AC 自动机
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AC 自动机
用于多模式串匹配问题，通常与 dp 结合。
自动机很好玩的。感觉越来越喜欢串串题了呢。
天依宝宝可爱！
洛谷 P3808
思维难度：\(\color{#FE4C61} 红\) *800
板子题。
AC 自动机，可以理解为利用 Trie 在多个串上跑 KMP。
首先记住我们要求的是一个文本串 \(t\) 中包含了几个模式串 \(s_i\)、分别包含了多少次等信息。
重点在于构建 fail 指针，节点 \(u\) 的 fail 指针 \(fail_u\) 指向 \(u\) 表示的字符串的最长 border（并不严谨，因为此处指所有模式串中的 border）。
令 \(p_u\) 为 \(u\) 的父亲，\(c\) 为连接 \(p_u,u\) 的边。那么类似于 KMP，一直跳 \(p_u\) 的 fail 直到跳到一个 \(v\) 满足 \(v\) 有字符 \(c\) 这个儿子，此时 \(fail_u\) 就是 \(v\) 的这个儿子。边界条件是跳到根结点，我们可以认为根结点的 \(|\Sigma|\) 个儿子都存在，且它们的 fail 指针都指向根结点。
但是这样复杂度太不优秀了，每次都要重复地跳 fail，所以考虑记忆化。当一个节点 \(v\) 没有 \(c\) 这个儿子的时候，我们令 \(v\) 的边 \(c\) 指向 \(fail_v\) 的儿子 \(c\)，这样就可以一步到位，直接由 \(u\) 跳到 \(fail_u\)。
那 \(fail_v\) 的儿子 \(c\) 如果不存在怎么办呢？这很不好处理，所以要避免。具体地，可以发现 \(fail_v\) 在 Trie 中的深度一定小于 \(v\) 的深度，所以可以通过 bfs 来建 fail，这样就不会出现上述情况了。
匹配文本串是简单的，参照 KMP 的思想，对于文本串的每一个前缀，都匹配一遍，也就是跳一遍 fail，那么显然满足跳到的每一个点都是当前前缀的后缀，都加上就好了。当遇到文本串的某个前缀不在 Trie 中的时候，就让文本串末尾的那个指针 pos 跳一次 fail。
构建 fail 指针的时间复杂度是 \(O(|\Sigma| \sum |S_i|)\)，查询复杂度最优 \(O(|T|)\)（利用 fail 树优化跳 fail 过程，后面 P5357 会写）。
天依宝宝可爱！
洛谷 P3796
思维难度：\(\color{#FE4C61} 红\) *800
这个是求每个模式串出现了多少次的板子。
天依宝宝可爱！
洛谷 P3121
思维难度：\(\color{#F39C11} 橙\) *1000
可以发现 AC 自动机匹配文本串的时候，正好是按照从前往后的顺序匹配的。
因为每次暴力跑文本串匹配再暴力删除不怎么优美，所以可以开个栈每次把新字符压入栈顶，删的时候直接删栈顶的一些元素即可，当然需要记录栈内每个字符在 Trie 上的位置。
天依宝宝可爱！
洛谷 P5357
思维难度：\(\color{#F39C11} 橙\) *1000
可以发现，如果把所有 fail 指针拿出来，会组成一棵仅由 fail 指针构成的树，满足每个节点 \(u\) 的父亲是 \(fail_u\)。所以在匹配文本串的时候，就不用每个位置暴力跳一遍 fail 了，只需要打个标记，最后每个节点的出现次数就是这个节点的子树和，这个直接拓扑序求就好了。
天依宝宝可爱！
POJ 3691 | AC 自动机上 dp
思维难度：\(\color{#FFC116} 黄\) *1500
先给个终止点的定义，就是所有模式串的结束点 和 后缀包括模式串的点。其中前者是容易的；对于后者，可以发现这正好是 fail 指针的定义，也就是说，如果一个节点的 fail 指针指向终止点，那么这个点也是终止点，否则不是（毕竟 fail 指针已经是最长 border 了）。所以 dfs 求即可。
题目要求 \(s\)（文本串）不包含任何模式串，这就相当于在 AC 自动机上不经过任何终止点。考虑 dp，令 \(f_{i,j}\) 为 \(s\) 的前 \(i\) 位已经匹配好，当前在自动机上的节点 \(j\) 时的最小代价，转移考虑下一个字符选什么即可，如果不是终止点就转移，否则跳过。
达成成就：炸掉 poj。
注意到 link 中的 #25005292，多刷新几次会发现 ta 在 Waiting、Compiling、Running & Judging 之间反复横跳。
现在好了，不过还有珍贵影像（，link，密码 356f。
我也不知道我是怎么做到的……代码
天依宝宝可爱！
洛谷 P2444
思维难度：\(\color{#F39C11} 橙\) *1000
显然存在无限长安全串的充要条件就是删掉终止点的 Trie 图上存在环。
天依宝宝可爱！
洛谷 P5319
思维难度：\(\color{#FFC116} 黄\) *1300
01 分数规划是什么感觉是 J 组的东西我怎么没见过要倒闭了 /jk /jk
乘法太大，所以要转 ln，有：
那么就要使 \(\frac 1 c \sum _{i=1} ^c \ln w_i\) 最大。
这是一个 01 分数规划的形式，二分答案，令当前二分的答案为 \(x\)，则若 \(\frac 1 c \sum _{i=1} ^c \ln w_i > x\)，有：
于是就与 \(c\) 无关了。
所以就可以在 AC 自动机上 dp，令 \(f_{i,j}\) 为当前在自动机上的点 \(i\)，匹配到了文本串的第 \(j\) 个位置，上面那个式子的最大值。转移是容易的。
注意要把每个节点 \(w_i\) 加上其 fail 的 \(w_i\)，在建 fail 树的时候顺便处理了即可。因为一个位置可能对应多个后缀。嗯怎么会忘掉这个呢？AC 自动机太久没写导致的 /ll
天依宝宝可爱！
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