利用母函数求递推关系的递推通项（解递推关系）

利用母函数求递推关系的递推通项（解递推关系）

 

一、预备

1.0 阅读书本P43 - P46

 

1.1 母函数的定义

 

1.2 递推关系

n层河内塔移动次数 等于 第n-1层河内塔次数两倍+1

例如：移动2层河内塔移动次数是1层河内塔移动次数的两倍+1

　　　　1*2+1=3

所以移动2层河内塔的移动次数是3。移动3层河内塔的移动次数3*2+1=7 ……

 

1.3 递推通项

上面的等式叫做递推关系。我们要求H(n)就必须要知道H(n-1),要求H(n-1)就必须要知道H(n-2)……

我们能不能找到一个式子不用求前面的项就能知道H(n)的值？这就是我们的目标！

 

 

 

 

二、 河内塔问题

利用母函数求递推关系的递推通项，这个方法如下图所示。

 

2.1 已知河内塔的递推关系H(n)=2H(n-1)+1, H(1)=1

 

2.2 构造母函数

当知道一个递推关系时，我们就可以利用递推关系生成一个序列。汉诺塔的递推序列{Hn}为：

{1，3，7，15，31，63，……}

 

 

2.3 ※求母函数（变化最多，最复杂，计算量最大的一步）

求得序列{Hn}的母函数：

 

2.4 求递推通项

 

 

 

 

三、 Fibonacci序列（斐波那契序列）

3.1 已知Fibonacci序列的递推关系

 

3.2 构造母函数

 

3.3 求母函数

 

3.4 求递推通项