拜占庭赌徒问题

在人们的印象中，拜占庭帝国是以无休无止的宫廷阴谋和轨迹而闻名的，但它实在不该得此恶名。下面说一道“拜占庭赌徒”的问题。

问题描述如下：

    你讲和一群顾问一起参与赌局。其中一个顾问会在一张纸上写上0或1，展示给其他顾问看，但是你不会知道这个数字到底是什么。他们都拥有精湛的演技，你无法从他们的话语和申请中推断出他在说实话还是撒谎。每一局，你可以选择不下注，也可以选择押上你的任意金额的资产。

 

   假如现在有4名顾问，其中两个人会一直说实话，但你不知道是那两位。一共玩三局，你的初始资金为100元，那你能确保赢多少钱呢？

• 一共四个顾问，那第一局肯定只会出现2种情况：2 VS 2 或者 1 VS 3 / 0 VS 4.
  • 如果是至少3个人都说一样的数字，则我们可以放心的将100块钱都押上，这样第一局结束后或得到200元；
  • 如果是2VS2，则这一局我们选择不押钱，因此这句结束后，我们就可以知道是哪两位在说实话，因此后面的就根据他们说的押钱就可以了。
  • 因此，保底能赢 400元。

 

    假如现在只有3名顾问，而且只有一个人会说实话。仍然一共玩三局，初始资金为100元，那这种情况下能确保赢多少钱呢？

• 第一局要么是3 VS 0，要么是2 VS 1.
  • 如果是3 VS 0那全押上就OK了，如果是2 VS 1，我们不知道是谁在说实话，因此可以选择押上x元：
    • 如果第一局输了，说明那个1才是说实话的人，这样我们下面2局按照他说的来押就可以了，因此可以获得4 * (100-x)元；
    • 如果第一局赢了，则获得了(100+x)元，因此那个1个人一定是说谎者，下面无需再考虑他。
      • 如果第二局那两个人说的不一样了，我们选择不下注，这样第二局结束后就会知道谁是说谎者，到第三局可以获得2*(100+x)元；
      • 如果第二局二人仍一样，则全部下注，第三局与第二局情况一样分析。
    • 这样为了保证最大收益，我们应该使：4*(100-x) = 2*(100+x)，则x = 100/3,保底赢266.66元