ZR 2025 NOIP 二十连测 Day 8

怎么又挂分 /fn

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25noip二十连测day8

链接：link
题解：题目内

时间：4h (2025.10.23 14:00~18:00)
题目数：4
难度：

A	B	C	D
\(\color{#FFC116} 黄\)	\(\color{#52C41A} 绿\)	\(\color{#3498DB} 蓝\)	\(\color{#9D3DCF} 紫\)
*1400	*1900	*2500	*?

估分：100 + 100 + 20 + 10 = 230
得分：100 + 70 + 20 + 10 = 200
Rank：39/127

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场祭

读题。草 A 怎么又是神必结论题 /jk

思考 A 20min 无果，于是开 B，欸这不某场 USACO 创飞我的那个 gcd 题吗？是 P11841，欸不对怎么降黄了 /fad

类似那个题，把每个 \((a,b)\) 表示成 log 个 \((ka+b,a)\) 的形式，然后每次查询的 \((x,y)\) 只需要对于 \((k'y+x',y)\)，查一下有多少个 \((ka+b,a)\) 满足 \(x'=b \land y=a \land k \ge k'\) 就可以了，显然直接二分。

由于害怕 ZR 的机子又会卡我 vector，所以把所有东西都塞到了一个 vector 里，按照 \(a,b,k\) 排个序，然后再用 umap 记录下 \((a,b)\) 的起始位置和结束位置，就可以二分了。测大样例跑了 2.4s，哦换成 map 就只有 1.4s 了（

回去看 A，感觉应该并不会太难，不然不会放这么多不可以总司令的分的。奋力思考 30min 终于发现了一个必要条件：如果相邻两个点在鬼的路径上的距离 \(\ge 3\)，则人一定能赢，看起来很对，样例都没问题，所以直接必要当充分写了。

开 C，差不多会 30pts 的部分分。

开 D，嗯？这不直接类似线段树分治，把修改拆成 log 段，然后线段树节点维护一个 set 和一个答案就可以了？写写写，发现确实挺不好写的，调调调……然后用了 1h 才发现假完了。。因为计算答案的时候上面的段的 set 不会算下面的段的 set，这就导致了只传 ans 是不行的。。。

早知道就不冲正解了呜呜呜 /dk

然后就只打暴力了。。不然说不定 D 还能拿点特殊性质呢。

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补题

诶诶我 B 怎么 T 了 /kel，看了和题解做法一样啊……

哦我草，注意到会往 vector 里面塞 \(O(n \log V) \approx 6 \times 10^6\) 个东西，然后又用 map 维护位置，空间开销是可怕的。

于是不用 map 统计，直接在原 vector 上二分，就过了。。

我的 30pts 啊呜呜 /dk，好像（并非好像，就是）最近不止一次因为不注意 STL 的空间开销而挂分了呢……

补 C，比较 ad-hoc 的一个题。

要求的东西比较奇怪，考虑该如何去更好地刻画这个东西。发现 \(G1\) 可以视作 \(2 \sim n\) 这 \(n-1\) 个点分别选一条边指向比本身编号小的点，\(G2\) 反之。那么就是要给这总共 \(2(n-1)\) 个点分别匹配一条边，总共也是 \(2(n-1)\) 条边。

哦对了自环显然无解，判掉。

继续考虑，发现一条边最多只可能匹配给两个点，不妨令一条边连接的两个点 \(u,v\) 满足 \(u<v\)，那么它们在 \(G1,G2\) 上对应的点 \(u_1,v_1,u_2,v_2\)，显然只可能连 \(v_1 \to u_1\) 和 \(u_2 \to v_2\) 这两条边，也就是说这条边只能匹配给 \(v_1,u_2\) 中的一个。

于是，就得到了 \(2(n-1)\) 条形如「在 \(x,y\) 中选一个使其合法」的限制，要求的问题是「使得每个点恰好合法一次的方案数」。

不难注意到，点数和限制数都是 \(2(n-1)\)，所以不妨把限制当作边建图（注意此处建的图和原题中给的图不是一样的，有本质上的区别），于是就得到了一个有 \(2(n-1)\) 个点、\(2(n-1)\) 条边的图，问题就变成了「给每条边确定一个方向，使得每个点的入度均为 \(1\)（即恰好被指了一次）」。

显然这个图是由若干个连通块组成的，不难发现若某个连通块内 \(|V|<|E|\) 则一定无解，因为这样会导致至少一个点会被指两次。又因为图的总边数和点数相等，所以每个连通块的点数和边数一定相等，也就是形成了一棵基环树！

而我们又知道给基环树上的边定向显然只有 \(2\) 种方案，于是答案就是 \(2^{\text 连通块个数}\)！

尝试补 D，尝试失败，因为要用到 ODT，找时间补一补吧。

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天依宝宝可爱！