解析几何基础
解析几何
画图尽量画标准一些，有利于找几何关系。这真的很重要！
直线
基础
定义：
- 倾斜角：\(\alpha \in [0,\pi)\)，即直线上半部分和 \(x\) 轴正方向的夹角。
- 斜率：\(\tan \alpha\)，注意 \(\alpha = 90 \degree\) 的直线没有斜率。
对于直线 \(y=kx+b\)，斜率为 \(k\)。
对于直线 \(Ax+By+C=0\)，斜率为 \(-\frac A B\)。
几个易错点（判断）：
- 直线的倾斜角为 \(\alpha\)，则 \(\sin \alpha > 0\)。❌错误。因为 \(\alpha\) 可以为 \(0 \degree\)。
- 斜率相等的两直线倾斜角一定相等。✅正确。
- 若直线的倾斜角为 \(\alpha\)，则此直线的斜率必为 \(\tan \alpha\)。❌错误。因为倾斜角为 \(90 \degree\) 的直线没有斜率。
- 若直线的斜率为 \(\tan \alpha\)，则直线的倾斜角必为 \(\alpha\)。❌错误。因为没有限定 \(\alpha\) 的范围，如当斜率为 \(\tan 405 \degree = 1\) 时，斜率不为 \(405 \degree\)。
直线不一定有斜率所以无论啥题都要特殊考虑一下。直线不一定有斜率所以无论啥题都要特殊考虑一下。直线不一定有斜率所以无论啥题都要特殊考虑一下。直线不一定有斜率所以无论啥题都要特殊考虑一下。直线不一定有斜率所以无论啥题都要特殊考虑一下。
基础题
下面是一些常见考点。
上图：注意平行垂直时必须必须考虑 \(k\) 是否存在。
求直线、直线的方程
据说解析几何求直线曲线之类的，一个核心思路就是设，设图形上任意一点坐标为 \((x,y)\)，那么 \(x,y\) 之间满足的关系就是图形的解析式。
下图：已知一点和斜率一定能求出唯一直线。
- 然后是直线的五种方程：
-
一般式
\[Ax+By+C=0 \] -
点斜式
\[y-y_0 = k(x-x_0) \] -
两点式
\[y-y_1 = \frac {y_1-y_2} {x_1-x_2} (x-x_1) \] -
斜截式
\[y=kx+b \] -
截距式
\[\frac x a + \frac y b = 1 \]
交点和距离
下图：对于直线一般式 \(Ax+By+C=0\)，向量 \((A,B)\) 是该直线的一个法向量。
下图：点 \((x_0,y_0)\) 到直线 \(Ax+By+C=0\) 距离公式：
下图：解析几何选填，如果可以把图画出来，用几何法一般会比代数法简单很多。
下面第一题中另一个 trick：当直线中 \(x,y\) 中，有且仅有一个前面有不确定的参数时，考虑能不能给 \(x\)（或 \(y\)）赋值消掉这个参数，然后得到这条直线必过某一点，方向任意。
下图：平行线 \(Ax+By+C_1=0\) 和 \(Ax+By+C_2=0\) 间距离：
圆
圆的标准方程
- 圆的标准方程：
- 点和圆的位置关系：
- 圆上点的最值问题：穿心！
一个可能会有用的思想：在圆中的问题，连辅助线考虑连半径。
注意：求 \(r\) 要对 \(r^2\) 开根号！求 \(r\) 要对 \(r^2\) 开根号！求 \(r\) 要对 \(r^2\) 开根号！求 \(r\) 要对 \(r^2\) 开根号！求 \(r\) 要对 \(r^2\) 开根号！
圆的一般方程
- 圆的一般方程，就是把标准方程拆开化简一下：
- 由一般方程反推标准方程（配方）：
本质就是给 \(x^2\) 和 \(y^2\) 配个方，剩下的都塞到 \(r\) 里面。公式不用记，会配方就行。
- 一般方程圆心坐标：\((- \frac D 2 , - \frac E 2)\)。半径：\(\frac 1 2 \sqrt {D^2+E^2-4F}\)。
同样，半径公式可记可不记，直接配方也不慢。
注（下图）：写成标准方程形式的不一定表示一个圆
-
判断是否是一个圆？
- \(x^2,y^2\) 前面系数必须相同，不过不必须全为 \(1\)。
- 半径 \(r = \frac 1 2 \sqrt {D^2+E^2-4F} > 0\)。
-
给定三点求一般方程
-
几何法：画垂直平分线。
-
代数法：设一般式，联立三个方程。
-
-
点和圆位置关系：
和标准方程类似，对于点 \(P(x_0,y_0)\) 有：
- 点在圆外：\(x_0^2 + y_0^2 + Dx + Ey + F > 0\)
- 点在圆上：\(x_0^2 + y_0^2 + Dx + Ey + F = 0\)
- 点在圆内：\(x_0^2 + y_0^2 + Dx + Ey + F < 0\)
注意：求某参数取值范围时，必须满足是一个圆，即 \(x^2,y^2\) 前面系数相同 和 半径 \(r = \frac 1 2 \sqrt {D^2+E^2-4F} > 0\)。
-
圆上点的最值问题：一样，还是穿心！
直线和圆
直线与圆的位置关系
-
下图是一个常用辅助线，结合点到直线距离、垂径定理、勾股定理很好用。
-
下图中，\(d\) 为圆心到直线距离。
- 弦长最值问题（过圆内点 \(P\) 的弦）
-
\(\max\)：过点 \(P\) 的直径
-
\(\min\)：垂直于这个直径
-
- 几个例题（大水题）
圆与圆的位置关系
- 下图中，\(d\) 为圆心距（即两个圆的圆心的距离）。
- 圆的公切线
求公切线方程（数形结合）：
-
法零：瞪眼法。
-
（不推荐）法一：设直线方程，根据直线和两个圆相切，列两个点到直线距离，两未知数两方程可以解，但是异常难解。
-
法二：连接两圆心得到一条直线 \(l\)，它是一个对称轴。
例如在下图中，除了 \(x=-1\) 以外，一条和 \(l\) 垂直，另一条和 \(l\) 以及 \(x=-1\) 有公共交点；于是求这两条直线，分别只需要列一个点到直线距离就可以了，单未知数单方程很好解。
- 公共弦（我不知道他在哪里讲了）
最值问题
- 一些基础模型：
- 有时候可以和将军饮马问题结合：
- 有时候和向量结合。
若出现圆上两个动点，但弦长为定值，则通常要作弦的中点，并连接中点和圆心，得到的线段长度为定值。于是可以得到中点在一个小圆上运动。
下图中第一个题结合分点恒等式（不过是中点的特殊情况），第二个题结合三角形中的极化恒等式。
数形结合
用于解决部分代数式的取值范围问题。
思路：把给定的式子和要求最值的式子转化成坐标系上的几何图形。
若给定式子为圆，所求式子的类型：
-
截距型
\[Ax + By \]思路：直接设这个式子 \(=m\)，然后就转化成了一条斜率一定的直线在乱动，找到这条直线和圆相切的两个点，列一个点到直线距离即可。
-
斜率型
\[\frac {Ax+By+C} {Dx+Ey+F} \]思路：
-
法一：当 \(E=0\) 时，将分子中 \(x\) 提出来，转化成 \(\displaystyle\frac {y+M} {x+N}\) 的形式，设这个东西为 \(k\)，得到点斜式直线，于是这条直线过一个定点，方向乱动，那过这个定点作两条圆的切线就是取值范围，列一个点到直线距离求就行。
若 \(E \ne 0\)，大概率不能做。
-
法二：还是直接设这个式子 \(=m\)，转化成一条一般式直线，显然可以得到一个定点，后面就和法一一样了。此时 \(E\) 是否 \(=0\) 无关紧要。
-
-
距离型
\[|Ax+By+C| \]思路：先把这个式子除以 \(\sqrt {A^2+B^2}\)，变成点到直线距离的形式，那么可以得到这条直线的方程就是 \(Ax+By+C=0\)，于是就转化成了圆上一点到直线的距离的最值问题，直接穿心即可。
（最后别忘了把 \(\sqrt {A^2+B^2}\) 乘回去）
圆的参数方程
也叫三角换元。
也就是说，任意一个圆 \((x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2\) 都可以表示为 \((r \cos \alpha)^2 + (r \sin \alpha)^2 = r^2\) 的形式，此时 \(x,y\) 就可以用同一个变量 \(\alpha\) 来表示了，有时候会非常方便。
例题：
下面这个题，两种解法：
-
法一：用参数方程，经过一番处理得到所求斜率 \(\displaystyle k = \frac {\sin \alpha} {\cos \alpha - \frac 7 2}\)，可以用三角函数转化成函数问题求最值，也可以看做上一个小标题「数形结合」中的斜率型，再画一个圆来求。
-
法二（上图左下角）：纯几何法，根据三等分点，做相似三角形，然后就转化成了圆外定点到圆上动点的一条直线，求斜率极值。
挺厉害的。
圆的切线
- 圆外点的切线：直接列点斜式，然后再列一个点（圆心）到直线距离即可。
- 圆上点的切线：改写法则
推导的话，直接由切线得垂直得斜率，然后列点斜式即可。
不过推导不重要，太麻烦了，不如直接背结论。结论的核心就是一个改写法则，把所有带 \(x\) 或 \(y\) 的都感性均分一下，一半作为直线方程中的 \(x,y\)，一半代入切点的坐标。即 \(x^2 \to x_0 x\)，\(x \to \frac {x_0+x} 2\)。
结论：
-
圆的一般式 \(x^2+y^2+Ax+By+C=0\) 上过点 \(P(x_0,y_0)\) 的切线方程为：
\[x_0 x + y_0 y + A \cdot \frac {x_0+x} 2 + B \cdot \frac {y_0+y} 2 + C = 0 \] -
圆的标准式 \((x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2\) 上过点 \(P(x_0,y_0)\) 的切线方程为：
\[(x_0-a) (x-a) + (y_0-b) (y-b) = r^2 \]
- 圆外点的切点弦：还是改写法则！
你看啊，当圆外点无限接近圆的的时候，那切点弦不就是圆上点的切线了吗！所以还是改写法则很合理啊。？
Proof. 好厉害。设出两个切点，然后由圆上点的切线得到两条切线的方程，再把点 \(P\) 代入，发现得到两个非常好看的式子，观察一下发现这两个式子正好是能确定一条直线，而这条直线就是切点弦。具体证明见视频或图吧，反正证明不是必会。
然后是一些经典模型：
- 例题
第一题是注意到求的就是筝形的面积的两倍（小猪老师的）；或者注意到乘积式的两项在同一点取到最小值（我的）；或者实在不会根据对称性直接蒙（人类直觉的）。
第二题直接画图用瞪眼法可能会漏情况，不推荐；正解是注意到矩形，然后由边长为圆的半径求出点到直线距离，列个方程解直线解析式。
- 又一个例题：不是这也太难想到了吧！
A：送分。
B：设 \(P(m,-m-1)\)，用切点弦公式表示一下直线 \(AB\)，即可得过哪一定点。
C：根据人类直觉垂直时 \(PM\) 最短，然后用 \(dis(C,l)\) 减去 \(dis(C,AB)\) 距离就是 \(PM\)。
C（不推荐）：或者用正经方法，和之前的三个结论一样设出 \(\angle APC = \alpha\)，在 \({\rm Rt} \triangle PAC\) 和 \({\rm Rt} \triangle AMC\) 中把 \(PM\) 表示出来，转化成函数极值问题，也能得到 \(\alpha_{\max}\) 时（即垂直时）\(PM\) 最短；此时因为 \(PM\) 已经表示出来了所以就好算了。
D：不是人能想到的。
先化简一下得到 \((x_1-1)(x_2-1) + (y_1-1)(y_2-1) < 0\)，然后注意到这就是两个向量的数量积，那它 \(<0\) 就是夹角为钝角。
进而发现这两个向量就是 \(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB}\)，发现夹角就是 \(\angle APB\) 的补角，那么就只需证 \(\angle APB < 90 \degree\)，只需证 \(\alpha < 45 \degree\)，只需证 \(\alpha_{\max} < 45 \degree\)，即垂直时 \(\alpha < 45 \degree\)。
然后还得用到 C 选项中画的那个直角三角形，随便用个直角求一下 \(\sin \alpha\) 即可，算出来是 \(2/3\)，于是 D 就对了。
隐圆问题
- 基础模型
- 被特别强调的阿氏圆（定长定比模型）：在三角形中，一边 \(AB\) 长度固定，另两边 \(PA,PB\) 比例固定，则 \(P\) 在一个圆上。
找法：首先圆心一定在直线 \(AB\) 上；其次只需要按照比例关系找到 \(P\) 在直线 \(AB\) 上时的两个点，连接一下就是圆的直径。
标准证法是建平面系，把 \(PA,PB\) 表示出来代入比例式再化简得到圆的方程。
注：虽然图中比例为 \(2\)，但实际上比例是多少都可以。
然后还能得到一个重要的相似关系，如图连接 \(PG\)，得到 \(\triangle PGA \sim \triangle BGP\)（图里写错了），相似比即为阿氏圆模型中的线段比 \(\frac {|PA|} {|PB|}\)。
这个相似会出难题，就是阿氏圆的逆向思维，就是用相似中的小三角形去自己构造大三角形。
如下图第二题，就是注意到 \(|MA|\) 前的系数 \(\sqrt 3\) 就是圆的半径，然后连接 \(OM\) 得到小三角形 \(\triangle AOM\)，再画出大三角形的。
这种题核心的一个辅助线：连接圆心和圆上一点，得到相似！
-
法一（阿氏圆！）：就是连接 \(MO,NO\)，分别得到 \(\triangle BOM \sim \triangle MOA\) 和 \(\triangle BON \sim \triangle NOA\)。思维量较大但计算量几乎没有。
-
法二（参数方程）：有圆就可以参数方程，转化为三角函数问题（代数问题）求解。计算量较大但思维量几乎没有。
说实话简便方法还是得注意力惊人。。。
- 根式与圆
当给定一个二元根式，根式里面有 \(x^2\) 或 \(y^2\)，根式外面全为一次，的时候，考虑平方一下得到一个圆的方程。不过注意根号 \(\ge 0\) 的限制条件，所以最终图像应该是圆的一部分。
啊啊啊这一坨圆终于学完了。不幸的是后面更难。
椭圆
基础
- 椭圆就是到两个定点距离之和相等的点组成集合。
定义：
-
焦点：椭圆上任意一点到两个焦点 \(F_1,F_2\) 的距离之和相等，等于长轴长度 \(2a\)。即：
\[|PF_1| + |PF_2| = 2a \]两个焦点关于椭圆圆心对称，且位于长轴上。
-
长轴：椭圆较长的对称轴，通常令长度为 \(2a\)。
-
短轴：椭圆较短的对称轴，通常令长度为 \(2b\)。
-
焦距：两个焦点之间的距离，通常令其长度为 \(2c\)。
标准方程：
\(a,b,c\) 之间满足关系（假设 \(2a\) 为长轴）：
即长轴一半的平方 等于 短轴一半的平方 加 焦距一半的平方。
所以给定标准方程，\(a,b,c\) 就都知道了。
下图是一个特殊三角形，可以显示出 \(a,b,c\) 的关系。
注意：标准方程的焦点可能在 \(x\) 轴上，也可能在 \(y\) 轴上，即 \(x^2\) 除的可能是 \(a^2\) 也可能是 \(b^2\)，判断方法是 \(x^2,y^2\) 除的数较大的那个是 \(a^2\)，另一个是 \(b^2\)。
- 离心率 \(e\)
当 \(e \to 1\) 时，椭圆变得很扁；当 \(e \to 0\) 时，椭圆变得很圆。
计算不确定椭圆离心率：一是正规思路，通过推式子找 \(a,c\) 关系（消掉式子中的 \(b\)）；二是代一个特殊值，即随便找一个符合题意的椭圆，通过计算找 \(a,c\) 分别是多少。
求离心率 = 找关于 \(a,b,c\) 的等式。
基础题型
-
定义是一个很关键的东西，非常常用（定义即 \(PF_1+PF_2=2a\)）。
-
出现椭圆，一定要把两个焦点都做出来。然后如果给定椭圆上一点，一定要把这个点和两个焦点都连起来。
- 椭圆中解三角形
找到一些关系之后，直接转化为解三角形问题。
- 暴力计算
一个 trick：注意到椭圆的方程是一个完美的二元二次式，所以可以三角换元！
即，在椭圆 \(\frac {x^2} {a^2} + \frac {y^2} {b^2} = 1\) 中，设 \(\frac x a = \cos \alpha , \frac y b = \sin \alpha\)，那么设点的坐标的时候就可以只包含 \(\alpha\) 这一个变量了。
Tip：当 \(\theta \in \R\) 时，\(a \cos \theta + b \sin \theta\) 的取值范围为 \([- \sqrt {a^2+b^2} , \sqrt {a^2+b^2}]\)。
离心率相关
两个焦点必须都和椭圆上点连起来！！！
数形结合很重要。
但是我觉得重点在于翻译条件，如何把已知翻译成能用的条件才是最重要的。
- 求离心率
这东西有时候非常需要注意力。
解单个三角形的时候还好办，有时候暴力算也是可以的，不过还是推荐使用注意力。
例如下面这个图右边那个题，注意到左焦点和 \(P\) 的对称点连线只能过 \(y\) 轴就做完了。
但是这真注意不到啊 [流泪]
余弦贴贴非常好用。
注意不到的例题：
然后有时候实在不行，暴力计算也可以，顶多多求几条直线、多解几个三角形罢了。
- 离心率取值范围
一个创新题：法一是充分利用几何关系，法二是无脑建系。
然后另一部分就是暴力计算了，没什么可用的距离小结论。
例题：
注：这种暴力计算题，很可能最终会得到一个很长的二次函数，需要求一些东西，这时候可以先考虑下能不能因式分解！然后也可以结合图形观察一下能不能确定二次函数某个点。
大题
- 判断直线和椭圆位置关系：联立直线和椭圆方程（难算但没办法）。
- 题型：
- 求参数取值范围
- 证明某某是定值
- 求某某面积最值
- 求线段长度最值（弦长最值）
- 求动点轨迹方程
- 证明动直线过定点（并求定点坐标）
- 证明定点在动直线上
为啥全是七个字
套路：看图 \(\to\) 联立得韦达定理 \(\to\) 翻译条件设变量（但不求）\(\to\) 消元 \(\to\) 化简与计算
韦达定理非常伟大。
- 求参数取值范围
翻译条件，然后转化为方程与函数问题。
- 证明某某是定值
核心思想：设而不求
把需要用到的点坐标或者什么东西设出来，但是不求。在把要证的式子写出来之后，通过变量之间的关系不断消元。
例如上面这个题，过程如下：
-
设出来交点坐标 \((x_1,y_1) , (x_2,y_2)\)，并表示出 \(k_1 \cdot k_2\)，其中有四个变量，考虑找找关系。
\[k_1 \cdot k_2 = \frac {y_1-\sqrt 2} {x_1} \cdot \frac {y_2-\sqrt 2} {x_2} \] -
通过联立直线与椭圆方程得到关于 \(x\) 的一元二次方程，那么 \(x_1,x_2\) 就是这个方程的两个根，可以通过韦达定理求得 \(x_1,x_2\) 关系。
-
既然已知 \(x_1,x_2\) 关系，那么就尽量把 \(y_1,y_2\) 消掉。发现点在直线上，所以 \(y_1,y_2\) 可以用 \(x_1,x_2\) 表示。
-
于是就可以化简 \(k_1 \cdot k_2\) 的表达式了，最终得到一个仅包含 \(x_1 x_2 , x_1 + x_2\) 的式子，就可以把韦达定理代进去了。
- 求某某面积最值
一个常用结论：当 \(x_1,x_2\) 是方程 \(Ax^2+Bx+C=0\) 的两个根时，有：
其中 \(\Delta = B^2-4AC\)。
重点在于翻译条件，比如说面积有时候直接底乘高很难算，可以考虑用割补法、向量叉积（尽量别用叉积，大概率会扣步骤分）等。
然后经常会得到一个 根号下一大坨 比 一大坨 的东西，此时要分析一下分子分母的次数：
-
若为一次比二次，将分子换元为 \(t\)，用 \(t\) 表示分母（即分母对分子做大除法），转化为分母上的二次函数 / 对号函数的最值问题。
-
若为二次比一次，直接分子对分母做大除法即可。
-
若为二次比二次，先做一步分子对分母的大除法，把分子中的二次项提出来变成常数，转化成一次比二次问题。
例如下一部分「求线段长度最值」的那个式子。
注意有时候为了方便给所求的东西平方之后，最后一定要开根号开回来！！
- 求线段长度最值（弦长最值）
思路同上。翻译条件就是设点坐标然后直接表示两点距离。
注意如果题目中出现直线的斜率为某某，隐含条件是直线的斜率必须存在！！！！！！！！！！！
- 求动点轨迹方程（开始难度上升）
求动点 \(P(x_0,y_0)\) 轨迹其实就是求 \(x_0,y_0\) 之间关系式。
思路：看图写出 \(x_0,y_0\) 满足什么条件，例如在直线上、在椭圆上、到定点距离等等。最终化为仅包含 \(x_0,y_0\) 的式子。
比较灵活，所以也比较难。
还有一个要点也是难点，就是求出轨迹方程之后，不一定方程中每个点都能取到，需要把轨迹画出来并判断到底有哪些点能取到。
- 证明动直线过定点（并求定点坐标）
常用套路：先猜后证！经常是利用对称性来猜。
先通过画图猜测定点是什么，然后再设点坐标得直线方程，并努力想猜测的定点方向靠拢。例如当定点是和 \(y\) 轴交点的时候，就直接令直线方程中 \(x=0\)，然后试图证明此时 \(y\) 为定值。
经上图，可以猜测直线过 \(y\) 轴上一定点。
- 证明动点在定直线上（高考标准难度，很难）
依然是先猜后证。
经上图，可以猜测点在与 \(x\) 轴平行的一条直线上。于是就转化成了求点 \(H\) 的坐标问题！
于是在联立直线方程求 \(H\) 坐标时，并不能为了方便消掉 \(y_H\)，而应想尽一切办法消掉 \(x_H\)。自然想到把两个方程移项，然后相除。
经过一番化简计算，得到了一个这样的式子：
注意：左边并不需要继续拆开，因为既然 \(y\) 是定值，那么左边一定是定值，于是只需要判断右边是定值即可。
但是发现后面的 \(x_1,x_2\) 没法用韦达定理啊！怎么办呢？（注：这是一个很常见的问题）
- 法一：强行代
先把能韦达定理的都韦达定理掉，剩下的硬解，求根公式解出 \(x_1,x_2\) 再代入。
实际上这个方法并不是很难算，因为需要硬解的基本上都只剩一次项了。
然后这个方法还有一个小技巧，就是并不必须去化简那个带变量的式子。因为既然我们都知道了这个式子是个定值，那么直接代一个特殊值就可以了（例如上图中令 \(k=1\)），就可以省掉化简过程，直接得到结果，并且答题卡上只体现原式和结果。
- 法二（推荐！）：找 \(x_1 x_2\) 和 \(x_1\) 与 \(x_2\) 的关系。
两个韦达定理的式子相除，即可得到 \(x_1x_2\) 与 \(x_1+x_2\) 的倍数关系，然后把原式中的 \(x_1x_2\) 替换为 \(x_1+x_2\) 即可（或者说化为齐次式）。
最终得到式子：
这真的是定值吗？是的！因为只需要满足上下 \(x_1,x_2\) 前系数比相等即可。即：
显然成立。就是平方差公式。
终于用 3h 看完这 1h 的视频了。。
双曲线
基础
- 双曲线就是到两个定点距离之差相等的点组成集合。
定义：
-
焦点：双曲线上任意一点 \(P\) 到两个焦点 \(F_1,F_2\) 的距离之差相等，等于 \(2a\)。即：
\[||PF_1|-|PF_2|| = 2a \]且当 \(P\) 在右支上时 \(PF_1-PF_2=2a\)，在左支上时 \(PF_2-PF_1=2a\)，这就引发了一些分讨。
-
焦距：两个焦点之间的距离，为 \(2c\)。
-
实轴：两支双曲线顶点间距离，为 \(2a\)。
-
虚轴：如上图，为 \(2b\)。不过根本不考。
标准方程：
满足关系：
两条渐近线：
焦点位置：标准方程中，\(x^2,y^2\) 谁前面的系数是正的，焦点就在哪个轴上。
Tip：如何快速画好一个双曲线？先画渐近线，然后再在渐近线两边描出来一对双曲线。
注：和椭圆不同，双曲线标准方程中的 \(a^2\) 一定在 \(x^2\) 底下，\(b^2\) 一定在 \(y^2\) 底下。也就是说 \(a,b\) 的相对大小和焦点位置无关；同时 \(c^2 = a^2 + b^2\) 也无法确定 \(a,b\) 相对大小。
区分椭圆和双曲线的标准方程：看中间的符号是正（椭圆）还是负（双曲线）。
- 常见坑点（距离差是绝对值、轨迹方程考虑取值范围）：
- 常考思路：定义 + 几何
第一题，先画一画发现似乎是双曲线，然后注意到 \(P\) 到 \(A,B\) 的距离之差正好是 \(4\)，就做完了。
第二题，主动连接 \(M\) 和另一个焦点 \(F’\)，可得 \(|MF|-|MF'|=2a\)，于是 \(|MF|=|MF'|+4\)，那么原式就转化为 \(|MF'|+|MN|+4\)，然后瞪眼即可。（和图中的思路有些出入）
- 离心率 \(e\)
和椭圆的定义一样，\(e=\frac c a\)，但是 \(e \in (1,+\infty)\)，因为 \(c>a\)。
等轴双曲线：\(e=\sqrt 2\) 的双曲线，满足 \(a=b\)。
离心率相同的双曲线不一定相同，但相似（等比例缩放），且渐近线相同。
常考思路还是 + 几何。瞪眼法发挥大作用了。我们要有敏锐的几何直觉。嗯对。
- 渐近线
若焦点在 \(x\) 轴上，两条渐近线为：
若焦点在 \(y\) 轴上，两条渐近线为：
速记：标准方程中 \(y\) 底下的字母比 \(x\) 底下的字母（注意开根号）。这很符合人类直觉。或者直接记在 \(x\) 轴上是反过来的，和直线斜率、莫反、二项式反演一样，都是反过来的。
或者，记这个推导（推荐）：在双曲线标准方程中，令式子右边的 \(1 \to 0\)，即为渐近线方程。
一个非常重要结论：
- 过焦点作渐近线垂线，与 \(x\) 轴所形成的三角形三边为 \(a,b,c\)。
- 渐近线倾斜角 \(\theta\) 满足 \(\sin \theta = \frac b c\)。
- 双曲线焦点到渐近线距离为 \(b\)。
数形结合
- 一个非常重要的思路：如果有在双曲线上的点，一定先连接这个点和两个焦点！
一个好题：
（补充）中线长定理：\(\triangle ABC\) 中，\(D\) 为 \(BC\) 中点，则 \(AB^2+AC^2=2(AD^2+BD^2)\)。
还有我余弦贴贴大法也很好用。
敏锐的注意中点等隐含条件！！！（多练）
这个题有两种方法，第一种就是常规思路余弦贴贴。
- 第二种是构造平行四边形，就是根据对称性做出另一半图形（一般得到一个平行四边形），在新的图形上找性质，有时候会好算一些。
这个题更厉害，最优解几乎不用计算。下面是依次升级的三种思路：
-
普通思路。把该连的都连起来，求出来一些长度，然后注意到 \(\angle PF_1F_2 +\angle QF_2F_1 = \pi\)，即余弦值之和为 \(0\)，可以列出来一个与 \(a,c\) 有关的式子，然后化简。
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构造平行四边形。注意到题目很神奇地给了一个平行，所以考虑画个平行四边形，延长 \(QF_2\) 交双曲线与点 \(P'\)，发现有一个很好看的三角形 \(\triangle QF_1P'\)，三边已知，且被 \(F_1F_2\) 切开，可以余弦贴贴。
注：为啥延长 \(QF_2\) 而不是 \(PF_1\)？因为它延长出来短，好看。
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我们注意力惊人。注意到 \(|QP'|:|F_1P'|:|QF_1| = 12:5:13\)，所以 \(\angle F_1P'Q\) 为直角，直接列勾股定理即可。
- 渐近线问题！
一个常用的几何性质是，两条渐近线是对称的，所以他们与坐标轴的夹角相等。也就是说得到了两组角，每组有 \(4\) 个两两相等的角。
第二个题注意：是 \(\overrightarrow{MN} = 3 \overrightarrow{MF}\)，注意方向！
上面这两个题，第一种方法就是硬算，因为渐近线是一条已知的直线，所以直接设点坐标，然后把条件翻译一下就可以了。但是一般是挺难算的。当然即使是硬算也可以结合一些几何性质，例如第二个题中，可以把条件转化为 \(2y_M = -y_N\) 会好算一些。
第二种方法就是几何法了。需要一些注意力。第一个题是注意到另一条渐近线就是 \(F_1B\) 的垂直平分线，得 \(\angle F_1OA = \angle AOB\)，然后再由对称性得 \(\angle F_1OA = \angle BOF_2\)，于是渐近线倾斜角为 \(60\degree\)。第二个由角平分线定理得到 \(\frac {|OM|} {|ON|} = \frac 1 2\)，加上直角得到 \(30\degree\) 角的直角三角形，即 \(\angle MON = 60\degree\)，然后由对称性得到倾斜角 \(\angle MOF = \angle NOF = 30\degree\)。
所以似乎这种题都可以往渐近线倾斜角上考虑。
补充：角平分线定理：在 \(\triangle ABC\) 中，若 \(AD\) 为角平分线（\(D \in BC\)），则 \(\frac {AB} {AC} = \frac {BD} {CD}\)。
- 暴力计算：尽量多一点几何与注意力，式子列的简单一点。
直线与双曲线的位置关系
一车分讨。
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上面这个题，代数法：
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斜率不存在（因为是过一个点），得到可行解：
\[x = \frac 1 2 \] -
斜率存在，设 \(k\)，联立直线和双曲线方程，得到 \((4-k^2)x^2 + (k^2-4k)x - (\frac 1 2 k^2-2k+5)=0\)。注意和椭圆不同，此时无法确定该方程的次数，因为二次项系数 \(\frac 1 {a^2} - \frac {k^2} {b^2}\) 不一定不为 \(0\)。
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是一次方程，那么二次项系数 \(4-k^2=0\)，解得 \(k=\pm 2\)。然后判断一下一次项系数是否为 \(0\)，发现不为 \(0\)，于是可以得到两个可行解：
\[y=2x+1 \\ y=-2x-3 \] -
是二次方程，此时需要 \(\Delta=0\)，可以解得 \(k = \frac 5 2\)，得到可行解：
\[y=\frac 5 2 x + \frac 3 4 \]
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几何法：画一个较为准确的图，考虑直线和双曲线右支相切、和左支相切、和两条渐近线分别平行，共 \(4\) 种情况。平行的情况可以得到斜率然后列点斜式，但是相切的情况则必须用代数方法计算。
- 总结：直线（过定点）与双曲线有一个（或多个）交点的求法
如果定点在双曲线内部，几何法更优，因为只需要考虑两个平行的情况。
如果定点在双曲线外部，代数法更优，因为几何法做不了相切的情况。
大题
依旧是看图 + 联立 + 翻译条件 + 韦达定理 + 计算，和椭圆大同小异。
第一问，求参数取值范围：
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有两个交点 \(\iff\) 联立后 $\Delta > 0 $ 且二次项系数不为 \(0\)。
联立结果为 \((2-k^2)x^2-2kx-2=0\)。
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指明在右支 \(\iff\) 两交点 \(x\) 坐标均为正 \(\iff\) 韦达定理 \(x_1 \cdot x_2 > 0\) 且 \(x_1 + x_2 > 0\)。
从几何的角度考虑，取值范围就是从相切到平行于渐近线。
第二问：
- 翻译条件：「以 \(AB\) 为直径的圆过点 \(C\)」，可以翻译为 \(AC \perp BC\)，即两向量数量积为 \(0\)。
- 然后设两点坐标（设而不求），表示数量积，就又是之前和椭圆一样的思路了，利用韦达定理，不断消元即可。
还有另一个题，这里没放。其中有一点没想到：就是题目中给了两个三角形的面积比值关系，但是这两个三角形比较不规则，面积不好表示。所以考虑转化为一个好表示的形式，然后就发现「点 \(B\) 关于点 \(O\) 的对称点 \(C\)」隐含了「\(O\) 为 \(BC\) 中点」这个条件，然后就转化为了两个贴贴的三角形，就好表示了。
结束啦……比椭圆难了那么一点点吧，不过问题不大！
抛物线
据说是最简单的一个圆锥曲线！好诶！
基础
- 抛物线就是到定点和定直线距离相等的所有点组成的集合。
定义（假设抛物线在 \(x\) 轴的正方向上）：
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焦点、准线：抛物线上点 \(P\) 到焦点和准线的距离相等。其中焦点坐标为 \((\frac p 2 , 0)\)，准线方程为 \(x=-\frac p 2\)。可知焦点到准线距离为 \(p\)。这个东西非常常考。
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标准方程：
\[y^2=2px \]注意：与椭圆和双曲线不同，抛物线焦点坐标和 \(x\) 前系数为 \(4\) 倍关系而不是 \(2\) 倍。
Tip：如何快速画好一个抛物线？先画准线和焦点，然后把 \(x=1\)（当 \(y\) 为一次时 \(y=1\)）带进去得到一个点，利用这个点去画。
如果方程未知呢？先画准线和焦点，然后从焦点往某个方向延伸，直到到了一个点满足这个点到准线和焦点的距离相等，然后再由这个点画出抛物线。
简单题：有时候用到抛物线上点 \(P\) 到准线距离，显然就等于 \(\frac p 2 + x_P\)。或者利用定义，等于 \(P\) 到焦点距离。
- 不同位置的抛物线：
速记：一次项是谁，焦点就在哪个轴上，正负也是一一对应的。
哦对了，画图尽量画标准一些，有利于找几何关系。
有时候代数法思路很一眼且不难算的时候，如果几何法不是很好找，可以直接考虑代数法。
即使在小题里面，也可以用到设而不求的思路，设出点坐标 \(P(x_0,y_0)\) 之后并不需要直接消元，而是等到最后式子都化完的时候再看看是否要消、消哪个。
二级结论
二次强调：定义非常重要。光考。！！！所以看到抛物线上的点必须和焦点、准线都连起来！
- 焦点弦的弦长
速记：坐标形式很好记，一眼就能推导出来。倾斜角形式就记 \(AF,BF\) 里面长的那个分母 \(<1\)，短的 \(>1\) 即可。然后这个公式非常符合人类直觉啊！
注意必须是焦点弦，即弦必须过焦点才能用这个结论。
- 焦点弦与原点围成的三角形的面积
你会发现这个和弦长公式惊人地相似，如何区分呢？用量纲！弦长的 \(p\) 为一次，面积的 \(p\) 为二次，那个系数 \(2\) 放在与分数线两侧中没有二次项的那一侧。就记住了。
- 焦点弦相关的两个相切（两个神奇小圆
madoka）
第一个是以 \(AB\) 为直径的圆和准线相切，第二个是以 \(AF\) 为直径的圆和 \(y\) 轴相切。
注意圆心为线段中点，有时候会有用。
- 中点弦
注意中点弦并不需要经过焦点。但是这条弦必须有斜率。
一个例题，综合运用中点弦和神奇小圆两个结论：
- 注意到 \(90\degree\)，\(90\degree\) 是啥？是圆啊！圆的直径啊！！
- 把圆画出来之后，切点和圆心必定需要连接。连起来之后发现，因为切线就是准线，所以切线和 \(y\) 轴平行，所以连得的半径就和 \(x\) 轴平行，于是 \(y\) 坐标相等！而圆心是什么？就是 \(AB\) 中点呀！所以 \(AB\) 中点 \(y\) 坐标就是 \(y_M\)，就是 \(1\)。
- 然后直接用中点弦结论即可。
所以说，画一个标准的图真的真的真的非常重要。
果然，抛物线确实简单一些。
大题
- 抛物线的平均性质
视频并非一数，而是小猪老师自己的号。
上图中，\(AB\) 为任意一条弦，\((m,0)\) 为 \(AB\) 与 \(x\) 轴焦点。因为图有点不清晰所以再放一遍结论：令 \(A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)\)，则：
Tip：椭圆与双曲线大题，在用 \(x\) 表示 \(y\) 去消元的时候，通常是代入直线方程，但抛物线大题时，可以代入抛物线方程，因为它更简单。
例题：
板子题。考试时注意要写下证明过程，也就是平均性质的证明过程。证明就是联立直线和双曲线用韦达定理消元，见第一个图。
Tip：解析几何中常用三角形面积求法：
- \(S = \frac 1 2 ah\)
- \(S = \frac 1 2 ab \sin C\)
- 割补法（比较常用）
- \(S = \frac 1 2 |x_1y_2 - x_2y_1|\)，即向量叉积。
大题和小专题看下一个 qwq，因为实在是塞不下了，太卡了。
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