MX 练石 2025 NOIP #10
笑点解析：NOIP 模拟赛。
2025 --【炼石计划 NOIP】-- 第十套
时间：4h20min (2025.09.28 07:40~12:10)
题目数：4
难度：
| A | B | C | D |
|---|---|---|---|
| \(\color{#3498DB} 蓝\) | \(\color{#52C41A} 绿\) | \(\color{#BFBFBF} ?\) | \(\color{#BFBFBF} ?\) |
| *2100 | *1700 | *? | *? |
估分：0 + 40 + 25 + 0 = 65
得分：0 + 45 + 10 + 0 = 55
Rank：35/159
场祭
读题。
A，很确定是个 dp，胡了一个有点对的思路，感觉好像不可以。
B，一眼分治，然后发现不可以，我知道 \(m \le 3\) 肯定很有用，但是 \(m > 1\) 的时候怎么记录 trie 上查询到的每个 LCP 属于哪个 \(j\) 啊？
打了 30pts 暴力 + 10pts \(m=1\) 的特殊性质跑路。
回去看 A，推了推 dp，令 \(f_{i,j}\) 为 \((0,0) \leadsto (i,j)\) 的答案，再记录一个 \(v_{i,j}\) 表示是否能从 \((i,j)\) 不经过任何障碍的覆盖区走到 \((n,m)\)，然后转移 \(f_{i,j}\) 的时候如果 \(v_{i,j} = 0\) 则转移 \(1\) 否则为 \(f_{i,j} + 1\)，写写写挂了，发现我甚至忘了考虑有没有经过哪个障碍的覆盖区。
不会了，打暴力吧，但是暴力好像也不会。
C，暴力打了，\(k=0\) 特殊性子打了。
D，没时间了，打了个错误的暴力。赛后才发现暴力原来这么多分 /fn
补题
A，不容易注意到，在形成右上左下关系且相邻的障碍可以合并为一个矩形，例如：
....
..#.
.#..
....
显然 \((2,2)\) 和 \((3,3)\) 是走不了的，所以可以直接视作这样：
....
.##.
.##.
....
然后，图中就只剩下若干个不能合并的矩形了。
进一步发现，八连通的矩形都是可以视作同一个障碍的（但不能和上面一样合并），例如：
......
.##...
.##...
...##.
...##.
......
显然经过的路径要不从上面走，不被这两个矩形偏序；要不从下面走，同时被这两个矩形偏序。
再例如：
......
.##...
......
...##.
...##.
......
这样就可以有不被偏序、被上面的矩形偏序、被两个矩形偏序这三种选择了。
所以可以猜测，答案就是八连通块的个数 \(+1\)。根据人类直觉这是正确的。
不过要注意矩形在边界上的情况，因为一条路径一定会被右边界、上边界的矩形偏序，且一定不会被左边界、下边界的矩形偏序。
第一步合并时必要的，因为：
..#..
.#...
...#.
..#..
.....
答案显然为 \(1\)，与合并后的连通块个数相符。
草怎么还是一堆 WA 不补了。
喂给 gpt，哦原来合并不能只进行一次吗，那就多跑几遍直到没有可合并的了。
多过了好多点，但还是一推 WA + 几个 T（
终于过了，不直接判断，而是放到一个函数里，每次对于一个 #，判断右上和左下是否是 #，如果是则扩展出去，对于除了当前位置外的另外 \(3\) 个位置调用函数。就神必地过掉了。
补 B。
其实是 min-max 容斥嘛，相信大家都会。——出题人
min-max 容斥（极值反演）：
放到这个题上，求 max 就可以转化成求 \(7\) 个 min（分别对应 \(\{0,1,2\}\) 的 \(7\) 个真子集）。
然后这一步有点难想到，就是把两个串 \(a_{1 \sim p} , b_{1 \sim q}\) 一位一位地拼起来得到 \(a_1 b_1 a_2 b_2 \ldots\) 这样的串，然后对 \(n\) 个这个奇怪的东西建一棵 trie，LCP 就和 \(m=1\) 时一样求就可以了，第一次不匹配的位置 \(pos\) 对应的 LCP 长度就是 \(\lfloor \frac {dep_{pos}} {子集大小}\rfloor\)，推广一下建 \(7\) 棵 trie 就可以把所有 min 求出来了。
有点神奇。不过在人类可以想到的范围内。
但是不会 min-max 反演的说（）
天依宝宝可爱！
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