[转]群&环&域

Def 1 群：一个非空集合，一种运算，三个条件（结合律、单位元、逆元）

Def 2 群的阶：有限群的元素个数

Def 3 交换群（Abel群）：满足交换律的群

Def 4 元素的阶（周期）：满足的最小的正整数m，若不存在，称无穷

Def 5 循环群：群G的所有元素都能由某一元素a的方幂覆盖，记作G(a)

Def 6 同态映射：保持运算

Def 8 同构映射：保持运算 双射

Th 1 循环群分类：G(a)只有两类，若a的阶无限，则与整数加群同构；若a的阶有限为n，则与n的剩余类加群同构

Def 9 子群：子集合，相同运算

Th 2：子集合的充要条件：

Th 3：循环群的子群仍然是循环群

Def 10：左右陪集：H是G的子群，a是G的元。aH称左陪集，Ha称右陪集

Th 4：相同子群的陪集，要么相等，要么交集为空

Th 5：H的左右陪集数目相等

Def 11 指数：称H的陪集的个数为H在G里的指数，记[G:H]，[G:1]表示G的阶

Th 6 Lagrange：[G:1]=[G:H][H:1]

Th 7：有限群的阶是任意元素阶的倍数

Def 12：任意左右陪集相等的子群成为正规子群/不变子群

Th 8：H是G的不变子群

Def 13 商群：G的正规子群的陪集组成的群称为商群，记作G/H

Th 9：群与其商群同态

Def 14 核：是G到G’的同态满射，G’中单位元e’的原象集称为核，记作

Th 10：是G的正规子群

Th 11：

Th 12：在同构的意义下，群只能和其商群同态

Def 15 环：交换群/加群的乘法变加法，单位元变零元，逆元变负元；引入乘法，对加群封闭，满足左右分配律；记为R

Def 16 交换环：乘法满足交换率

Def 17 单位元：ea=ae=a

Def 18 逆元：ab=ba=e，记为

Def 19 零因子：俩非零的元素相乘的零，分别成为左右零因子

Th 13：无零因子环满足消去律

Th 14：左右消去律等价

Def 20：无零因子环的非零元的阶成为R的特征

Th 15：若无零因子环的特征为有限整数n，则n is a prime

Def 21 整环：存在单位元且无零因子的交换环

Def 22 域：至少两个元素且所有非零元均有逆元的整环

Th 16：[Liam]域在两种运算上均是群

Def 23 子环：非空子集合，满足代数运算；类似有各种“子XX”

Def 24 理想：子环，

Def 25 主理想：R中的包含a的最小的理想称为主理想/由a生成的理想

Def 26 商环/剩余类环：

Def 27 环的同构/同态：同群

Th 17：R和R’是俩环，同态，则零元的象是零元，负元的象是负元，交换环映射到交换环，单位元（假如有）的象是单位元

Th 18：循环环的每个理想都是主理想

Th 19：f是R到R’的一个满同态映射，，A是R的一个理想，则存在R/A到R’的唯一的满同态映射f*，以及R到R/A的满同态\phi，满足f=f*\phi; 仅当a=ker f的时候，f*是同构映射

Th 20 环的同态定理：同群

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