流光协奏后续 || 2025 码蹄杯国赛

戒断。

我有理由认为看天依演唱会对学习有很大帮助。注意到马蹄杯省赛 rk142，国赛 rk59。

打的最舒服的一集。

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时间：5h (2025.08.24 14:00~19:00)
题目数：12
难度：

T1	T2	T3	T4	T5	T6	T7	T8	T9	T10	T11	T12
\(\color{#FE4C61} 红\)	\(\color{#FE4C61} 红\)	\(\color{#F39C11} 橙\)	\(\color{#BFBFBF} ?\)	\(\color{#3498DB} 蓝\)	\(\color{#BFBFBF} ?\)	\(\color{#52C41A} 绿\)	\(\color{#52C41A} 绿\)	\(\color{#FFC116} 黄\)	\(\color{#BFBFBF} ?\)	\(\color{#FFC116} 黄\)	\(\color{#FE4C61} 红\)
*800	*900	*1000	*?	*2100	*?	*1900	*1700	*1300	*?	*1200	*900

AC：8/12 (T1 T2 T3 T7 T8 T9 T11 T12)
Penalty：09:37:51(1)
Rank：59/2520
Au

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省流：

T1 T2 T3 T12 签，不知道为什么要放这么多签。
T11 trie 板子。
T7 打表猜结论 + 莫反。
T9 dij 板子。
T8 组合计数，但是思路错了好几次浪费了不少时间。
T5 树上分块 + bitset，不过没调出来。
其他的没看。

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因为都搞好了才发现电脑没摄像头，所以又换了个电脑，晚了 10min 入场，喜提 80min 罚时。

快速跟榜，发现好多签，切了。

跟榜开 T11，一眼 trie，切了。

开 T7，求一个式子，但是式子看起来很吓人，不过考虑到过的人不少，所以应该不是很难。先把式子放一下（\(n \le 10^6\)）：

\[\sum _{i=1} ^n \sum _{j=1} ^n \sum _{k=1} ^n \tau(\gcd(i,j,k)) \times \gcd(fib_i , fib_j , fib_k) \]

注意到 \(\gcd(i,j,k)\) 部分可以莫反做掉。这里要感谢教练给我的容斥题单，让我在懒得推容斥的情况下学了莫反。

但是 fib 部分很不好处理，先猜了个结论，认为这个 gcd 一定为 \(1\)，但是打表发现并不是，但是却意外地发现 \(\gcd(fib_i , fib_j , fib_k) = fib_{\gcd(i,j,k)}\)，在 \(30\) 以内成立，可以认为一定成立了。

于是就简单了。写写写。一发过了。

开 T8，想了一个 \(O(n^2)\) 的 dp，尝试优化但是并不会，跳了。

开 T9，发现好水，就是 dij 板子加上一个暴力状压。但是 T 了一发，原来是我 dij 板子对 dis 数组的初始化是 memset 的，导致多测 T 飞了，改了就过了。

回来看 T8，注意到 C 没用，顺序没用，有用的只是 A 的数量和 B 的数量，分别设为 \(a,b\)，想到枚举有多少个 A 操作了 \(2\) 次，但是推了一会儿甚至把代码写出来了才发现假了，因为我们根本不关心操作过程，只关心结果。

所以想到枚举有多少个 A 变成了 C，剩下的 A 都当成 B 来做，得到式子：

\[\sum _{i=0} ^{\min (a,m)} \binom a i \sum _{j=0} ^{\min(a+b-i , m-i)} \binom {a+b-i} j \]

但是要求固定上标的组合数前缀和，会不了一点，打表又会代码长度超限，所以又跳去看 T5 了。

可是 T5 也不怎么会，这时候突然想到可以换个东西枚举，那么换成枚举 B，剩下的 A 显然要么一步到 B，要不一步到 C，就可以覆盖全部结果，然后推了推得到：

\[\sum _{i=0} ^{\min(b,m)} \binom b i \sum _{j=0} ^{\min(a,m-i)} \binom a j 2^{j} \]

注意到这样后面那个二项式系数的上标就是定值了，所以就可以前缀和了，然后就神奇地过了。

剩余 1h，继续看 T5，根据这个数据范围，很有可能是 \(O(\frac {n^2} w)\) 或者 \(O(n \sqrt n)\) 的做法，先想了树剖套线段树，发现不行；直接 bitset 不行；但是分块 + bitset 貌似可以！按照深度分为最多 \(\sqrt n\) 个块，维护一些 bitset，那么操作就都是 \(O(n \sqrt n)\) 或者 \(O(\frac {n^2} w)\) 的了！

于是发明了算法：树上分块（

但是以前没写过，所以没调出来，悲。

没然后了。

晚上发现 rk59，赢赢赢。

突然发现场切了一个数论一个组合计数，很神奇了。