Scheme 语言实现快速排序算法

使用 Scheme 语言实现快速排序是一个很好的练习，因为它可以展示 Scheme 在处理列表和使用高阶函数方面的优雅之处。下面是一个用 Scheme 实现快速排序的程序，我将分步解释其原理。

1. 快速排序的基本思想

快速排序（Quicksort）是一种高效的排序算法，其核心思想是分治法（Divide and Conquer）：

1. 选择基准（Pivot）：从待排序的列表中选择一个元素作为基准。在我们的实现中，为了简单起见，我们选择列表的第一个元素。
2. 分区（Partition）：将列表分为两个子列表。一个子列表包含所有小于基准的元素，另一个子列表包含所有大于或等于基准的元素。
3. 递归排序：对这两个子列表分别递归地进行快速排序。
4. 合并：将排好序的“小于”子列表、基准元素和排好序的“大于或等于”子列表连接起来，形成最终的有序列表。

当递归到只剩一个元素或空列表时，递归终止。

2. Scheme 快速排序程序

以下是用 Scheme 语言编写的快速排序函数 quicksort。

(define (quicksort lst)
  (if (null? lst)
      '() ; 如果列表为空，返回空列表
      (let* ((pivot (car lst)) ; 选择列表的第一个元素作为基准
             (rest (cdr lst)) ; 剩余的列表
             (less (filter (lambda (x) (< x pivot)) rest)) ; 筛选出小于基准的元素
             (greater-equal (filter (lambda (x) (>= x pivot)) rest))) ; 筛选出大于或等于基准的元素
        (append (quicksort less) ; 递归排序小于基准的子列表
                (list pivot) ; 将基准元素转换为列表形式
                (quicksort greater-equal))))) ; 递归排序大于或等于基准的子列表

3. 程序解读

• (define (quicksort lst) ...)：定义一个名为 quicksort 的函数，它接受一个列表 lst 作为参数。

• (if (null? lst) '())：这是递归的终止条件。如果传入的列表是空的（null? 检查），那么它已经是排好序的，直接返回一个空列表 '()。

• (let* ((pivot (car lst)) ...))：使用 let* 绑定局部变量，这比 let 更方便，因为它允许后面的绑定依赖于前面的绑定。

  • (pivot (car lst))：car 函数返回列表的第一个元素，我们将其作为基准 pivot。
  • (rest (cdr lst))：cdr 函数返回列表的其余部分，我们将其赋值给 rest。

• (filter (lambda (x) (< x pivot)) rest)：这里是 Scheme 强大之处的体现。我们使用 高阶函数 filter。

  • filter 函数接受两个参数：一个谓词（一个返回 #t 或 #f 的函数）和一个列表。它会返回一个新列表，其中只包含那些满足谓词条件的元素。
  • **(lambda (x) (< x pivot))** 是一个匿名函数（lambda 表达式），它检查一个元素 x 是否小于 pivot。
  • 这行代码的效果就是从 rest 列表中筛选出所有小于 pivot 的元素，并赋值给 less。

• (filter (lambda (x) (>= x pivot)) rest)：与上面类似，这行代码筛选出所有大于或等于 pivot 的元素，并赋值给 greater-equal。

• (append (quicksort less) (list pivot) (quicksort greater-equal))：这是将排序结果组合起来的关键一步。

  • 我们递归地调用 quicksort 来排序 less 和 greater-equal 两个子列表。
  • (list pivot) 将基准元素 pivot 包装成一个单元素的列表。
  • 最后，append 函数将三个列表连接起来，得到最终的有序列表。

4. 示例

假设我们有一个列表 (6 5 2 7 3 1 4)，调用 (quicksort '(6 5 2 7 3 1 4))，程序的执行过程如下：

1. 基准是 6。
2. 小于 6 的子列表是 (5 2 3 1 4)。
3. 大于或等于 6 的子列表是 (7)。
4. 对 (5 2 3 1 4) 和 (7) 递归调用 quicksort。
5. 最终，append 会将 (quicksort '(5 2 3 1 4)), (6) 和 (quicksort '(7)) 拼接起来，得到结果 (1 2 3 4 5 6 7)。

5. 运行结果

您可以在任何 Scheme 解释器（如 Racket 或 Chez Scheme）中运行这段代码：

(quicksort '(6 5 2 7 3 1 4))
; => (1 2 3 4 5 6 7)

(quicksort '(10 5 8 2 1))
; => (1 2 5 8 10)

(quicksort '())
; => ()

(quicksort '(1))
; => (1)

这个实现简洁、优雅，充分利用了 Scheme 的列表操作和高阶函数特性，是函数式编程思维的一个经典范例。