。

\(\color{#FFBED6} \bullet\) 例题 #4：已知：

\[3 \cos 2\alpha = 2 \sin \left( \frac \pi 4 - \alpha \right) \]

求 \(\sin \alpha\)。

1. 如何选择呢？不妨先把右边拆开，因为显然是要拆的。

   \[3 \cos 2\alpha = \sqrt 2 (\cos \alpha - \sin \alpha) \]

2. 于是就显然了，因为 \(\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha\) 可以拆一个平方差公式，所以可以约掉 \(\sin \alpha - \cos \alpha\)（假设题目中已知这个东西不为 \(0\)）。

   \[\begin{aligned} 3 (\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha) &= \sqrt 2 (\cos \alpha - \sin \alpha) \\ 3 (\cos \alpha + \sin \alpha) (\cos \alpha - \sin \alpha &= \sqrt 2 (\cos \alpha - \sin \alpha \\ \cos \alpha + \sin \alpha = \frac {\sqrt 2} 3 \end{aligned} \]

3. 然后直接联立 \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\) 求即可。

一些题

三角恒等变换，三大思想搞定！【高考复习】小姚老师

无论什么三角恒等变换题，都要往角度统一、名称统一、次数统一三个角度去思考。

• 角度统一思想，经常与换元相结合。

求：

\[\sin (\theta +75\degree) + \cos (\theta + 45\degree) - \sqrt 3 \cos (\theta +15\degree) \]

0. 不要展开！

1. 角度统一，把 \(75\degree\) 和 \(15\degree\) 都变成 \(45\degree\)，设 \(\alpha = \theta + 45\degree\)，化为：

   \[\begin{aligned} 原式 &= \sin(\alpha + 30\degree) + \cos \alpha - \sqrt 3 \cos(\alpha + 30\degree) \\ &= \frac {\sqrt 3} 2 \sin \alpha + \frac 1 2 \cos \alpha + \cos \alpha - \sqrt 3 \left( \frac {\sqrt 3} 2 \cos \alpha + \frac 1 2 \sin \alpha \right) \\ &= 0 \end{aligned} \]

• 具体角度的化简求值；角度名称次数都不统一。

求：

\[\frac {1 + \cos 20\degree} {2 \sin 20\degree} - \sin 10\degree \left( \frac 1 {\tan 5\degree} - \tan 5\degree \right) \]

1. 注意到 \(1 + \cos\)，先考虑升次公式，同时容易想到把下面也用二倍角公式拆了，左边化为：

   \[左边 = \frac {2 \cos^2 10\degree} {2 \sin 20\degree} = \frac {2 \cos^2 10\degree} {4 \sin 10\degree \cos 10\degree} = \frac {\cos 10\degree} {2\sin 10\degree} \]

2. 右边有 \(\tan\)，注意到这个式子显然不想让我们用 \(\tan\) 来做，所以化切为弦，化为：

   \[右边 = \sin 10\degree \left( \frac {\cos 5\degree} {\sin 5\degree} - \frac {\sin 5\degree} {\cos 5\degree} \right) = \sin 10\degree \left( \frac {\cos^2 5\degree - \sin^2 5\degree} {\sin 5\degree \cos 5\degree} \right) = \sin 10\degree \frac {\cos 10\degree} {\sin 10\degree} = \cos 10\degree \]

3. 现在得到：

   \[原式 = \frac {\cos 10\degree} {2 \sin 10\degree} - 2 \cos 10\degree \]

   还得继续化简，此时只能考虑通分了，可以得到：

   \[\begin{aligned} 原式 &= \frac {\cos 10\degree - 4 \sin 10\degree \cos 10\degree} {2 \sin 10\degree} \\ &= \frac {\cos 10\degree - 2 \sin 20\degree} {2 \sin 10\degree} \end{aligned} \]

4. 我们似乎发现，这时候角度统一和次数统一产生了矛盾，怎么办呢？注意到我们要求的是具体角啊！这个奆的优势还没用上呢！往两个不统一的角度的和与差上考虑一下，可以注意到 \(20\degree = 30\degree - 10\degree\)，而 \(30\degree\) 的三角函数值是已知的，所以就可以把 \(20\degree\) 拆成 \(30\degree - 10\degree\)，就可以同时做到角度统一和次数统一了：

   \[\begin{aligned} 原式 &= \frac {\cos 10\degree - 2 \sin (30\degree - 10\degree)} {2 \sin 10\degree} \\ &= \frac {\cos 10\degree - 2 \cdot ( \frac 1 2 \cos 10\degree - \frac {\sqrt 3} 2 \sin 10\degree )} {2 \sin 10\degree} \\ &= \frac {\sqrt 3} 2 \end{aligned} \]

\(\omega\) 取值范围

整体法！如果题目中给的是 \(f(x) = \sin (\omega x + \varphi)\)，我们可以设 \(t = \omega x + \varphi\)，然后已知条件由 \(x\) 的取值范围转化为 \(t\) 的取值范围，再由 \(t\) 取值范围的两个端点的取值范围列不等式，即可解得 \(\omega\) 的取值范围。

例题：

1. 令 \(t = \omega x + \frac \pi 3\)，然后画出 \(y = \sin t\) 的图像。
2. 由 \(x\) 的取值范围得 \(t\) 的取值范围。带入给定区间的两个端点，得到 \(t \in (\frac \pi 3 , \frac \pi 3 + \omega \pi)\)。
3. 通过分析 \(t\) 的两个端点的取值范围，得到一个不等式。本题中左端点固定不用管，右端点显然只能在 \((\frac {5 \pi} 2 , 3 \pi]\) 区间内，于是得到不等式：\(\frac {5 \pi} 2 < \frac \pi 3 + \omega \pi \le 3 \pi\)，即可解 \(\omega\) 的取值范围。

其他

敏锐地注意到直角，或用于速算 \(\sin,\cos\)：\(3,4,5 \quad 5,12,13 \quad 7,24,25\)。