编程学习笔记(LeetCode-516. 最长回文子序列)

<516>最长回文子序列

问题重述：
设有以字符串 \(s\) ，找出其最长回文子序列，并且返回该序列的长度。

子序列： 不改变剩余字符顺序的情况下，删除某些字符或者不删除任何字符形成的一个序列。
回文： 即是正读和反读都一样的字符串（例如：aba，abba，bbbb等）。

注：单个字符也被认为是一个回文串；

示例1：

输入： s = "bbbab"
输出： 4
解释： 一个可能的最长回文子序列为 "bbbb" 。

示例2：

输入： s = "cbbd"
输出： 2
解释： 一个可能的最长回文子序列为 "bb" 。

限定：
\(1 \leqslant s.length \leqslant 1000\)
\(s\) 仅由小写英文字母组成

解析与求解（动态规划）

对于一个子序列，若它是回文子序列，且长度大于 2 ，去其首位，其仍是一个回文子序列。
若用 \(dp[i][j]\) 表示 \(s[i,j]\) 内最长的回文子串长度，且 \(n\) 为字符串的长度，那么：

\[\begin{cases} dp[i][j]>0,\qquad 0\leqslant i\leqslant j<n;\\ dp[i][j]=0,\qquad i,j\in (-\infty , 0)\cup [n, \infty);\\ \end{cases} \]

由于任何长度为1的子序列都是回文子序列，那么：

\[dp[i][j]=1,\qquad i=j\ and\ 0\leqslant i\leqslant j<n; \]

当 \(i<j\) 时，需要分别考虑 \(s[i]=s[j]\) 和 \(s[i]\neq s[j]\) 的情况。
当 \(s[i]=s[j]\) 时：
\[dp[i][j]=dp[i+1][j-1]+2 \]
当 \(s[i] \neq s[j]\) 时：
\[dp[i][j]=max(dp[i+1][j],\ dp[i][j-1]) \]

dp计算顺序：

我们想要的结果最终会落在 \(dp[0][n-1]\) 处。
状态转移方程都是从长度较短的子序列向长度较长的子序列转移。
那么dp的计算顺序为：
从矩阵的右下角开始计算，每行从\((dp[i][j],\ i=j)\) 开始计算。

C++代码实现：

class Solution {
public:
    int longestPalindromeSubseq(string s) {
        //创建动态规划数组dp
        vector<vector<int> > dp = vector<vector<int> >(s.size(), vector<int>(s.size(), 0));
        for(int i = s.size() - 1; i >= 0; i--){
            for(int j = i; j < s.size(); j++){
                if(i > j){continue;}        //0 <= i <= j <= n
                //长度为1的字符为回文串
                else if(i == j){dp[i][j] = 1;}
                //提示： 当是s[i]=s[j]且i和j相邻的时候，
                //      那么i+1=j，j-1=i，dp[i+1][j-1]即为dp[i][j]的对称点。
                //      由于dp[i][j]的对称点值为0，所以长度恰好是0+2
                else if(s[i] == s[j]){dp[i][j] = dp[i+1][j-1]+2;}
                //当首尾字符不相等的时候，返回去掉当前的首或者当前的尾后的最长回文子序列
                else if(s[i] != s[j]){dp[i][j] = max(dp[i][j-1], dp[i+1][j]);}
            }
        }
        //返回最终结果
        return dp[0][s.size()-1];
    }
};

时空复杂度：

时间复杂度： \(O(n^2),\ n\)为字符串 \(s\) 的长度。
空间复杂度： \(O(n^2),\ n\)为字符串 \(s\) 的长度。