拓扑 AC 2025 线上 NOIP 联测 #1

把 \(i\) 写成 \(a_i\) 挂没了。/ll

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[2025线上NOIP联测第三阶段] 模拟赛 1

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题解：link

时间：4.5h (2025.11.08 13:00~17:30)
题目数：4
难度：

A	B	C	D
\(\color{#52C41A} 绿\)	\(\color{#52C41A} 绿\)	\(\color{#BFBFBF} ?\)	\(\color{#BFBFBF} ?\)
*1600	*1800	*?	*?

估分：100 + 100 + 0 + 0 = 200
得分：100 + 25 + 0 + 0 = 125
Rank：21/44

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场祭

读题。

A 签，注意到 \(H \le 100\) 所以直接拆点就行了。

B 大概率是 meet in the middle。但是发现直接两边都爆搜不行，先看左边，考虑维护一个 \(f_{i,S}\) 表示「当前在点 \(i\)，已经经过了公司集合 \(S\)」这个状态是否可达，然后 \(O(2^{n/2}m)\) 转移，思考一下发现可以直接推到右边，因为在右边做的时候就不需要考虑右边没出现的公司了，这样 \(|S|\) 还是 \(O(n/2)\) 级别的，具体地把左边出现过的直接算掉贡献，转移到右边即可，右边再用一个 \(g_{i,S}\) 表示「当前在点 \(i\)，已经经过了公司集合 \(S\)」能匹配的左边最大贡献。

这样可以分成 L-L L-R R-R 三段，复杂度还是 \(O(2^{n/2}m)\)。

开写！因为要维护从左边 \(S\) 到右边 \(S'\) 的映射，所以 L-R 部分并不是很好写。

调了一会儿发现读错题了，改了改只会发现还是读错题了！

死因是公司编号记录的时候出错了，发现并改掉后就只剩下 1h 了。

不过好在大样例确实过了。

看 C，怎么会给数据范围这么小的部分分？\(O(n^3)\) 暴力不是显然的吗？不管了先看看 D，欸似乎可以 dsu on tree 做，思考了下发现换根的复杂度是神秘的 \(O(\sum siz_u)\)，不过足以过掉菊花图了。能有不少分，开写。

……然后太急了忘了咋维护了！！11

寄。

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补题

B 怎么挂完了 /ll

死因：在 L-R 处，改 rep(i,0,mid-1) 为 rep(i,0,sz-1) 时，忘了把 to[a[i]] 改成 to[i] 了。

映射太多晕掉导致的，不过这能过大样例也是离谱了。

哦题解还有更简单做法，注意到只出现一次的公司不会有限制，所以只对出现 \(\ge 2\) 次的公司状压就行了。

CD 不会。

C 似乎就是，注意到一个结论，就时传递的时候会损失很大一部分，然后就能直接遍历一遍终点 \(i\)，\(O(\log)\) 维护每个点到 \(i\) 的贡献了？

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天依宝宝可爱！