2-SAT

我 注定摒除 所有怅惘
执 着缔造 无暇开场

我 注定离开 这个地方
动身往云间翱翔

我 生为飞蛾 天性向光
撕裂疮疤 复苏生长

我 生为凤凰 本能高唱
倔强是翅膀

——洛天依《向光》

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2-SAT

算法本身很简单，难点在于建模。

所以本质上就是构造。

核心的方案就是把 \(p \lor q\) 转化为 \(\neg p \to q\)，\(\neg q \to p\) 这两条边，其它条件基本上都可以转化为若干个 \(p \lor q\) 的 \(\land\) 的形式。

例如 \(p\) 成立等价于 \(p \lor p\) 可转化为 \(\neg p \to p\)。

天依宝宝可爱！

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洛谷 P4782

思维难度：\(\color{#FE4C61} 红\) *800

板子题。

先把每个命题拆成 \(p\) 和 \(\neg p\)，于是条件可以表示成若干个 \(p \Rarr q\) 的形式，于是这么建图。

显然如果 \(p\) 和 \(\neg p\) 在同一个 scc 内，那么一定无解。

那么 tarjan 缩点求出拓扑序，于是在得到的 DAG 中如果前面的点为真，呢么这个点后面的所有点一定都为真。又因为 \(p\) 与 \(\neg p\) 不能同时成立，所以总是让这两者中靠后的那个为真，靠前的那个为假一定是更优的。

可以证明这样做一定可以构造出一组合法解，看起来好像不大对，但确实是对的，虽然我不会证吧（

还有，实际上不需要显式地求出拓扑序，因为据说 tarjan 缩点后的 scc 编号就是反向的拓扑序。

注意连边的时候如果连了一条边 \(p \to q\)，那么也一定要连 \(\neg q \to \neg p\)。

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天依宝宝可爱！

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洛谷 P5782

思维难度：\(\color{#FE4C61} 红\) *800

为什么要放两道一模一样的板子题（）

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天依宝宝可爱！

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洛谷 P4171

思维难度：\(\color{#FE4C61} 红\) *800

为什么要放三道一模一样的板子题（）

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天依宝宝可爱！

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洛谷 P6378

思维难度：\(\color{#FFC116} 黄\) *1500

终于不是板子题了。

显然可以暴力建图。具体地，对于原图上每条边 \(u,v\) 满足的条件是 \(u \lor v\)，这个是容易的；对于一个部分 \(s\) 的所有点 \(u\)，都这样建边：\(\forall _{v \in s \land v \ne u} u \to v\) 即可。

但是这样边数是 \(O(n^2)\) 的，显然不可行（不过还是可以得到 92pts 的好成绩！

然后有一个挺神的 trick，就是前缀优化建图。

现在只考虑同一部分内的点。我们新建一些点，\(p_i\) 表示 \(a_{1 \sim i}\) 中是否有关键点。于是就得到了这样的图：

然后考虑建哪些边：

1. 首先根据 \(p\) 的定义，\(a_i \to p_i\) 这条边一定是要建的；同时对应的 \(\neg p_i \to \neg a_i\) 也要建。
2. 然后因为是前缀，\(p_i \to p_{i+1}\) 也要建；对应 \(\neg p_{i+1} \to \neg p_i\)。
3. 因为只能选一个关键点的限制，所以 \(p_i \to \neg a_{i+1}\) 也要建；对应 \(a_{i+1} \to \neg p_i\)。

得到这样一个图：

总边数为 \(2 \times (3n+m) \le 8 \times 10^6\)。

在 \(p\) 的建立上，有一个简便方法，可以直接拿 \(p_{a_i}\) 表示 \(a_i\) 对应的前缀，这样就不需要分别算每个部分的 \(p\) 了。

感觉有时间要补一补图论建模，不过等后面吧，毕竟写 ds 已经写吐了……

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天依宝宝可爱！

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CF568C

思维难度：\(\color{#52C41A} 绿\) *1700

思路还是比较简单的。就直接从前往后贪心，尽量让靠前的位置和给定串相同，后面尽量往小了放就可以。因为数据范围太小，所以即使每次 \(O(m)\) 跑一遍 2-SAT，总复杂度也是 \(O(nm)\) 的。

不过细节巨巨巨巨巨多。

所以放弃了，扔一个光荣的 Wrong answer on test 1 在这里吧 😃 submission

天依宝宝可爱！