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1 /*LA3523图论
2 二分图和点双连通分量的综合性质
3
4 这道题因为算法证明的理解，卡了几天，所以这里自己要详细的给自己分析一下.
5 题意：n个骑士举行圆桌会议。一场会议至少有3个人，且人数必须是奇数，人必须依次相邻的坐。相互憎恨的人不能相邻。问，无法参加任何会议的人的个数。
6 建模：每个人代表一个点，能相邻而坐的人之间连线（无向图）。如果一个点，不在任何一个奇圈中，则他必然不能参加任何会议。（一切会议方案都在图中被枚举了）
7 特殊情况：有几个连通分量，就分别判断。
8 算法设计：
9 1、我们发现这道题的建模容易，算法较难思考出，这个就像最小生成树，构造简单，算法难证明。
10 2、引用了性质:二分图没有奇圈，非二分图至少有一个奇圈（这是放在图是点双连通分量的基础上考虑的（任意两点至少存在两条点不重复的路径））就是说，满足条件的点最起码在一个点双连通分量上（因而，按照圆桌坐，至少形成点不重复的圈）
11 这个算法设计的讨巧了，就像是有了算法，再去证明的。
12 3、证明：点双分量的非二分图，每个点都在一个奇圈里：
13 如上图：我们假设有一个奇圈，因为是点双，没有割点，必然有紧挨着的圈，假设这个是偶数圈，则，这个偶数圈必然能和原来的奇圈组成新的奇圈(因为：新的圈=（奇数圈-k）+（偶数圈-k）=奇数+偶数-偶数=奇数，k是共同边上的点数，)
14 我们想想一下，以这个原本就存在的奇圈为中心向外辐散，是不是生成了很多奇圈，这样每个点都在一个奇圈上了。
15 注意：注意当点i属于多个连通分量时，bccno[i]多次被覆盖，所以无意义bccno，但是可以在后来，读出一个bcc中的点，给这些点标上相应的分量序号
16 */
17 #include <stdio.h>
18 #include <stdlib.h>
19 #include <string.h>
20 #include <math.h>
21 #include <ctype.h>
22 #include <string>
23 #include <iostream>
24 #include <sstream>
25 #include <vector>
26 #include <queue>
27 #include <stack>
28 #include <map>
29 #include <list>
30 #include <set>
31 #include <algorithm>
32 #define INF 0x3f3f3f3f
33 #define LL long long
34 #define eps 1e-7
35 #define maxn 1100
36 using namespace std;
37
38 bool Hate[maxn][maxn];//注意憎恨是相互的
39 int n,m;
40 struct Edge{int u,v; };
41 int color[maxn];
42 //判断结点u所在的连通分量是否是二分图
43 int pre[maxn] , iscut[maxn] ,bccno[maxn] , dfs_clock , bcc_cnt;
44 vector<int>G[maxn] , bcc[maxn];
45 bool bipartite(int u,int num)//u节点，num分量的序号
46 {
47 for(int i=0;i<G[u].size();i++)//枚举每条边
48 {
49 int v=G[u][i];
50 if(bccno[v]!=num) continue;//不从这个点dfs
51 if (color[v]==color[u]) return false;//结点已经着了相分的颜色，产生了矛盾
52 if (!color[v])//还没有着色
53 {
54 color[v]=3-color[u];
55 if (!bipartite(v,num)) return false;
56 }
57 }
58 return true;
59 }
60
61 stack<Edge> S;//中间变量
62 //bcc_cnt连通分量的个数
63 //bcc[i]第二个连通分量中所有的点
64 //注意当点i属于多个连通分量时，bccno[i]多次被覆盖，所以无意义bccno
65 int dfs(int u,int fa){
66 int lowu = pre[u] = ++dfs_clock;
67 int child = 0 , ecnt = G[u].size();
68 for(int i=0;i<ecnt ;i++){
69 int v = G[u][i];
70 Edge e = (Edge){u , v};
71 if(!pre[v]){
72 S.push(e);
73 child++;
74 int lowv = dfs(v ,u);
75 lowu = min(lowu , lowv);
76 if(lowv >= pre[u]){
77 iscut[u] = 1;
78 bcc[++bcc_cnt].clear();
79 while(true){
80 Edge x = S.top(); S.pop();
81 if(bccno[x.u]!=bcc_cnt)
82 bcc[bcc_cnt].push_back(x.u) , bccno[x.u] = bcc_cnt;
83 if(bccno[x.v]!=bcc_cnt)
84 bcc[bcc_cnt].push_back(x.v) , bccno[x.v] = bcc_cnt;
85 if(x.u==u && x.v==v) break;
86 }
87 }
88 }
89 else if(pre[v] < pre[u] && fa!=v){
90 S.push(e);
91 lowu = min(lowu , pre[v]);
92 }
93 }
94 if(fa<0 && child==1) iscut[u] = 0;
95 return lowu;
96 }
97 void find_bcc(int n)//n是定点个数
98 {
99 memset(pre,0,sizeof(pre));
100 memset(iscut,0,sizeof(iscut));
101 memset(bccno,0,sizeof(bccno));
102 dfs_clock=bcc_cnt=0;
103 for(int i=1;i<=n;i++)
104 {
105 if(!pre[i]) dfs(i,-1);
106 }
107 }
108 void read()
109 {
110 memset(Hate,0,sizeof(Hate));
111 for(int i=1;i<=m;i++)
112 {
113 int a,b;
114 cin>>a>>b;
115 Hate[a][b]=Hate[b][a]=true;
116 }
117 for(int i=1;i<=n;i++)//建图
118 {
119 G[i].clear();
120 for(int j=1;j<=n;j++)
121 {
122 if (i==j) continue;
123 if (!Hate[i][j]) G[i].push_back(j);//没有憎恨关系可以连一条边
124 //因为在后面又会枚举j连出的边，所以肯定形成了双向边
125 }
126 }
127 return;
128 }
129 bool ok[maxn];//是否能在一个奇圈中
130 int main()
131 {
132 while(cin>>n>>m)
133 {
134 if (n==0 && m==0) break;
135 read();
136 find_bcc(n);
137 memset(ok,0,sizeof(ok));
138 for(int i=1;i<=bcc_cnt;i++)//枚举每个连通分量
139 {
140 if (bcc[i].size()<=2) continue;//排除1,2个点形成的连通分量,这句在白书上没有写，是因为，单点和两个点是二分图！
141
142 for(int j=0;j<bcc[i].size();j++)
143 bccno[bcc[i][j]]=i;
144
145 memset(color,0,sizeof(color));//记得初始化
146 int s=bcc[i][0];
147 color[s]=1;//记得标记
148
149 if (!bipartite(bcc[i][0],i))//非二分图
150 {
151 for(int j=0;j<bcc[i].size();j++)
152 ok[bcc[i][j]]=true;
153 }
154 }
155 int ans=0;
156 for(int i=1;i<=n;i++)
157 if (!ok[i]) ans++;
158 cout<<ans<<endl;
159 }
160 return 0;
161 }
浙公网安备 33010602011771号