15届蓝桥杯省赛PythonA组解题报告
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A.拼正方形
题目
问题描述
小蓝正在玩拼图游戏，他有 \(7385137888721\) 个 \(2×2\)的方块和 \(10470245\) 个 \(1×1\) 的方块，他需要从中挑出一些来拼出一个正方形，比如用 \(3\) 个 \(2×2\) 和 \(4\) 个 \(1×1\) 的方块可以拼出一个 \(4×4\) 的正方形，用 \(9\) 个 \(2×2\) 的方块可以拼出一个 \(6×6\) 的正方形，请问小蓝能拼成的最大的正方形的边长为多少。
答案提交
这是一道结果填空的题，你只需要算出结果后提交即可。本题的结果为一个整数，在提交答案时只填写这个整数，填写多余的内容将无法得分。
分析
一道不怎么好玩的数学题，跟算法一点关系也没有。
知识点：按win+r,输入calc可以打开电脑上的计算器。
第一步：计算理论能拼成的最大正方形：
\(\sqrt{7385137888721*4+10470245*1}=5435123\)
第二步：计算该正方形是否可行：
由于\(5435123\)是一个奇数，所以必然四周包裹着一拳\(1*1\)的正方形（这是唯一可行的拼凑方法）。计算发现，\(1*1\)的正方形个数最大只能支持包裹边长为\(5235122\)的正方形
第三步：更换其他可能的正方形：
中间的\(2*2\)可以组成最大\(5435122\)边长的正方形。由第二步可知不存在其他方案更大，故此题答案为\(5435122\)
题解
5435122
B.召唤数学精灵
题目
问题描述
数学家们发现了两种用于召唤强大的数学精灵的仪式，这两种仪式分别被称为累加法仪式 \(A(n)\)和累乘法仪式 \(B(n)\)。
累加法仪式 A(n)是将从 1 到 n 的所有数字进行累加求和，即：
累乘法仪式 B(n) 则是将从 1 到 n 的所有数字进行累乘求积，即：
据说，当某个数字 i 满足 \(A(i)−B(i)\) 能被 100整除时，数学精灵就会被召唤出来。
现在，请你寻找在 \(1\) 到 \(2024041331404202\) 之间有多少个数字 \(i\)，能够成功召唤出强大的数学精灵。
答案提交
这是一道结果填空的题，你只需要算出结果后提交即可。本题的结果为一个整数，在提交答案时只填写这个整数，填写多余的内容将无法得分。
分析
根据题目已知，我们可以得到：
不难看出：
-
\(\forall n\geq 10 ,B(n)\equiv 0 \pmod{100}\)
-
\(\dfrac{n(n+1)}{2}\equiv \dfrac{(n+200)(n+201)}{2} \pmod{100}\)
（也即$A(n)\equiv A(n+200) \pmod{100} $）
这两个式子代表什么呢？代表着存在有循环长度为\(200\)的特定的\(n\geq10\)可以满足题目中给的条件。具体的有：24,175,199,200,224,375,399,400,424,575,599,600,624,775...
可以看到在每\(200\)个数中出现了\(4\)个，故在\(2024041331404202\)中，有\(40480826628084\)个\(i\)符合题意。
注意：我们此处没有讨论\(1-10\)之间的符合条件的数。实际上其中仍然有两个\(A(1)=B(1),A(3)=B(3)\)，故最后答案应该为\(40480826628086\)
QED
题解
40480826628086
C.数字诗意
题目
问题描述：在诗人的眼中，数字是生活的韵律，也是诗意的表达。
小蓝，当代顶级诗人与数学家，被赋予了"数学诗人"的美誉。他擅长将冰冷的数字与抽象的诗意相融合，并用优雅的文字将数学之美展现于纸上。
某日，小蓝静坐书桌前，目光所及，展现着 \(n\) 个数字，它们依次为 \(a_1,a_2,…,a_n\)，熠熠生辉。小蓝悟到，如果一个数能够以若干个（至少两个）连续的正整数相加表示，那么它就蕴含诗意。例如，数字 \(6\) 就蕴含诗意，因为它可以表示为 \(1+2+3\)。而 \(8\) 则缺乏诗意，因为它无法用连续的正整数相加表示。
小蓝希望他面前的所有数字都蕴含诗意，为此，他决定从这 \(n\)个数字中删除一部分。请问，小蓝需要删除多少个数字，才能使剩下的数字全部蕴含诗意？
分析
不难发现，对于奇数可以写作两个连续的数的和：
\(\forall n=2k+1,k\in N,n=k+(k+1)\)（几乎是一句废话）
对于偶数，我们就考虑的多了（鸣式）。偶数应至少是三个或者以上的连续的数和。
我们可以继续，从求和公式的奇偶性下手，令：
我们重点讨论后面的求和公式项的奇偶性：\(\dfrac{k(2a+k-1)}{2}\) 。不难发现，项\(k\)和项\(2a+k-1\)的奇偶性相反；当\(k\)为奇数时，\(2a+k-1\)必然为偶数，反之亦然。
烧脑的第一部分结束了，到上一步我们证明了所有有诗意的数必然有奇数因数。也就是说，任何数如果是\(2\)的幂次方，必然没有诗意：
下面我们证明其必要性：任何数如果不是\(2\)的幂次方，必然有诗意：
随机取一个非\(2\)的幂次方的偶数\(n\),将其写作一个奇数\(o\)和一个偶数\(e\)的乘积：\(n=o*e\)
-
当\(o>e\)时，令\(k=e\)，则\(a=\dfrac{o+1-e}{2}\)，不难看出\(a\in N_+\);
-
同理，当\(o<e\)时，令\(k=o\)，则\(a=\dfrac{e+1-o}{2}\)，不难看出\(a\in N_+\).
由上，对每个\(n\)，我们总能找到符合要求的\(f(a,k)\)，充分性可以证明。
所以，题目中需要的诗意数字 ，只需要判断其是否为\(2\)的幂次方即可。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long n,m,ans;
bool chk(long long k){
int s=0;
while(k){
s+=k&1;
k>>=1;
}
if(s==1)return true;
return false;
}
int main(){
cin>>n;
for(register int i =1;i<=n;i++){
cin>>m;
if(chk(m))ans++;
}
cout<<ans;
}
题解
D.回文数组
题目
问题描述：
小蓝在无聊时随机生成了一个长度为 \(n\) 的整数数组，数组中的第 $i 个数为 \(a_i\)，他觉得随机生成的数组不太美观，想把它变成回文数组，也是就对于任意 \(i∈[1,n]\) 满足 \(a_i=a_{n−i+1}\)。小蓝一次操作可以指定相邻的两个数，将它们一起加 \(1\) 或减 \(1\)；也可以只指定一个数加 \(1\) 或减 \(1\)，请问他最少需要操作多少次能把这个数组变成回文数组？
分析
题解
E.召唤数学精灵
题目
问题描述：
答案提交：
分析
题解
F.砍柴
题目
问题描述：
小蓝和小乔正在森林里砍柴，它们有 \(T\) 根长度分别为 \(n_1,n_2,⋯,n_T\) 的木头。对于每个初始长度为 \(n\) 的木头，小蓝和小乔准备进行交替砍柴，小蓝先出手。
每次砍柴时，若当前木头长度为 \(x\)，需要砍下一截长度为 \(p\) 的木头，然后换另一个人继续砍，其中 \(2≤p≤x 且 p 必须为质数\)。当轮到某一方时 \(x=1\) 或 \(x=0\)，它就没法继续砍柴，它就输了。它们会使用最优策略进行砍柴。请对每根木头判断是小蓝赢还是小乔赢，如果小蓝赢请输出 \(1\)（数字 \(1\)），如果小乔赢请输出 \(0\)（数字 \(0\)）。
分析
完全信息博弈。所以对于任意一个初始态，先手一定有必胜或必败策略。
博弈论中，我们将初始态分为两种：必胜和必败。
- 定义：开局即失败的状态为先手必败态；
- 对于无论先手何种合法操作，后手总能找到相应的合法操作能够转移到先手必败态的状态，称为先手必败态；
- 非先手必败态一律为先手必胜态。
以这题为例：
由第一条，我们知道，\(\{0,1\}\)是先手必败态集合（定义）；
对于\(\{2,3,4,5,6,7,8\}\)，总能找到一步合法操作，转移到后手上时成为先手必败态\(\{0,1\}\)；(\(2-2,3-3,4-3,5-5,6-5,7-7,8-7\))；
对于\(\{9,10\}\)，所有的合法操作转移到后手上时都是先手必胜态，所以\(\{0,1,9,10\}\)是先手必败态.
多重复几遍这样的操作，你会发现这个过程很像动态规划。对于一个初始状态，如果任意合法操作都不能将其导向先手必败态，那么这个初始状态就是一个先手必败态。
我们可以建一个集合\(S\)，先处理出所有合法操作（也即质数集），再新建一个集合\(T\)，存放先手必败态。同时遍历初始状态。
你当然可以代码实现这种事情，但是时间复杂度是\(O(n^2T)\)，保险起见我们可以在考场上打表解题。
顺便说一句，赛场上我也是用的这种方法，试出来比赛系统的代码上线是\(100kB\)
题解
打表程序：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int p[100009]= {1,2,3},p0=2;
int los[100009]={0,0,1},l0=2;
void isprime() {
for(register int k=5; k<=100000; k++) {
bool chk=1;
for(register int i=1; i<=p0; i++) {
if(k%p[i]==0) {
chk=0;
break;
}
}
if(chk)p0++,p[p0]=k;
}
}
int main() {
freopen("Eans.txt","w",stdout);
isprime();
for(register int i=2; i<=100000; i++) {
bool chk=1;
for(register int j=1;j<=p0;j++){
if(i<p[j])break;
if(binary_search(&los[1],&los[l0+1],i-p[j])){
chk=0;
break;
}
}
if(chk)l0++,los[l0]=i;
}
cout<<l0<<endl;
for(register int i=1;i<=l0;i++){
printf("%d,",los[i]);
}
fclose(stdout);
return 0;
}
提交程序：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int ans[]={0,1,9,10,25,34,35,49,55,85,91,100,115,121,125,133,145,155,169,175,187,195,205,217,235,247,253,259,265,289,后略};
int main(){
int T,q;
cin>>T;
while(T--){
cin>>q;
if(binary_search(ans,ans+15066,q))cout<<0<<endl;
else cout<<1<<endl;
}
}
C.召唤数学精灵
题目
问题描述：
答案提交：
分析
题解
C.召唤数学精灵
题目
问题描述：
答案提交：
分析
题解
C.召唤数学精灵
题目
问题描述：
答案提交：
分析
题解
C.召唤数学精灵
题目
问题描述：
答案提交：
浙公网安备 33010602011771号