ZR 2025 NOIP 二十连测 Day 3

打满了。满…了…啊…………❤❤❤

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25noip二十连测day3

链接：link
题解：题目内

时间：4.5h (2025.10.15 13:40~18:10)
题目数：4
难度：

A	B	C	D
\(\color{#FFC116} 黄\)	\(\color{#FFC116} 黄\)	\(\color{#3498DB} 蓝\)	\(\color{#BFBFBF} ?\)
*1400	*1500	*2500	*?

估分：40 + 100 + 15 + [5,?] = [160,?]
得分：40 + 100 + 30 + 20 = 190
Rank：61/130

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场祭

读题，C 这啥，只读了 ABD。

A 什么神必结论题，估计我是不会的，所以先开 B。

dp 是显然的吧。想了一会儿会了一个 \(O(nk (\sum a)^2)\) 的 dp，令 \(f_{i,j,x,y}\) 为前 \(i\) 个用了 \(j\) 次操作，A 堆点数和为 \(x\)，B 为 \(y\) 的最大价值，精细实现可以拿到 80pts。然后写一半发现我是【】，只记录 \(x-y\) 这个差值就可以了，写写写，过了。

回去看 A，不会。打暴力，打第一个特殊性质，过样例了。后面实在不会了，乱搞一下把每个操作都做一遍就扔掉了。

？C 的数据范围列表怎么是炸掉的，教练不在，不管了先看 D。其实本来也是先想看 D 的。

D 暴力 5pts。然后发现似乎可以退火乱搞一下，写写写，调了调参过了 \(n \le 10\) 的样例，其余的拼尽全力无法战胜了。

C 找教练要了数据范围，发现白送的 15pts 暴力，迅速打掉，然后打 \(n^k \le 10^6\) 的部分分，但是没时间了，瞎胡一下没测样例就交了。

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补题

C 怎么有 30pts，哦原来 \(n^k \le 10^6\) 全都是 \(k=1\) 的数据？？

D 退火不出意外地过掉了 \(n \le 10\) 的部分分，赢！

补 A，还能这么猜结论的吗，看来得提升一下猜结论的技巧了（？OIer 的神必技能又增加了。

注意到给了太多运算了，但是就是没给除法和右移（左移可以通过乘法实现），这很奇怪。

那么什么东西是没有除法的呢？取模！！所以可以从这个角度考虑。

注意到对于任意两个 \(x_i,x_j\)，如果它们在模 \(p\) 意义下同余，那么加减乘都不会改变它们模 \(p\) 意义下的同余性，不过位运算会。

但是当 \(p = 2^k\) 时，位运算也没法改变了！所以此时 \(x_i,x_j\) 所对应的 \(y_i,y_j\) 也必须在模 \(2^k\) 意义下同余，才可能有解。

当然是要对于任意 \(k \in [1,32]\) 成立的，显然。

注意到我们得到了一个看起来很合理的必要条件，所以就可以把它当作充分条件了。

证明是不需要的，毕竟也不会有人真在考场上证这玩意，而且很好写，一测样例就知道对不对了。

真要证明的话构造性证明即可。

C 原题是 QOJ 37。看了题解真的很难绷嘟嘟嘟。

矩阵快速幂优化是显然的，考场上也想到了（不过因为是 C 所以就没思考正解）。然后暴力打完之后发现需要求的东西直接就可以直接地推了？？发现几个性质然后考虑一大坨东西然后得到一个巨大无比的转移矩阵然后就做完了？？

出（搬）题人都没绷住 .jpg，说是看到这一坨大的就搬到模拟赛来给我们做了。

哦对了，这种逆天转移矩阵有一个技巧，就是如果转移式子中出现了 if，需要把 if 判断的这个条件当成一个 bool 放到递推式里，不然是没有办法矩阵加速的。

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天依宝宝可爱！